考研数学三（随机变量及其分布）模拟试卷3

考研数学三(随机变量及其分布)模拟

试卷3

一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

1、设X和Y为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为fi(x),f2(x),

它们的分布函数分别为Fi(x),F2(X),则().

A、fi(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数

B、f](X)f2(X)为某一随机变量的密度函数

C、FI(X)+F2(X)为某一随机变量的分布函数

D、F|(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数

标准答案：D

知识点解析：可积函数f(x)为随机变量的密度函数，则f(x)20日18收取粒=1,显

然A不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，B显然不

对，又函数F(x)为分布函数必须满足：(l)OWF(x)Sl；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连

续；(4)F(-x)=0,F(+8)=l,显然选择D.

2、设连续型随机变量X的密度函数为f(x),分布函数为F(x).如果随机变量乂与-

X分布函数相同,则().

A、F(x)=F(-x)

B、F(x)=-F(-x)

C、f(x)=f(-x)

D、f(x)=-f(-x)

标准答案：C

知识点解析:Fx(x)=P(X<x)=Uxf(t)dt,F.x(x)=P(-X<x)=P(X>-x)=l-P(x<-x)=1-U-

xf(t)dt,因为X与・X有相同的分布函数，所以Qx跳)dui-L/f⑴出，两边求导数，

得f(x)=f(-x),正确答案为C.

Ae-1ia

/(X)=

3、设随机变量X的密度函数为0,/Va（a>0,A为常数），则P{aV

XVa+b｝的值().

A、与b无关，且随a的增加而增加

B、与b无关，且随a的增加而减少

C、与a无关，且随b的增加而增加

D、与a无关，且随b的增加而减少

标准答案：C

知识点解析：因为LofWdxn,所以Ja—Ae-Xdx=l,解得A=ea.由P(aVXV

a+ba+baxa-xa+bb

a+b)=faf(x)dx=Jaee-dx=-eeIa=|-e',得P(aVXVa+b)与a无关,且随b

的增加而增加，选C.

4、设随机变量X〜N3,小，则p(।x-g|<2o)().

A、与N及屋都无关

B、与卜i有关，与相无关

C、与bI无关，与J有关

D、与R及『都有关.

标准答案：A

P(-2<^-^<2)

知识点解析：因为P(IX-p<I2a)=P(-2a<X-p<2a)='。7

=中(2)-中(-2)为常数，所以选A.

5、设X〜NQ,42),Y〜NQ,52),令p=P(X印-4),q=P(Y*+5),则().

A、p>q

B、p<q

C、p二q

D、p,q的大小由卜i的取值确定

标准答案：C

p(Xv_])

知识点解析：由P=P(X印-4)=P(X-pi&4)=14、7=0)(-1)=1-0)(1),

q=P(Y>g+5)=P(Y-g>5)=、5)\5-①⑴，得

p=q»选C.

6、设随机变量X〜N(Ro2),其分布函数为F(x),则对任意常数a,有().

A、F(a+|i)+F(a-p)=l

B、F(|i+a)+F(|i-a)=l

C、F(a)+F(-a)=l

D、F(a-g)+F(g-a)=l

标准答案：B

知识点解析：因为X〜NQL,O2),所以F(a+p)+F3-a)=

0(金产)+0(七尸)=0停)+M.)=e停)+】"停"

,选R.

7、设随机变量X〜U|l,7|,则方程x?+2Xx+9=0有实根的概率为

().

112

(A)—(B)—(C)-=-(D)0

乙JJ

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

g,l<x<7,

<6

知识点解析：X〜f(x)=、°，其他，方程”+2Xx+9=0有实根的充要条件为

△=4X2-36>0JX2>9.P(X2N9尸1-P(X2<9)=1-P(1VXV3)=故选C.

二、填空题(本题共72题，每题1.0分，共12分。)

/012\

X〜_2c1

8、设随机变量X的分布律为联一''了/,则c=.

2

标准答案：工

2_j.

知识点解析：由c-c2+c+4=l得c=2

1

9、设随机变量X〜N(wJ),且方程x2+4x+X=0元实根的概率为2则

尸•

标准答案：4

知识点解析：因为方程x2+4x+X=0无实根，所以16-4XC0,即X>4.由X〜

N(p,J)且P(X>4)=2,得-4.

旦

10、设X〜B(2,p),Y〜B(3,p),MP(X>1)=9,贝ijP(Y与尸.

19

标准答案：27

包

知识点解析：由P(XN1)=9=LP(X=0)=1-(1-P^^P=凶,P(Y>l)=l-(l-p)2=

11、设X〜N(2,a2),P(2<X<4)=0.4,则P(XV0)=.

标准答案：0.1

2—2)X-2

P

知识点解析：由P(2WX")=aa

=0.4,得—=0.9,则P(XV0)==0.1.

1_

12、设随机变量X服从参数为九的泊松分布，且P[X=0)=2p(x=l)，则

P(X>1)=.

标准答案：I-©。

知识点解析：X的分布律为P(X二k);^!.e-X(k=0,1,2,...),由P(X=0)=2

P(X=1)得X=2,P(X>1)=1-P(X=0)=l-e'2.

13、设随机变量X服从参数为人的指数分布，且E|(X-l)(X+2)]=8,则

九=.

2

标准答案：至

1

丁[xl

知识点解析：由随机变量X服从参数为入的指数分布，得E(X)=a,D(X)=UF

是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=而E[(X-1)(X+2)]=E(X2)+E(X)-2=-2=8,解得X=

(3x2

—.0<xVa,

fCl)=va7_

14、设随机变量X的密度函数为0,其他，若P{X>1}=石贝J

a=.

