2026年中考数学常考考点专题之代数式

第1页（共1页）2026中考数学高频考点专项训练：代数式篇第一部分．单项选择（总计12道题）1．（2025曲靖模考）请分析下面一组具有特定规律的代数式：2，3，3，3，3，，其中第n个代数式的表达式为（）+12-A．2B．2C．3D．3+(-1)n2．（2025涿州市校级三模）如果一个自然数可以写成两个自然数平方的差，那么我们就将该自然数定义为智慧数，例如99＝10212，因此99属于智慧数．在给出的下列数值中，哪个不属于智慧数（）A．15B．16C．17D．183．（2025任泽区一模）《《九章算术》》中记录了一个问题：现有人共同购买物品，若每人出七，则多出四：若每人出六，则缺少三．求人数、及物价？其含义为：现在有若干人合伙买东西，若每个人支付7元，则剩余4元；若每个人支付6元，则还缺3元，求人数、与物价分别是多少？假设有x人，那么用来表示物价的代数式为（）A．6（x+3）B．7x+4C．6x3D．7x44．（2025金乡县一模）由碳、和氢元素构成的有机化合物被称为烷烃，给出的是该类物质前四位成员的分子结构模型，图中灰色的球体象征碳原子，白色的球体则代表氢原子．观察可知，第1种物质含有4个氢原子，第2种物质含有6个氢原子，第3种物质含有8个氢原子，，依此规律推导，第20个化合物模型中的氢原子数量为（）A．40B．42C．44D．465．（2025西藏）请审视以下这组数值：1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，遵循该规律，，处于第n位的数值为（）A．2n0.1nB．2n+10.1nC．2n1+0.9nD．2n10.1n6．（2025凤庆县模考）一组具有特定规律的单项式y2，3y4，5y6，7y8，，其中第n项单项式为（）A．（n+1）y2nB．nyn+2C．（2n+1）y2nD．（2n1）y2n7．（2025江北区校级第二次模拟考试）利用黑、白两色三角形，按照图中的逻辑构建图案，已知在第1个图案里包含4个黑色三角形，第2个图案里包含7个黑色三角形，第3个图案里包含10个黑色三角形，第4个图案里包含13个黑色三角形，，若按照该规律继续延伸，那么第n个图案中黑色三角形的总数为（）A．22B．25C．28D．318．（2025桑植县第一次模拟考试）给出的一系列多项式遵循特定的排列规律：，，a2+2，，，，其中第n个多项式的表达式为（）1+2a+3A．B．n+nC．D．an9．（2025丽江模考）一组遵循特定规律的单项式：x2，4x4，9x6，16x8，25x10，36x12，，那么第n项单项式为（）A．（1）n（n+1）2x2nB．（1）n1（n+1）2x2nC．（1）nn2x2nD．（1）n1n2x2n10．（2025江北区校级模考）设整式M：anxn+an1xn1++a1x+a0，且n，an1，，a1，a0是自然数，，an是正整数，，满足条件n+max（an，an1，，a0）＝4，，其中max（an，an1，，a0）代表an，an1，，a0里的最大值，．关于该题的表述：符合要求的整式M仅包含4个单项式；在所有符合要求的整式M里，整式M的各项系数之和，其最大值是6；若n≤2，则符合要求的整式M在，条件下共有19个．其中正确项的数量为（）A．3B．2C．1D．011．（2025江北区校级模考）五一假期，重庆的无人机为广大游客带来了多场震撼的演出，在其中一个环节里，小明注意到无人机的排列数存在一定规律，第1个图形包含4架无人机，第2个图形包含9架无人机，第3个图形包含14架无人机，通过分析图像，依照该规律推导，第n个图形中的无人机总数为（）A．28B．29C．30D．3112．（2025江岸区校级模考）在我国南宋时期，数学家杨辉利用三角形来阐述二项式幂的展开规律，并将其命名为杨辉三角，具体如下，该三角形揭示了展开式中各项系数的分布规律（其排列顺序为n的幂次从高到低）：11（a+b）1＝a+b121（a+b）2＝a2+2ab+b21331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b314641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4请参照前述逻辑进行推断：：假设当前为周三，，那么在1510天之后将是（）A．周四B．周五C．周六D．周日第二部分．填空题（总计8道小题）13．（2025费县一模）设有3个数字按顺序排列：5，12，10，若将每两个相邻数字，通过右侧数字减去左侧数字，计算出差值并填在两者中间，则会形成一个新的数列：5，7，12，2，10，此过程定义为第1次运算；重复进行第2次相同的运算仍可得到一个新数列：5，2，7，5，12，14，2，12，10，如此循环往复，请问：若初始数列为5，12，10，，在执行第2025次运算后．所得新数列中所有元素的总和为．14．（2025遵义模考）已知单项式x2yn+1加上单项式2xmy4的结果依然是一个单项式，那么mn＝．15．（2025临川区第二次模拟考试）一组遵循特定规律排列的单项式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，依照该规律，第12项单项式是．16．（2025海陵区校级三模）所谓素数，是指除了1与自身以外不再有其他因数的自然数，比如2，3，5，7，11，．