考研数学三（解答题）专项练习试卷27

考研数学三(解答题)专项练习试卷27

一、解答题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

1、在经济学中称函数Q(/)=A[8K'+(1—8)L-],为固定替代弹性生产

函数，而称函数Q=AKZ为Cobb-Douglas生产函数(简称C-D生产函数),试

证明：当x-0时固定替代弹性生产函数变为C-D生产函数，即有

limQ(j)=Q.

标准答案：(,

证一limQ(z)=limA[3K7+(l-limMK)+(1^)L-r]+

，-•-0

=Alime=Ae'"'・

LO

而如三(d产㈣J(国荻，+(—■

=lim[6KxlnK+(l-a)LxlnL]=51nK+(l-5)lnL,

LG

故HmQ(N)=Ae‘1nAe=Ae"f」'=AK3Ll~f^Q.

证二在QCr)的表达式两边取对数,得到lnQ(z)=lnA」叱-'+(1--L而

JT

ln[W+(L6)L-1/0-dKInK—(1InL

lim=hm--------------------------------------

0…冰：+(1-8)『

=-^lnK-(l-5)lnL=-ln(K,L,3

故151nQ(N)=lnA+ln(Kf)=lnGAKLi),R|HMQGr)d>K'Li=Q.

知识，赢.析：暂无解析

2、讨论曲线y=21nx与y=2x+lifx+k在(0,+oo)内的交点个数(其中k为常数).

标准答案：令f(x)=2X+ln2x+k—■21nx(xW(0,+co)),于是本题两曲线交点个数艮J为

函数f(x)的零点个数.白z(x)=2+V=T(xT),令”尸0,可

解得唯一驻点xo=lE(O,+8).当0<x<l时r(x)<0,f(x)在(0,1]单调减少；而

当x>l时r(x)>0,f(x)在[1,+00)单调增加.于是f⑴=2+k为f(x)在(0,+8)最小

值.囚此f(x)的零点个数与最小值f(l)=2+k的符号有关.当f(l)>0即k>—2时，

f(x)在(0,+8)内恒为正值函数，无零点.当f(l)=0即k=一2时，f(x)在(0,+8)内

只有一个零点xo=l.当f(l)V0即kV—2时，需进一步考察f(x)在x-o+与

limf(x)=lim[(2x+k)+lnx(Inz-2)]=+«,

IT

lim/(x)=lim[(2x+4)+lnx(inx-2)]=+«,

XT+8的极限：由连续函数的

零点定理可得，夫座(0,1)与X2W(1，+8)使得f(X])=f(X2)=0，且由f(x)在(0,1)与

(1,+8)内单调知f(x)在(0,1)内与(1,+8)内最多各有一个零点，所以当kV—2

时，f(x)在(0,+oo)内恰有两个零点.

知识点解析：暂无解析

「J亚

3、设)।dt=J()Xcos(x—02dt确定y为x的函数，求

尸一/dz

标准答案：Jo'cos(x—t)2dt=cosu2(一du)=foxcost2dt,等式」।

•亭一2才)

=JoXcOS』dl两边对X求导，得d*=cosx2,于是

理=2z+COSJT2.

CLT

知识点解析：暂无解析

4、一批产品有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回,

求第二次抽取次品的概率.

标准答案：令A产｛第一次抽取正品｝,A2=｛第一次抽取次品｝,B=｛第二次抽取次

■1■—02—2——1

1211n

品｝,P(A1)=12,P(A2)=P(B|AI)=,P(B|A2)=,由全概率公式得

P(B)=P(A|)P(B|A|)+P(A2)P(B|A2)=121112116

知识点解析：暂无解析

,_____cos2«r_____d/

v(3+SIDTCOSJ-)2

5、求

标准答案：因为(3+sinxcosx)，=cos2x,所以

fcos2>r小_Cd(3+sinxcosz)________1______「「

J(3+sinxcosx)2*J(3+sin-rcosj)234-sinrcosx,

知识点解析：暂无解析

6、设总体X〜N(p,o2),Xi，X2，…，Xn是来自总体x的样本，令丁二

S(X-而2

.=|,求E(XiT).

标准答案：因为X1，X2,...»Xn独立同分布，所以有E(X1T)=E(X2T尸…=E(XnT)

2

=>E(X,T)=-nE[(X,+Xz+…+X.)T]=E(XT)=(n-l)E(XS)

=(n-DE(X)E(S2)=(〃-DR?

知识点解析：暂无解析

7^向量组p2»...»我可由向量组四，Q2，...»as线性表出，设表出关系为

的，「2，…，底]=[。1，(12，…，as]Ca…k[ctj,Ct2，…，(Xs]C若ai，

(X2，…，as线性无关.证明：r(Pi，p2，...»pt)=r(C).

标准答案：设13=[01，。2，…，Pt]=[ai,a2，…，as|C=AC,于是有

r(B)=r(AC)<r(C).Xr(B)=r(AC)>r(A)+r(C)-s,r(A)=s,故r(B)》(C),从而有

r(B)=r(C),即邓i，阳…，pt)=r(C).

知识点解析：暂无解析

8、计算二次积分

知识点解析：暂无解析

考虑一个系统由各元件按照图1-5连接而成，其中元件1和元件2并联而成一个子

系统，子系统工作当且仅当元件1和元件2至少有一个工作；元件3和元件4串联

而成一个子系统，子系统工作当且仅当一元件3和元件4都工作.已知各元件工作

的概率均为0.9,且各元件是否工作是相互独立

图1-5

9、求系统工作的概率

标准答案：设事件Ai表示“元件i在工作“，则P(Ai)=0.9.P(A]+A2+A3A4)

=P(A1)+P(A2)+P(A3A4)-P(A1A2)-P(AlA3A4A

P(A2A3A4)+P(A1A2A3A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A4)-P(Ai)P(A2)-P(AI)P(A3)P(A3)-

P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.9+0.9+0.9x0.9-0.9x0.9-

0.9x0.9x0.9-0.9x0.9x0.9+0.9x0.9x0.9x0.9=0.9981,故系统工

作的概率为0.9981；

知识点解析：暂无解析

10、已知系统