标准答案：2

3x212

知识点解析：P{X>l}=fiaf(x)dx=Jiaas(a3-l)=8,则a=2.

1

15、一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为4+1(k=l,2,

3),以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=.

1

标准答案：4

知识点解析：令Ak=｛整个零件不合格｝(k±2,3),_

则PCX=2)=P(新A2A3)+P(A]X7A3)+P(A]A2Xr)

=XX+XX+XX=

T2T34T2T344T2T3T4T47

i-2一102、

X〜,111

16、设随机变量X的分布律为'3T28/,则Y=X?+2的分布律

为_______.

/236)

标准答案：'彳77，

工

知识点解析:Y的可能取值为2,3,6,P(Y=2)=P(X=O)=2,P(Y=3)=P(X=-1)=

—P(Y=6)=P(X=-2)+P(X=2)=则Y的分布律为

17、设随机变量X〜N(0,1),且Y=9X?,则Y的密度函数为

0,y4。,

1」_工

fy(y)=«—^=y2el\y>0.

标准答案：3

2

知识点解析：FY(y)=P(Y<y)=P(9X<y).当y《)时，FY(y)=O；当y>0时,

=P(-李&X〈当)

2

FY(y)=P(Y<y)=P(9X<y)3/27r所以随机变量y的

[0,y40,

密度函数为fY(y尸[3”2式

18、设随机变量X的概率密度函数为fx(x)=〃(1+ND,则Y二2X的密度函数为

fy(y)=•

2

标准答案：兀(4+:/)

知识点解析：因为FY(y)=P(YSy尸P(X32)=FXJ所以fY(y尸Fy(y尸fx

0.j*V0,

0.25,0&1<1,

F(x)=<

x0.5,1C<3,

19、设离散型随机变量X的分布函数为1•-X23♦则

Y=X2+1的分布函数为.

[0,yVl,

0.25,1V2,

Fy(^)=<

0.5,V10,

标准答案:y210.

/013

知识点解析：X的分布律为X〜4424Y的可能取值为1,2,10,

□

P(y=l)=P(X=O)=—,P(Y=2)=P(X=1)=,P(Y=10)=P(X=3)=于是Y的分布函数为

三、解答题(本题共10题,每题1.0分，共10分。)

20、设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互

独立的，且红绿灯显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口

个数，求X的分布.

(1,第i个路口是红灯

标准答案：Xi』O,第i个路口是绿灯(i=l,2,3),则X的可能取值为0,1,

2,3.p(X=O)=P(Xi=l)=—p(x=l)=P(Xi=O,X2=l)=P(X=2)=P(Xi=0,X2=0,

X3=l)=P(X=3)=P(X]=0,X2=0,X3=0)=所以X的分布律为

知识点解析：暂无解析

21、设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X表示3个

球中的新球个数，求X的分布律与分布函数.

C©二3

标准答案：X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C；io,p(x=2)=区，

P(X=3)=所以X的分布律为，分布函数为Fx(x)二

知识点解析：暂无解析

[1一|R||N|V1,1

22、设X〜f(x尸必，其他•⑴求F(x)；(2)求P(・2VX〈a)

标准答案：⑴F(x尸P{XSx}=L/f(t)dt.当xV・l时，F(x)=O；当-lgVx<0时，

("+1)2

F(x)=f.ix(l+t)dt=2当OgVxVl时，F(x)=f-i°(l+t)dt4ox(l-t)dt=当史1

时,F(x)=l.(2)P(-2<X<-F(-2)=

知识点解析：暂无解析

；,0(%41,

O

/(z)=*2

石，3&z&6,

y2

23、设X的密度函数为0。其他，若P(X2k)3,求k的取值范

围.

2.2(6—Q)2

,4-CLZ=------------<一

6

标准答案：显然kV6,当3VkV6时，P(X>k)=fk993当

l<k<30t,P(xNk尸/因当OSkVl时，P(xNk尸"dx+h，当kVO时，P(X>k)=l,

所以l<k<3.

知识点解析：暂无解析

24、有三个盒子，第一个盒子有4个红球1个黑球，第二个盒子有3个红球2个黑

球，第三个盒子有2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取3个球，以X

表示红球个数.(1)写出X的分布律；(2)求所取到的红球数不少于2个的概率.

工

标准答案：(1)令Ak二{所取的为第k个盒子}(k=l,2,3),P(Ai)=3(i=l,2,3),X

的可能取值为O1,2,3,P(X=O)=P(X=OIA3)P(A3)=-P(X=1)=P(X=1I

A2)P(A2)+P(X=1IA3)P(A3)P(X=2)=P(X=2IAj)P(Ai)+P(X=2IA2)P(A2)+P(X=2I

A3)P(A3)P(X=3)=P(X=3IAi)P(Aj)+P(X=3IA2)P(A2)=所以X的分布律为

(2)P{X>2}=

知识点解析：暂无解析

[Aex,x<0,

F(Z)=JB,0<X<1,

25、设连续型随机变量X的分布函数为21,(1)

2

求常数A,B；(2)求X的密度函数f(x)：(3)求P(X>§)

A=8e

标准答案：(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的，所以有匕=1-4,解

得A=B=-(2)(3)

知识点解析：暂无解析

/(1)=<

0,IxI>-y.

26、设随机变量X的密度函数为2(1)求常数A；