考研《高等代数》考研考点与考研真题详解

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第1章多项式

1.1考点归纳

一、一元多项式

1.数环与数域

（1）数环

设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a,bes,总有a+b.a

-b,a-bes,则称S是一个数环.

整数集乙有理数集Q,实数集R，复数集C都是数环.

（2）数域

设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1,如果P中任意两个数（这两

个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P

就称为一个数域.

有理数集Q,实数集R,复数集C是最重要的三个数域.

2.一元多项式

%式+4_1式-1+

+%

可〃切

设X是一个符号(或称文字)，n是一非负整数，形式表达式…，其中aO,a1,

an全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的

一元多项式.n称为多项式的系数，f(x)的次数记为.

3.一元多项式环

所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记

为P[x],P称为P[x]的系数域.

二、整除的概念

1.带余除法定义

a(r(x))<a(g(x))

对于P因中仟意两个多项式f(x)与。(x),其中。(x)一定有P冈中的

多项式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中或

者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是惟一决定的.

带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除

f(x)的余式.

2.整除定义

如果数域P上的多项式h(x)使等式f(x)=g(x)h(x)成立，就称数域P

上的多项式g(x)整除f(x),用“g(x)If(x)”表示；用g(x)不能整除

f(x)则用“g(x)f(x)”表示.

当g(X)If(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式.

3.整除性的判别

对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)HO,g(x)If

(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.

注意：任一个多项式f(x)一定整除它自身；任一个多项式f(x)都整除零多项

式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式.

4.整除性的常用性质

(1)如果f(x)Ig(x),g(x)If(x),那么f(x)=cg(x),其中c

为非零常数；

(2)如果f(x)Ig(x),g(x)Ih(x),那么f(x)Ih(x)(整除的

传递性)；

(3)如果f(x)Igi(x),i=1,2,r,那么f(x)I(u1(x)gl(x)

+u2(x)g2(x)+...+ur(x)gr(x))，其中ui(x)是常数域P上任意的

多项式.

三、最大公因式

1.公因式定义

咐

研x)

如果多项式既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么就称为f(x)与g(x)

的一个公因式.

2.最大公因式

(1)定义

设f(x),g(x)是P冈中两个多项式，若P冈中多项式d(x)是f(x),g

(x)的公因式且f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式，则称d(x)称

为f(x),g(x)的一个最大公因式.两个多项式的最大公因式在可以相差一个

非零常数倍的意义下是惟一确定的.

(2)引理

如果有等式f(x)=q(x)g(x)4-r(x),成立，那么f(x),g(x)和g(x),

r(x)有相同的公因式.

(2)定理

对于P冈中任意两个多项式f(x),g(x),在P凶中存在一个最大公因式d(x),

且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合，即有P冈中多项式u(x),u

(x)使

d(x)=u(x)f(x)+u(x)g(x)

可用辗转相除法来求最大公因式.

3.多项式互素

(1)定义

P[x]中两个多项式f(x),g(x)满足(f(x),g(x))=1,则称f(x)和g

(x)互素(也称互质).

(2)性质

①P冈中两个多项式f(x),g(x)互素的充分必要条件是有P冈中的多项式u

(x),v(x)使u(x)f(x)+u(x)g(x)=1；

②如果(f(x),g(x))=1,且f(x)Ig(x)h(x),那么f(x)Ih(x)；

③如果f1(x)Ig(x),f2(x)Ig(x),且(f1(x),f2(x))=1,那

么f1(x)f2(x)Ig(x)；

④如果(f(x),g(x))=(f(x),h(x))=1,则(f(x)g(x),h(x))

=1.

四、因式分解定理

1.不可约多项式

(1)定义

数域P上次数NI的多项式P(X)如果不能表成该数域上的两个次数比p(X)的

次数低的多项式的乘积，则称p(X)为域P上的不可约多项式.按照定义，一

次多项式总是不可约多项式.

(2)性质

①如果p(X)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x〕，

由p(x)If(x)g(x)一定推出p(x)If(x)或者p(x)Ig(x).

②如果不可约多项式p(x)整除一些多项式f1(x),f2(x),fs(x)的

乘积f1(x),f2(x),fs(x),那么p(x)一定整除这些多项式之中的

一个.

2.因式分解及惟一性定理

(1)惟一性定理

数域P上每一个次数的多项式f(x)都可以惟一地分解成数域P上一些不可

约多项式的乘积.惟一性是指，如果有两个分解式f(x)=p1(x)p2(x)...ps

(x)=q1(x)q2(x)...qt(x),那么必有s=t,并且适当排列因式的次序后

有pi(X)=ciqi(x),i=1,2,s,其中c(i=1,2,…，s)是一些非零

常数.

(2)因式分解

在多项式f(x)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它

们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f(x)的分解

式成为

其中c是f(x)的首项系数，p1(x),p2(x),ps(x)是不同的首项系

数为1的不可约多项式，而Z,「2,…，rs是正整数，这种分解式称为多项式

的标准分解式.

五、重因式与多项式的根