已知“所有自然数n，n2n+41均为素数”这一命题是错误的，为了证明该命题不成立，仅需提供一个反例即可，比如在n（n＜50）等于的情况下，n2n+41并不属于素数．17．（2025玉树市模拟）已知以下图形均由尺寸相同的黑色正方形纸片拼接而成，其中第1个图形包含3块黑色正方形纸片，第2个图形包含5块黑色正方形纸片，第3个图形包含7块黑色正方形纸片，，若依此规律继续延伸，则第n个图形中黑色正方形纸片的数量为．18．（2025徐州校级模考）已知实数x符合x33x+2＝0，，求代数式2025+6x2x3的结果为．19．（2025乾县校级二模）将若干个、规格与形状一致的黑色棋子，依照图中的方式排列成图案，已知第1个图案包含2枚棋子，第2个图案包含5枚棋子，第3个图案包含8枚棋子，第4个图案包含11枚棋子，，若继续遵循该规律，那么第n个图案中的棋子总数为枚．20．（2025西城区校级三模）如图所示，在半径为1m的圆环形轨道平面上，竖立着一根柱子，已知该轨道与柱子之间的最短距离是d（d＞0），轨道上配备了精密测距设备，可在轨道的n个不同地点测算与柱子的距离h，将这h1、h2hn个测量点所得的距离数值分别记作n和．若h1+h2++hn1＝hn，则，代表轨道与柱子之间最理想的布局，，此时d即为最优距离，若最佳距离为d＝1m，则，hn能达到的最大值是；若n所能达到的最大数值为6，则，中关于最佳距离d的区间为．第三．部分：解答题（，总计5道小题）21．（2025池州一次模拟考试）请审视以下各项：第1项等式：；-1×第2项等式：；-第3项等式：；-依照前述规律，请列出第5个等式：；请将第n个等式：；（写成包含n的表达式）请求解（3）：．(-1×22．（2025来安县第二次模拟考试）请审视下列等式：第1项等式：2212＝1×3；第2项等式：4222＝2×6；第3项等式：6232＝3×9；第4项等式：8242＝4×12；依据上述逻辑，处理以下事项：请列出第7个等式：；请推测出第n个等式（，并利用包含n的表达式将其写出），，随后给出相应的证明．。23．（2025安徽三模）为了增强学生的独立研究能力，本校组织了由兴趣小组主导的探究实践，各小组在研究期间观察到：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c全部为正整数），具体研究步骤如下：若n＝1，则，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；若n＝2，则，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；若n＝3，则，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；若n＝4，则，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；（1）依据上述逻辑，在空格处填入：若n＝5，则，（52+5+1）2＝（）2＝（）2；推测：（n2+n+1）2＝（）2．（2）兴趣小组在进一步探究后还察觉到：12+22+（1×2）2＝9＝3222+32+（2×3）2＝49＝7232+42+（3×4）2＝169＝13242+52+（4×5）2＝441＝212基于上述研究过程，对猜想：（n2+n+1）2＝（）2+（）2+（）2，进行综合分析，，并提供相应的推导证明．24．（2025宿松县模拟）在桌面上放置10枚背面朝上的硬币，并对其进行编号，，，设定正面朝上状态为+，且背面朝上状态为，某兴趣小组的成员根据以下步骤操作翻转硬币：在第1轮中，将所有编号为1倍数的硬币翻转一次，在第2轮中，将所有编号能被2整除的硬币翻转一次，在第3轮中，将所有编号能被3整除的硬币翻转一次，随后在第n轮中，将所有编号能被n整除的硬币翻转一次，至此游戏完结．（1）请完善下方的表格内容：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩翻次12232444结果+﹣﹣+﹣﹣﹣﹣（2）假设共有20个硬币，，当游戏终止时，，所有处于正面状态的硬币序号为；（3）依据前述规定，假设游戏完结时共有n枚硬币正面朝上，那么硬币的总数最大可为枚（请写出包含n的表达式）．25．（2025蚌埠模考）阅读文本：若存在一个数列，自该数列的第2项起，任意一项与其前一项的比值均为一个恒定的非零常数，此类数列被定义为等比数列．而该常数则被称为等比数列的公比，习惯上使用字母q来代表（q≠0）．（1）审视一个等比数列1，，，，，其公比为q＝；假设an（n是一个正整数）用以代表该等比数列中的第n个项，由此可知an＝；131若要计算1+2+22+23+24++230的数值，，可采取以下操作流程：设S＝1+2+22+23+24++230，在等式两侧同乘2，，可得2S＝2+22+23+24+25++231，根据，可以推导出2SS＝2311，S＝2311，也就是1+2+22+23+24++230，其数值等于2311．请参照上述推导步骤，求出：1+3+32+33++32025．2026中考数学重点考点精讲：代数式专项训练标准答案及题目详解第一部分．单项选择（合计12道题）题号1234567891011答案CDDBADBDCCB题号12答案A第一部分．单项选择（总计12道题）1．（2025曲靖模考）请审视下方遵循特定规律分布的代数式：2，3，3，3，3，，其中第n个代数式的表达式为（）+12-A．2B．2C．3D．3+(-1)n【知识点】规律类：数值变动类型．