考研数学二（解答题）模拟试卷297

考研数学二(解答题)模拟试卷297

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

I、设函数f(x)处处可导，且gr(x)wR(k>0为常数)，乂设X0为任意一点，数列

｛xo｝满足Xn二f(Xn-l)(n=l,2,…)，试证：当n—>8时，数列｛Xn｝的极限存在.

标准答案:先证｛Xn｝单调.由Xn+1—Xn=f(Xn)・f(Xn」)=(Xn—Xn-1)「&)，其中曾在

k

Xn与Xn/之间.又由己知条件，f(X)处处可导，且叱P(X)w"”于是知「(射巨0，

从而(Xn+1-Xn)与(Xn—Xn-1)同号，故｛Xn｝单

I*.1=1/(^-i)1=/(*o)+f-

Wl/(^o)1+f"''|dx近1/(%)|+/=1/(/)I*

调."J・・l+x故由

单调有界准则知，数列(Xn｝的极限存在.

知识点解析：暂无解析

X,+3X2+2X,+X4=0,

2x)+2X,4-2X,-X=0.

4(II)3x1+2x*x-x=0,

{54

X,-x)+ax4=0.

2、已知齐次线性方程组3x1+3x/E=0.问a,b

为何值时，方程组⑴与(II)有非零公共解?并求出全部非零公共解.

标准答案：先求方程组⑴的通解，对其系数矩阵施以初等行变换，得

一c,rl0-1a

[222-1I0-1a

fl

1o-I/I。24[o12--TJ*r(A)=2<4,

£.=(I.-2.1,0)=I-a,a+~.0,1)

可知方程组⑴有非零解，基础解系为*'12)通解为

一"砧小中为口词;其中M为任"败将通解代入方程

-3h+(2a+~1~)幻=0.

(ni)-%=0,

-卬信")叱°'对此方程组的系数矩阵施以初等行变换

组(U)中，得

3

一一32+"一°5-2Q-1当它0,且b—2a1=0,即a=0,b=l时，方程组

(DI)有非零解，此时方程组⑴和方程组(II)有非零公共解.方程组(HI)的解为

“产不修,代入方程组(I)的通解中，得方程组(I)、(U)所有非零公共解为

"2A)T=M5,-7,5.6)T,其中&=%为任意非零常数.

知识点解析：本题考查两个含参数的齐次线性方程组求解作零公共解问题.

dy

3、求微分方程Q胫=x2+y2满足条件y|x=e=2e的特解.

得》=二十工

由xy

ctraxyx

令口=2.原方程化为

X

一代…/.U+J■手■="+工整理得ud"="・积分得J”：=ln_r+C・

标准答案：dr“x2将*=6,u=2

代入得C=1,所求的特解为y2=2x4nx+2x2.

知识点解析：暂无解析

4、设A为mx,2实矩阵，E为，n阶单位矩阵，矩阵B=XE+ATA,试证：当入

>0时，矩阵B为正定矩阵.

标准答案：B1=B,对任意n维非零列向量X,有心<1'>0,(AX)T(AX)K),故对

X^OWXTBX=XT(XE+ATA)X=XXTX+(AX)T(AX)>0,因此，对称阵B正定.

知识点解析：暂无解析

5、设实对称矩阵A满足A2—3A+2E=O,证明：A为正定矩阵.

标准答案：设大为A的任一特征值，则存在X翔，使AX=DC,于是(A2-3A+

2E)X=(X2-3X+2)X=0,=>#—3入+2=0=►入=1或A入=2,因此A的特征值均

大于0,故A正定.

知识点解析：暂无解析

6、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=O,证明：⑴存在

眄a,b),使得？©)=2《熊).(2)存在咋(a,b),使得nE(n)+f(n)=O.

标准答案：(1)令中(%)=。一"R%),因为f(a)=f(b)=O,所以(p(a)=(p(b)=O,由多尔

定理,存在眄a,b),使得0(9=0,而8(x)=er［F(x)-2娘X)］且e-“和,故

?0)=23化).(2)令(p(%)=%f(%),因为f(a)=f(b)=O,所以(p(a)=(p(b)=O,由罗尔

定理，存女n&a，b),使得8(n)=o,而①'(%)=%『(%)+f(x)，故nfW+f(n)=o.

