考研数学（数学三）模拟试卷272

考研数学(数学三)模拟试卷272

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、当x>0时，曲线y=xsinl/x().

A、有且仅有水平渐近线

B、有且仅有铅直渐近线

C、既有水平渐近线，也有铅直渐近线

D、既无水平渐近线，也无铅直渐近线

标准答案：A

知识点解析：只有间断点x=0,

1

sin一

limy=0,没有铅直渐近线.又limy：lim—3=1

7,有水平渐近线y=l,应选

(A).

2、当X-0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小

量?().

A、x2

B、1-cosx

c、yi-r-i

D、x-tanx

标准答案：D

知识点解析：当x-0时，

1-coax~-1--，x-tanx-yx3,选(D).

3、设f(x)在x=0处满足f'(O)=f''(O尸…=曲)(0)=0,f<n+D(o)>O,则().

A、当n为偶数时，x=0是f(x)的极大值点

B、当n为偶数时，x=0是f(x)的极小值点

C、当n为奇数时，x=0是f(x)的极大值点

D、当n为奇数时，x=0是f(x)的极小值点

标准答案：D

知识点解析:

因为/6)=/(o)♦/'(0比+=广(0)»…尸；凡」(幻

=/(0)+7If")(0*"♦比.，(外(由题设/'(0)=r(o)=

(n+】)！

-=/a)(0)=0)

所以当I«1很小时，/(幻-/(0)与厂3百，.“”。)尸‘同号，而尸・”(0)>0,

当n为偶数时,丁一^尸“)。)/“在x=0点两侧异号.，(0)不是极值点：

当八为奇数时.在4=0两侧均有厂工7/'.”(0)/”>o,BP/(X)>/(0),亦即X=0

为/(X)的极小值点，因此选D.

］加^-=2

4、已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0,.-o1-coax,则在点x=0处

f(x)().

A、不可导

B.,可导，且f'(0)/0

C、取得极大值

D、取得极小值

标准答案：D

知识点解析：利用极限的同号性可以判定f(x)的正、负号:

lim=2>0=/^->0(在X=0的某空心邻域)；

•4)1-co&x1-coaxIl-cosx>0,有

f(x)>0,即f(x)在x=0取极小值,应选(D).

5、设A是n阶方阵，线性方程组AX=0有非零解，则线性非齐次方程组ATX二b

对任意b=(bi，b2，…，bn)T().

A、不可能有唯一解

B、必有无穷多解

C、无解

D、或有唯一解，或有无穷多解

标准答案：A

知识点解析：因为AX=0有非零解，而A为n阶方阵，所以|A|=|AT=0.因此

r(AT)<n.于是线性非齐次方程组人丁*4在「(八1Ib=r(AT)时有无穷多解；在

KAT|b)>r(Ab时无解.故对任何b,A’「X=b不可能有唯一解.所以选A.

TT

6、已知ai=(・l,1,a,4),a2=(-2,1,5,a),a3=(a,2,10.1户是四阶方阵A

的属于三个不同特征值的特征向量，则a的取值为().

A、a#5

B、a六4

C、a^-3

D、a^3且a#-4

标准答案：A

知识点解析：因为ai，a2,a3是A的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们

1-11

由-21

、a2

/-11

0-1

0

必线性无关，°知其秩为3时

a=5.故选(A).

7、设X,Y是两个随机变量,且P{Xl,Y<l}=4/9,P{X<l}=P{Y<l}=5/9,则

P{min(X,

Y)<1}=().

(A)|(B)券(C)^(D)；

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：P{min(X,Y)<1}=P{X<1UY<1}

8、设(X|,X2，…，Xn)为取自正态总体X〜N(|1,。2)的样本，则的矩法估

(A)-J-V(AT.-X)2(B)(X.-X)2

flfl•1

2

(C)iP(D)-j\xt

计量为().占"与

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析:

按矩估计方法：A="jy照-，口，

“iM〃T9\

所以川♦/=『+：£片-尸=，力Xj、(D)是答案.