菁优网版权所有【板块】规律类；逻辑推理．【结果】C【探讨】通过观察前几项的演变规律，可以推导出第n项的表达式为，，需留意符号的更替．【分析】计算：由前述各项的演变规律可知，第n项的表达式为3．+因此，正确选项为：C．【解析】本小题旨在考查规律寻找能力，此类问题在中学毕业考试中十分常见．面对找规律题，首要任务是分析哪些元素在产生变动，并确定其变化的具体逻辑，突破本题的核心在于对变化趋势进行有效的概括与总结．2．（2025涿州市校级三模）定义：如果一个自然数可以写成两个自然数的平方之差，那么这个数就被定义为“智慧数”，例如99＝10212，因此99被视为一个智慧数．在给出的下列数值中，哪个不符合智慧数的定义（）A．15B．16C．17D．18【知识点】规律探索：数值变动类型．菁优网版权所有【模块】整式；计算技巧．【结果】D【探讨】若某数值为智慧数，则其可写成两个非零自然数平方之差，将这两个数值定为m、n，设m＞n，由此得智慧数＝m2n2＝（m+n）（mn），由于mn为非0自然数，所以m+n与mn均为自然数．若需验证该数是否属于智慧数，可通过对该数进行因数分解，将其拆解为两个整数的乘积，进而观察这两个整数是否能表示为两个非0自然数的和与差．【分析】计算：A、15＝4212；B、16＝5232；C、17＝9282；D、18无法写成两个非零自然数平方的差．因此，正确选项为：D．【解析】此题旨在测试对平方差公式的掌握程度，其核心解题思路是对所有可能的分解方案逐一核实．3．（2025任泽区一模）《《九章算术》》中记录了一个问题：现有人共同采购物品，若每人支付七，则多出四：若每人支付六，则缺少三．求人数、及物品总价？其含义为：现在有一群人共同买东西，若每人出7元，则剩余4元；若每人出6元，则还缺3元，求总人数、与总金额？假设有x人，那么用来表示物价的代数式为（）A．6（x+3）B．7x+4C．6x3D．7x4【知识点】代数式列式；数学基础．版权归菁优网所有【板块】整式；计算水平．【结果为】D【探讨】依据价格＝单人出资额与人数的乘积减去超出部分或价格＝单人出资额与人数的乘积加上不足部分，通过建立代数式进行计算．【计算过程】求解：由已知条件可知，用代数式来表示物价，可以写作：7x4或者6x+3．因此，正确选项为：D．【解析】该题的核心在于考察如何列出代数式，能否熟练运用列代数式的技巧是解题的关键．4．（2025金乡县一模）由碳、和氢元素构成的有机化合物被称为烷烃，该类物质前四种成员的分子结构模型如图所示，图中灰色的球体指代碳原子，白色的球体指代氢原子．观察可见，第1种化合物包含4个氢原子，第2种包含6个氢原子，第3种则包含8个氢原子，，依此规律推导，第20种化合物的分子结构模型中，氢原子的数量为（）A．40B．42C．44D．46【知识点】规律探究：图像演变类型．菁优网版权所有【板块】规律探索；计算素养．【结果】B【探讨】参照提供的图示，逐一计算出模型内氢原子的数量，总结其变化特征即可得出答案．【分析】计算：根据给出的图示可以得出，在第1类化合物的分子结构模型里，氢原子的数量是：4＝1×2+2；在第2类化合物的分子结构模型里，氢原子的数量是：6＝2×2+2；在第3类化合物的分子结构模型里，氢原子的数量是：8＝3×2+2；在第4类化合物的分子结构模型里，氢原子的数量是：10＝4×2+2；在第5类化合物的分子结构模型里，氢原子的数量是：12＝5×2+2；，因此，在第n类化合物的分子结构模型里，氢原子的数量共计（2n+2）个，若n＝20，则共有，2n+2＝42（项），也就是说，在第20类化合物的分子结构模型里，包含的氢原子数量为42个．因此，正确选项为：B．【解析】此题旨在测试对图形演变规律的掌握，核心在于能否准确识别出变化规律．5．（2025西藏）请审视以下这一组数值：1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，遵循该规律，，其第n位数值为（）A．2n0.1nB．2n+10.1nC．2n1+0.9nD．2n10.1n【知识点】规律探究：数值变动类型．菁优网版权所有【板块】规律类；计算能力．【结果】A【解析】首先地分析整数部分的变化规律是2n1，随后地推导小数部分的演变规律为10.1n，最终即可得出该数列的整体规律．【分析】计算：通过分析该组数据可以得出：其整数部分是1，3，5，7，9，，因此第n项的整数部分为2n1，小数位0.9，0.99，0.999.0，9999，0.99999，，，那么第n个数值的小数点后部分是10.1n，遵循该规律，，第n位数值为2n0.1n．因此，正确选项为：A．【解析】此题旨在测试对数值演变规律的掌握，能否准确识别规律是解题的核心．6．（2025凤庆县模考）遵循特定规律排列的单项式y2，3y4，5y6，7y8，，那么第n个单项式为（）A．（n+1）y2nB．nyn+2C．（2n+1）y2nD．（2n1）y2n【测评点】规律探索：数值演变类；单项式．菁优网版权所有【模块】规律类；计算能力．【结果】D【探讨】通过直接运用既有单项式的系数及次数属性来获取结果．【分析】计算：关于第1个单项式，其系数为1，，次数为2，2个单项式的系数为3，，其次数为4，第3个单项式的系数为5，，其次数为6，第4个单项式的次数为8，，其系数则是7，，第n个单项式的系数为2（n1）+1＝2n1，，其次数为2n，第n位单项式为（2n1）y2n．因此，正确选项为：D．【解析】本题旨在考察对单项式的理解，能否准确把握单项式中系数及次数的演变规律是解题的核心．