知识点解析：暂无解析

设g(H)=』巴(黑)''JQ)=I：g⑴也.

7、说明y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；

标准答案：显然，g(O)=l,而当x川时，由力8”型极限得

「/1为

爪")=』巴〔(1_足)]lim

其中14+，

/(x)=e"dz.

于是不论x是否为零都有g(x)=&X2,Jo因令匚一u,有

/(-x)=e'd£=一1/d〃=­f(z),

JoJ。故f(x)为奇函数.因

limf(x)=fe"dz=零，lim/(z)=fe"dz=-/e~/2dt--*v,

JT-*+8J0Z上一一8J0J02

y=士后

故产f(x)有两条水平渐近线y2•

知识点解析：暂无解析

8、求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴围成图形的面积.

标准答案：由所求平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为

S=2『摩T同也=2(偿—卜市)业

知识点解析：暂无解析

9、设A是n阶矩阵，四，。2，…，an是n维列向量，且a/O，若Aa|-a2，

Aa2=a3，...»Aan-i=an,Aan=0.(1)证明：aj,如…,aI】线性无关；(2)求A的

特征值与特征向量.

-1-12'3a-2'

21-3,B=05a,

13、已知--1-25--00T」求r(AB—A).

标准答案：如果先求出AB-A,再求它的秩,计算量比较大.注意到AB—A=

A(B—E),而B—E是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质⑤，r(AB—A)=r(A),直接

计算r(A)就简单多

■1-12]「I2Iri-12'

4:21-3—03-7-*03-7,

了.1-1-27」Lo

5」L。-300」得r(AB

—A)=r(A)=2.

知识点解析：暂无解析

14、设W)在［0,1］上连续，且f(l)=f(O)=l.证明：Ef%)d左1.

1

标道答案:由l=f(l)-f(O)=Jof(X)dx，得12=1=(卜"(加%)24」12dz/0丫2口)收=

分产⑴攻，即J(/f'2(%)d左1.

知识点解析：暂无解析

15、设函数f(x)GC［a,b］,且取)>0,D为区域均劭,aWyWb.证明:

标准答案：因为积分区域关于直线y=%对称，所以

^瑞"打=『的必dy,于是£领did尸却［受亲+借］dzdy.

忠+公"

又因为所以〃S/(x)>2,从而

J瑞"dy=和第+随"打冲郎=(DL

知识点解析：暂无解析

-8-822

min{jr»j}e(J)cLzdy.

16、计算二次积分I=J7-8

标准答案:

JC=rcosO,

设

y—rsinff.

令Di={(r,。)|一斗&。&手,0&Y+8}.

44

D2={(r.O)|年＜夕＜学.0&Y+8}.

44

JJjedzdy+JpreVCdzdy

则I=

KD2

=〕；d,Jr2sin0erdr+［：的［r2cos^er?dr

=->/2r(y+i)=一牛・

知识点解析：暂无解析

(l)l—^：；(2)I(k

(2f+1)v/T+l

17、求下列不定积分：

］

sinf+cosI

(sinf+cosf)+(cos

4/sinf+cost

|sinf.coat|+C

1

=­arcsinx+yin|%+J\-£|+C.

dxx=UwIsec2fdi______r

(2x2fl)"7T(2tan“+1)sect)(2tan2r+1)cosl

dsin:=碗以血(sint)+C

=/1+sint

=arctan,.I+C.

标准答案：【/Ir/

知识点解析：暂无解析

eg.n，），求dz与3M

18、设z=Y+y2）"力

标准答案：

=2ze-”3—(x2+,2»\曰片•]?(一步)=(2x+j)e"F

1+(2)

券=2yLy-3+y2)e“3f.1

—=(2y-«r)e“e所工

I

则dz=(21+丁丘一”3点cLr+(23一1兀一24的.

=e"cunf-(2N+y)e-gd.——~~-.1

，91+田工

x

「1_(21+、小一皿,畔=yz-T2-xy.±

一口一丁+yJe一一+丁artun

知识点解析：暂无解析