八EnE

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

9、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f'(x)=eg),f(2)=l,则

，，，

f(2)=.

标准答案：2e'

知识点解析：已知f(x)在x=2的某邻域内可导，f'(x)=e*x),所以f(x)在x=2的司一

邻域内可导，即在该邻域内函数f(x)二阶可导，且fix)=[J(x)]'=f'(x)ef(x)=e2f(X).于

是f''(x)也在x=2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数f(x)三阶可导，且f'“(K)二

[e2f(x)]=2f(x)e2f(x)=2e3f(x),将f(2)=l代入可得f，，，(2)=2e3.

10、设f(x尸xeX,则H){x)的极小值为.

标准答案：・(1修+1)

知识点解析：f(x)=xex,f<n)x=(n+x)ex,f^n+l)x=(n+l+z)ex,f(n+2)x=(n+2+z)ex,令

产D(x)=0,解得产⑴的驻点x=-(n+l),Xf<n+2)[-(n+1)]=[n+2-(n+1)]e-(n+11)

>0,故x=-(n+l)为A%)的极小值点，f<n)Hn+l)]=-(l/en+1).

11、设二元函数z=xeX+y+(x+l)ln(l+y),则dzI(i.Q)=.

标准答案：2edx+(e+2)dy

知识点解析：因为dz=ex+ydx+xdex+y+ln(1+y)d(oo+l)+(x+l)dln(l+y)

=ex+ydx+xex+yd(x+y)+ln(1+y)dx+ln(1+y)dx+(x+l)dy/l+y

=ex1-dx+xex+y(dx+dy)+]n(I+y)dx+(x+1)dy/1+y,所以dzI(i,

0)=edx+e(dx+ay)+2dy=2edx+(e+2)dy.

[xAcc»~,若"0

12、设0,行“一,其导函数在x=0处连续，则大的取值范围是

f0,A>2.

标准答案：,不存在，人支2.

知识点解析:

由设，当X*0时./'(«)=Axico®,工uAx'’./-InL

*xxxx

XACOSI

当x=0时,/'(0)=lim3^Q)=|而-----=linu4-,co»-i-=|A＞U

•s*・♦xi*l不存在，入Wl.

又卬F)“尸[2jm扑]不黑：;；

因此,当人＞2时，网r(x)=/(0),即/(外在x=0连续,所以人的取值范圉是人＞2

r

I1

1i

13、设矩阵A=，且秩r(A)=3,则k=

标准答案：-3

知识点解析：由题设，r（A）=3,贝ijIAI=0,即

1111111I1

1k0-I00

-3)I=（e）

!11100A-0

I1000

II

从而&=-3或A=l.当£=1时,A~

则r(A)=l,与

已知矛盾，所以k=3.

14、设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X・0.4,则Y与Z的相关系数

为•

标准答案：0.9

知识点解析：本题考查相关系数的定义.由题设,D(Z)=D(X),cov(Z,Y)=cov(X-

0.4,Y)=E[(X-0.4)-E(X-0.4)(Y-E(Y))]=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=cov(X,Y),因此

=Pn=0.9.

/D(J)/D(Y)/D(X)/D(Y)

三、解答题（本题共9题，每题1.。分，共9分。）

I-2xy（-I）**

15、将函数1rct展开成x的姑级数，井求级数4+1的和.

标准答案：(I)因为f'(x)简单，先求f'(x)的展开式，然后逐项积分得f(x)的展开

式.

因/'⑺博)'=品=-2ixe(-1.1)

又/(o)=F两边积分得/(*)二手-2fy(-i尸产市二多-2£(］中)”.

44J。(^0477o"♦I

因为小)在，4，连续,£铛L|..f4£.收敛，

所以/3=>2£片空产，--受卜

知识点解析：暂无解析

16、现在甲工厂生产某商品，年销售量为100万件，每批生产需要增加准备费

1(X)0元，而每件商品的年库存费为0.05元.如果销售率是均匀的，且上一批售

完，立即生产下一批，每批数量相同，问全年应组织几批生产使得生产准备费与库

存费用之和为最小.