7．（2025江北区校级第二次模拟考）按照图中的逻辑，利用黑、白两色三角形进行拼图，在第1个图形中包含4个黑色三角形，在第2个图形中包含7个黑色三角形，在第3个图形中包含10个黑色三角形，在第4个图形中包含13个黑色三角形，，若以此类推，那么第n个图形里黑色三角形的数量是（）A．22B．25C．28D．31【测评点】规律探究：图像演变类型．菁优网版权所有【板块】归纳猜想；逻辑推理．【结果为】B【探讨】参照提供的图像，逐一计算图中黑色三角形的数量，通过寻找规律来得出答案．【分析】计算：根据给出的图像可以得出，在第：4＝1×3+1；个图形里，黑色三角形的数量是：4＝1×3+1；在第个图形里，黑色三角形的数量是：7＝2×3+1；在第个图形里，黑色三角形的数量是：10＝3×3+1；，因此，在第n个图形里，黑色三角形的数量共计（3n+1）个．若n＝8，则，3n+1＝3×8+1＝25（只），也就是说，在第个图形里，黑色三角形的数量共有25个．因此，正确选项为：B．【解析】此题旨在测试对图形演变规律的掌握，能否通过观察已知图形，推导出黑色三角形数量的递增规律，是顺利解题的核心．8．（2025桑植县第一次模拟考试）给出下列一组具有特定规律的多项式：，，a2+2，，，，其中第n个多项式为（）1+2a+3A．B．n+nC．D．an【知识点】规律探究：数值演变类；多项式．菁优网版权所有【板块】规律类；逻辑推理．【结果】D【解析】由已知条件得，1能写成a0，2，从而发现规律，也就是说，第n个多项式的形式为：an1．=4【分析】计算：由已知条件可得，依照特定规律分布的多项式：，，a2+2，，，，1+2a+31的表达形式可写为a0，2，=第n个多项式的表达式为：an1，+因此，正确选项为：D．【解析】此题旨在测试对数值演变规律的掌握，多项式，能否准确识别数字之间的递变关系是突破本题的核心．9．（2025丽江模考）一组遵循特定规律的单项式：x2，4x4，9x6，16x8，25x10，36x12，，那么第n项单项式为（）A．（1）n（n+1）2x2nB．（1）n1（n+1）2x2nC．（1）nn2x2nD．（1）n1n2x2n【测评点】规律探究：数值演变类；单项式．菁优网版权所有【板块】逻辑推理填空；推断能力．【结果为】C通过对【进行剖析，留意】在x2，4x4，9x6，16x8，25x10，36x12，方面的变动规律，，从而推导出第n个单项式的形式．【分析】推导：根据x2，4x4，9x6，16x8，25x10，36x12，，由此可以推断出，第n个单项式为（1）nn2x2n．因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试对单项式演变规律的掌握程度，突破口在于精准地识别出其变化趋势．10．（2025江北区校级模考）给定整式M：anxn+an1xn1++a1x+a0，且n，an1，，a1，a0属于自然数，an属于正整数，且符合n+max（an，an1，，a0）＝4，其中max（an，an1，，a0）代表an，an1，，a0里的最大值．关于此题的描述：符合要求的整式M仅包含4个单项式；在所有符合要求的整式M里，整式M的各项系数之和的最大值是6；若n≤2，则符合要求的整式M在，条件下共有19个．其中正确项的数量为（）A．3B．2C．1D．0【测评点】规律探究：数值演变类型；单项式；多项式．菁优网版权所有【模块】计算类题目；几何直观．【结果为】C【解析】此题应依据给出的前提n+max{an，an1，...，a0}＝4，将整式M的多种可能性展开分情况探讨，进而验证各项结论是否成立．【给出答案】求解：评定观点，若n＝1成立，则，在max{a1，a0}＝3，的情况下若a＝3，a＝0，，那么M＝3x属于单项式；当a＝0，a＝3，时，M＝3属于单项式．若n＝2，且，，假设max{a2，a1，a0}＝2，，那么a2＝2，a1＝0，a0＝0，对于单项式M＝2x2而言是；若a2＝0，a1＝0，a0＝2，，那么M＝2属于单项式．；若a2＝1，a1＝1，a0＝0，，则M＝x2+x属于多项式．若n＝3，且，，假设max{a3，a2，a1，a0}＝1，，那么a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝0，则M＝x3属于单项式．符合要求的单项式包含x3，2x2，3x，2，3在内，数量多于4个，，因此该表述不正确．请评判该表述是否正确，若n＝0，且，max{a0}＝4，，那么M＝4，的系数之和为4．若n＝1，则，的系数之和为3；，此时a1＝3，a0＝0，M＝3x，假设a1＝0，a0＝3，M＝3，的所有系数之和等于3．若n＝2，则，的各项系数之和为2；，此时a2＝2，a1＝0，a0＝0，M＝2x2，假设a2＝1，a1＝1，a0＝0，M＝x2+x，的各项系数之和等于2．若n＝3，则，的系数之和为1．，此时a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝0，M＝x3，若n＝1，a1＝2，a0＝2，则，M＝2x+2，的各项系数之和为4．若n＝0，a0＝6未能达到n+max{an，an1，...，a0}＝4．条件，且其系数之和的最大值不等于4，，则6，这一表述是不正确的．请评判，的观点是否正确若n＝0，则，max{a0}＝4，a0＝4，中包含1个整式M＝4．