标准答案：设批量为q，总费用为C,则成本函数为

4\z11000000.「5000

C(9)=(i1n0n0n0x)q+Ac(0n.05)=1i0n00ngn♦—,

2qq

C'(g)=IOOOy-,(T(q)=j->0.

qq求得唯一临界点q=5,并旦

C(5)为最小值，即应分五批生产.

知识点解析：暂无解析

17、已知函数f(x)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(l)=l.证明:

(I)存在眄0,1),使得熊)=1专(口)存在两个不同的点中4(0，1)，使得

f(n)f(Q=i.

标准答案:

ir4为

(1)即证/(X)三当/(Q-I+Z在(0.1)存在零点.

由于£(")在［0,1］连续，且F(0)=-l.F(l)=l,即F(0)-F(l)<0.

由连续函数的零点存在性定理知,3fe(0.1),使得F(f)=0,即F(S)=l-f.

(II)利用题(I)的结果,在［0.勺上用拉格朗日中值定理知，三年£(0,f),使得

子」(8?⑼=/«).在I］上，用拉格朗日中值定理知，3fe(f,1),使得

占=加爱£!=/«),两式相乘得.(可)・/«)=1.

知识点解析：暂无解析

18、设函数f(x)在［0,1］上连续，(0,1)内可导，且3j2/3】f(x)dx=f(x),证明在(0,1)

内存在一点，使f'(C)=0.

标准答案：要对f(x)在［0,1］上使用罗尔中值定理，问题在于证明f(x)在［0,1］上有

两个等值点.由积分中值定理，

w12/3,11，使1/(工)也=(1-lI"饮X。)=/，(与)•“厂立\F仆

，力,3尸3从而f(xo)=f(O),又由罗

尔中值定理,九6(0,与)(1(0,1),使/'(c)«0.

知识点解析：暂无解析

19、设函数f(x)在［a,b］上满足agf(x)Wb,If(x)I<q<l,令u产f(un-i),n=l,2,

.

y

3,...»uoG［a,b］,证明：*(Un+l-Un)绝对收敛.

标准答案：

因为"-/(^..|)I=Ik-4.iI

wq4-4"=ql/(u-i)-/(u…)I=ql/'(&)I

Wg?|u..t-IW…Wq”%一%I,

又级数£”收敛，所以，级数V(%.LA)绝对收敛.

知识点解析：暂无解析

20、设向量组ai，a2,a3线性相关，向量组a2,a3,线性无关，问：(I)ai能否

由a2,a3,线性表出?证明你的结论.(U)a4能否由ai，a2,a3铜线性表出?证明你

的结论.

标准答案：(1)ai能由a2，a3线性表示.因为已知a2，a3，线性无关，所以a2，

a3线性无关，又因为ai，az，a3线性表出，设a4=k］a］+k2a2+k3a3，由(1)知，可设

a1=1232+1333,那么代入上式整理得a4=(kii2+k2)a2+［kii3+k3)a3.即叫可以由a?,as

线性表出，从而a2，a3，线性相关，这与已知矛盾.因此，时不能由ai,a?,a3

线性表出.

知识点解析：暂无解析

>x）.2x,-2xs=0

lx,-x2*Ax,=0

21、设线性方程组I3与的系数矩阵为A,三阶矩阵B翔，且AB=0,试

求入值.

标准答案:设B=（仇，也，伪），其时i=l，2,3）为三维列向量，由于B#）,所以

至少有一个非零的列向量，不妨设仇和,由于AB=A（Bi，至P3）=（API，AM

Ap3）=0,=API=0,即PI为齐次线性方程组AX=0的非零解，于是系数矩阵的列

\\2-21

2-IA

阵的行列式必为零，即|AI=31-1=5（卜1尸0,解得入=1.

知识点解析：暂无解析

22、设随机变量X与Y相互独立，且