在n＝1的情况下，，如果max{a1，a0}＝3，（a1，a0）则可能取值为（3，0），（0，3）；假设max{a1，a0}＝2，（a1，a0）能够取值为（2，0），（0，2），（2，1），（1，2）；假设max{a1，a0}＝1，（a1，a0）能表示为8个整式（1，0），（0，1），（1，1），的．在n＝2的情况下，，如果max{a2，a1，a0}＝2，（a2，a1，a0）存在多种可能的组合方式．在a2＝2的条件下，，（a1，a0）会出现（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（0，2），（2，0）等情形；在a2＝1的情况下，存在多种情形，，总计有9个整式．若n＝3，则，max{a3，a2，a1，a0}＝1，a3＝1，（a2，a1，a0）等于（0，0，0），的整式．共有1个符合要求的整式M总计有1+8+9+1＝19个，，因此该表述是正确的．因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试逻辑推演水平，采取分类讨论法是突破本题的核心．11．（2025江北区校级模考）五一假期内，重庆的无人机群为广大游客带来了多场震撼的演出，在其中一个环节中，小明注意到无人机的排列数量存在一定规律，第1个图形包含4台无人机，第2个图形包含9台无人机，第3个图形包含14台无人机，通过分析图像，遵循该规律，第n个图形所包含的无人机总数应为（）A．28B．29C．30D．31【测评点】规律探索：图像演变类型．菁优网版权所有【板块】归纳猜想；逻辑推理．【结果为】B【探讨】依据提供的图像，逐一计算图中无人机的数量，通过寻找规律来得出答案．【分析】计算：根据给出的图像可以得出，在第个图形里，无人机的数量是：4＝1×51；在第：9＝2×51；个图形里，无人机的数量为：9＝2×51；在第个图形里，无人机的数量为：14＝3×51；，因此，在第n个图形里，无人机的数量为（5n1）架．若n＝6，则，5n1＝5×61＝29（台），也就是说，在第个图形里，无人机的数量为29架．因此，正确选项为：B．【解析】此题的核心在于考察图形演变的逻辑，能否通过观察已知图形推导出无人机数量的递增规律是突破本题的重点．12．（2025江岸区校级模考）在我国南宋时期的数学家杨辉，通过构建一个三角形来阐述二项式幂的展开规律，将其命名为杨辉三角，见下图，该三角形揭示了特定展开式的系数分布（其排列顺序为n的幂次从高到低）：11（a+b）1＝a+b121（a+b）2＝a2+2ab+b21331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b314641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4请参照前述逻辑推断：假设当前为周三，那么在1510天之后将是（）A．周四B．周五C．周六D．周日【知识点】规律探索：数值演变类型；完全平方公式；数学基础常识．菁优网版权所有【板块】规律类；创新思维．【结果】A【探讨】基于一周有7天，这一特性，其尾数呈现出7个数字的循环模式，。通过运用该规律计算出1510天对应的尾数，从而得出．的结论。【分析】计算：1510＝（14+1）10（14+1）10＝1410+10×149×1++10×14×19+110，除以（14+1）10÷7后，所得余数为：1，除以1510÷7所得的余数是：1，假设今日为周三，，那么在1510天之后将是周四．因此，正确选项为：A．【解析】此题重点测试对数字演变规律的掌握，解题的核心在于准确把握给出的规律，计算出1510÷7的余数．第二部分．填空题（总计8道小题）13．（2025费县一模）给定一组顺序排列的3个数值：5，12，10，若对每两个相邻的数，采取用后一个数减去前一个数的方式，并将计算结果记录在两数之间，从而形成一个新的数列：5，7，12，2，10，此过程定义为第1次运算；重复执行第2次相同的步骤仍能得到一个新的数列：5，2，7，5，12，14，2，12，10，如此循环往复，请问：若初始数串为5，12，10，，在进行第2025次操作后10152．所得新数串中所有数值的总和是多少10152．【知识点】规律类：数值变动型．菁优网版权所有【模块】归纳猜想；逻辑推理．【结果为】10152．【通过分析】按照题目要求，逐一计算每步操作后所得数串中所有数值的总和，从而通过寻找规律来得出答案．【分析】计算：根据已知条件，由于5+12+10＝27，5+7+12+（2）+10＝32，5+2+7+5+12+（14）+（2）+12+10＝37，，因此在每一步操作中均需增加5．由此可得27+2025×5＝10152，也就是说，在执行完第2025次操作之后，所有数值的总和等于10152．因此，正确选项是：10152．【解析】该题目重点测试对数字变动规律的掌握，通过运算得出每次操作增加5为突破本题的核心．14．（2025遵义模考）已知单项式x2yn+1和单项式2xmy4相加的结果依然是单项式，那么mn＝1．【知识点】同类项合并．版权归菁优网所有【模块】整式；计算技巧．【结果】1．【解析】利用合并同类项的原则可以得出：m＝2，n+1＝4，由此可以推导出：m＝2，n＝3，随后将m，n的数值代入相关表达式中进行运算即可求得结果．【分析】证明：两个单项式x2yn+1及另一个单项式2xmy4相加的结果依然是一个单项式，m＝2，n+1＝4，计算结果为：m＝2，n＝3，mn＝23＝1，因此，结果是：1．【解析】此题旨在测试对合并同类项的理解，能否灵活运用合并同类项的相关规则是顺利完成本题的核心．15．（2025临川区第二次模拟考试）一组遵循特定规律的单项式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，依照该规律，第12项单项式是169m23．【测评点】规律探究：数值演变类；单项式．菁优网版权所有【模块】实数；计算技巧．【结果】169m23．【探讨】依据该单项式的具体特征，通过摸索规律便能得出结论．【分析】计算：根据已知条件可知：各项系数的分布特征是：4，9，16，25，，（n+1）2，指数的分布规律是：1，3，5，7，，2n1，第n项的单项式是：（n+1）2m2n1，第12项单项式是：（12+1）2m2×121＝169m23．因此，结果是：169m23．【解析】此题旨在考察对单项式规律的探究能力，解题的核心在于能否准确地分析出题目所给单项式的变化规律．16．（2025海陵区校级三模）若一个自然数仅能被1以及它本身整除，则称其为素数，例如2，3，5，7，11，．已知“任何自然数n，n2n+41均为素数”这一命题为假，为了证明该命题不成立，仅需提供一个反例即可，比如，若取n（n＜50）等于41，n2n+41则并非素数．【知识点】规律类：数值变动型；定理与命题．菁优网版权所有【板块】规律类．【正确选项为】41．【探讨】藉由将各异的自然数n（n＜50）填入n2n+41内，得出数值并验证其是否属于质数，从而搜寻反例．【计算】分析：若n＝40成立，n2n+41＝40240+41＝160040+41＝1601，1601则为质数；若n＝41，则，n2n+41＝41241+41＝168141+41＝1681，1681＝41×41，不属于质数．因此，得出的结果是：41．【解析】此题的核心在于考察对素数定义的理解，需精准把握素数的含义（即仅能被1及其本身整除的自然数）是突破本题的要点．17．（2025玉树市模拟）以下各图形均由尺寸相同的黑色正方形纸片拼成，已知第1个图包含3块黑色正方形纸片，第2个图包含5块黑色正方形纸片，第3个图包含7块黑色正方形纸片，，若依此规律继续延伸，则第n个图中黑色正方形纸片的数量为13．【测评点】规律探究：图像演变类型．菁优网版权所有【板块】逻辑推演填空；整式部分．【正确选项】请参阅试题解析部分【解析】通过对图像的细致观察可以发现，首个图形包含3个正方形，，次序的图形有5＝3+2×1个，，第三个图形则拥有7＝3+2×2个，根据这一规律，计算出第n个图形里正方形的总数即可．【分析】计算：由图可知：首个图案包含3个正方形，次之的一个包含5＝3+2×1个，在第三个图案中包含7＝3+2×2个，因此，第3+2×5＝13（个图案包含），个[PROTECT_2]因此，得出的结果是：13．【解析】本题旨在测试对图形演变规律的掌握，要求通过观察图像来推测数值，核心在于运用归纳总结法，挖掘出隐藏的规律，进而将该规律应用于解决通用问题．18．（2025徐州校级模考）已知实数x符合条件x33x+2＝0，，求代数式2025+6x2x3的结果为2029．【知识点】计算代数式的值．菁优网版权所有【板块】实数；计算技巧．【结果】2029．【解析】首先依据给定的条件计算出x33x＝2，将目标表达式转化为包含x33x的结构，随后将整体代入其中完成运算．【分析】计算：x33x+2＝0，x33x＝2，2025+6x2x3的＝20252（x33x）＝20252×（2）＝2025+4＝2029，因此，正确选项是：2029．【解析】该题的核心考点在于代数式的数值计算，突破口在于能够灵活运用整体代入法来求解．19．（2025乾县校级二模）利用、规格与形状一致的黑色棋子，按照图中的逻辑构建图案，已知第1个图案包含2枚棋子，第2个图案包含5枚棋子，第3个图案包含8枚棋子，第4个图案包含11枚棋子，，依此规律推导，那么第n个图案所含棋子的总数为20枚．【测评点】规律探究：图像演变类型．菁优网版权所有【板块】归纳猜想；逻辑推理．【正确选项为】20．【探讨】依据提供的图像，逐一计算图中棋子的数量，通过寻找其中的规律来得出答案．【分析】计算：根据给出的图像可以得出，在第：2＝1×31；个图形里，棋子的总数是：2＝1×31；在第：5＝2×31；个图形里，棋子的总数是：5＝2×31；在第个图形里，棋子的总数为：8＝3×31；，因此，在第n个图形里，棋子的总数是（3n1）个．若n＝7，则，3n1＝3×71＝20（粒），也就是说，在第个图形里，棋子的总数是20个．因此，正确选项是：20．【解析】该题旨在测试对图形演变规律的掌握情况，通过观察给出的图形，识别出棋子数量呈递增趋势3是突破本题的核心．20．（2025西城区校级三模）见图，在半径为1m的圆环形轨道平面上，竖立起一根柱体，已知该轨道与柱子之间的最短距离是d（d＞0），轨道上安装有高精度测距设备，能够在该轨道的n个不同点位测量其到柱子的距离h，将这h1、h2hn个不同点位所测得的距离值记作n和．若h1+h2++hn1＝hn，则，代表轨道与柱子之间最理想的安置点，而此时的d即为最优距离，若最佳距离为d＝1m，则，hn所能达到的最大值是3m；若n的峰值为6，则，最理想距离d的区间为0.4m≤d＜0.5m．【测评点】规律探究：几何图形演变；平面展开图求最短距离．菁优网版权所有【模块】平移变换、旋转及对称特性；逻辑推理．【结果】（1）3m；（2）0.4m≤d＜0.5m．【探讨】（1）依据圆的特性，在最优距离d＝1m的情况下，通过圆周上某点与圆外定点之间距离的极值规律进行计算hn最大量；依据h1+h2++hn1＝hn以及圆周上各点至圆外直线之距离的波动区间，，并结合n的峰值为6，，通过构建不等式进行计算，，从而推导出最优距离d的区间．。【计算过程】分析：（1）见图，将轨道的圆心定义为O，立柱所在的直线表示为MN，通过OHMN，与⊙O相交，交点为B，点A，与MN的交点记作H，由题干信息可以得出，OA＝OB＝1m，d＝AH，AB＝OA+OB＝1+1＝2（m），若最优距离为d＝1m的情况下，AH＝1m，BH＝2+1＝3（m），1m≤h≤3m，hn所能达到的最大值是3m，因此，结果是：3m；若n＝6，则（2），h1+h2+h3+h4+h5＝h6，由题意可知，d≤h≤d+2m，h1+h2+h3+h4+h5＞5d，h6≤d+2m，5d＜d+2m，d＜0.5m，若n所能达到的最大值是6，则，h1+h2+h3+h4+h5+h6＞6d，h7＞d+2m，6d≥d+2m，d≥0.4m，0.4m≤d＜0.5m，因此，正确选项是：0.4m≤d＜0.5m．【解析】此题旨在测试关于圆周上某点至圆外直线间距离的计算，突破口在于对题目要求的精准把握．三．综合解答题（总计5道小题）21．（2025池州一次模拟考试）请审视以下各项：第1项等式：；-1×第2项等式：；-第3项等式：；-依照前述规律，请推导出第5个等式：；-将第n个等式：；（写成包含n的表达式）-（3）求：．的值(-1×【知识点】规律探究：数值演变类型；有理数综合计算．菁优网版权所有【板块】规律类；计算能力．【结果】（1）；（2）；（3）．-15【通过对】（1）的分析可以发现，两个相邻正整数的负倒数相乘，其结果等同于较小正整数的负倒数与较大正整数的倒数之和，且同样等于这两个正整数乘积的负倒数，依照该规律进行计算即可；通过（1）的计算结果，即可得出结论；（2）（3）依照总结出的规律，将目标表达式进行裂项处理并计算即可．【分析】计算：（1）根据前三组等式的规律可以推断，第n个等式：（n属于正整数），-第5项等式：；-根据（2）与（1）的关系，可以推导出第n个等式：；-（3）原等式=(-1+=-1+=-1+=-2024【解析】该题目重点测试对数字序列规律的分析能力，能否准确识别规律是解题的核心．22．（2025来安县第二次模拟考）请审视下面的等式：第1项等式：2212＝1×3；第2项等式：4222＝2×6；第3项等式：6232＝3×9；第4项等式：8242＝4×12；依据上述逻辑，处理以下事项：请列出第7个等式：14272＝7×21；请推测出第n个等式（，并将其写成关于n的表达式），，随后给出证明．。【知识点】规律探索：数值变化类型；有理数综合计算；写出代数式．菁优网版权所有【板块】规律类；计算能力．【结果】（1）14272＝7×21；（2）（2n）2n2＝n3n，请给出以下内容的证明：：位于左侧＝4n2n2＝3n2，右侧＝3n2，左侧＝右侧，（2n）2n2＝n3n持有．【探讨】（1）依据该题中等式的规律，推导出第7个等式便可；（2）通过观察题中等式的规律，提出假设（2n）2n2＝n3n，随后分别求出等式两端的数值，验证两者是否一致，从而证实该猜想．【分析】计算：（1）由给出的等式特征可以得出：第7项等式：14272＝7×21．因此，正确选项是：14272＝7×21；（2）推测：（2n）2n2＝n3n；请证明下列：左侧＝4n2n2＝3n2，右侧＝3n2，左侧＝右侧，（2n）2n2＝n3n持有．【解析】此题旨在测试关于数值变动类型的、代数式构建，以及积的乘方计算，并要求掌握等式的相关特性，能否灵活运用上述知识点是解题的核心．23．（2025安徽三模）为了增强学生的独立钻研能力，本校组织了由兴趣小组主导的探究实践，各小组在研究期间注意到：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c全部为正整数），具体探究步骤如下：若n＝1，则，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；若n＝2，则，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；若n＝3，则，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；若n＝4，则，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；（1）依据上述逻辑，在空格处填入：若n＝5，则，（52+5+1）2＝（5×6+1）2＝（31）2；推测：（n2+n+1）2＝（n（n+1）+1）2．（2）兴趣小组在进一步探究后得知：12+22+（1×2）2＝9＝3222+32+（2×3）2＝49＝7232+42+（3×4）2＝169＝13242+52+（4×5）2＝441＝212基于上述研究过程，对，的假设：（n2+n+1）2＝（n）2+（n+1）2+（n（n+1））2，进行验证，并提供相应的逻辑推导与证明．【测评点】规律探索：数值演变类型；非负数特征：偶数次幂．菁优网版权所有【模块】规律类；创新思维．【结果】（1）5×6+1；n（n+1）+1；（2）n，n+1，n（n+1），（n2+n+1）2，＝[n（n+1）+1]2，＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，因此，左侧＝与右侧，一致，该猜想得证．【通过对】（1）给出的等式，进行审视，捕捉各项的变动情况，并总结出相关规律，即可得出答案．通过分析给出的等式，，审视各项的变动情况，，在总结出相关规律，后，予以证明即可．【分析】计算：（1）若n＝5则，（52+5+1）2＝（5×6+1）2＝312；推测：（n2+n+1）2＝[n（n+1）+1]2．因此，结果是：5×6+1，31；n（n+1）+1；（2）推测：（n2+n+1）2＝n2+（n+1）2+[n（n+1）]2，请证明：（n2+n+1）2，＝[n（n+1）+1]2，＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，因此，左侧＝与右侧，的猜想得以验证．【解析】该题目侧重于考察数字变动规律以及整式的综合运算能力，解题的核心在于能够通过给出的等式推导出各部分的演变规律．24．（2025宿松县模考）在桌面上放置10枚背面朝上的硬币，并对其进行编号，，，设定正面朝上为+，，背面朝上为，。某兴趣小组的成员根据以下规定开展翻硬币活动：：在第1轮中，将所有编号为1倍数的硬币翻转一次，；在第2轮中，将所有编号能被2整除的硬币翻转一次，；在第3轮中，将所有编号能被3整除的硬币翻转一次；在第n轮中，将所有编号能被n整除的硬币翻转一次，。至此，游戏完毕．。（1）请完善下方的表格内容：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩翻次12232444结果+﹣﹣+﹣﹣﹣﹣（2）假设拥有20个硬币，，当游戏完结之际，，所有处于正面状态的硬币序号为；根据前述规定，，假设在游戏终局时共有n枚硬币处于正面朝上状态，，那么硬币的总数最大可达（n2+2n用包含n的表达式来代表）．枚（【知识点】规律探索：数值演变类型；写出代数式．菁优网版权所有【模块】规律探索；整式；计算水平；逻辑推演．【结果为】（1）编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩翻次1223242434结果+﹣﹣+﹣﹣﹣﹣+﹣（2）；（3）（n2+2n）．【探讨】（1）序号可被1与7整除的整数，因此翻转次数是2，最终得，序号可被1，3及9整除，故翻转次数为3，结果是+，请将数据填入表中；（2）将所有比赛结果一一罗列，从而得出结论；（3）通过分析前20个硬币的抛出情况，，寻找前4次中出现次数最高的一方数量，，从而获取最终结果．【分析】计算：（1）序号可被1与7整除的整数，因此翻转次数是2，得出结果为，序号能被1，3及9整除，故翻转次数为3，最终结果是+，表格填写如下；编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩翻次1223242434结果+﹣﹣+﹣﹣﹣﹣+﹣根据（2）与（1），可以得出，共有20个硬币，。当游戏停止时，，所有处于正面状态的硬币编号分别是．编号⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳翻次2624452626结果﹣﹣﹣﹣﹣+﹣﹣﹣﹣因此，结果是：；若有1个硬币处于正面状态，则最多能有1+2个硬币；若有2个硬币处于正面状态，则，至多能有22+4个硬币；若3个硬币处于正面朝上状态，则，至多能有32+2×3个硬币；，若有n个硬币处于正面状态，则，至多能拥有n2+2×n＝n2+2n个硬币．因此，正确选项是：（n2+2n）．【解析】该题的核心在于考察数字的演变规律，并要求通过代数式进行描述，能否准确运用上述知识点是解题的关键．25．（2025蚌埠模考）阅读内容：若存在一组数列，自该数列的第2项起，任意一项与其前一项的比值均恒等于一个不为零的常数，则称此数列为等比数列．该常数被定义为等比数列的公比，一般采用字母q来代表（q≠0）．（1）审视一个等比数列1，，，，，其公比为q＝；已知an（n是一个正整数）用来代表该等比数列中的第n个项，由此可得an＝；13191若要计算1+2+22+23+24++230的数值，，可采取以下操作流程：设定S＝1+2+22+23+24++230，将等式两侧同时乘以2，，可得2S＝2+22+23+24+25++231，根据，可以推导出2SS＝2311，S＝2311，也就是1+2+22+23+24++230，其数值等于2311．参考上述推导步骤，，求出：1+3+32+33++32025．的值。【测试点】规律探究：数值变动类型；有理数综合计算；写出代数式．菁优网版权所有【板块】规律类；计算能力．【正确选项为】（1），；13（2）．1+3+【探讨】（1）经观察发现，后项与前项的比值恒等于，利用已知数值的规律计算出an便可；1设定（2）为S＝1+3+32+33++32025，，通过将3S＝3+32+33++32026，这两个等式相减，即可求得结果．【分析】计算：（1），q=a1＝1，，，，，a2=an因此，正确选项是：，；13设定（2）为S＝1+3+32+33++32025，，由此可得3S＝3+32+33++32026，将这两个等式相减，，可得2S＝320261，，即．S=3【解析】此题旨在测试学生对有理数综合运算实际应用的掌握程度，规律的探究与描述，核心在于对规律的精准捕捉．考点卡片1．关于非负数的特性：偶数次幂偶数次幂的结果始终不为负．任何数值的偶数次幂均不为负，若若干个数值或代数式的偶次方之和等于0，那么其中的每一个项都必然等于0．2．有理数综合运算（1）有理数混合运算的步骤：首选计算乘方，随后处理乘除法，末尾执行加减法；对于同级运算，应当遵循从左至右的原则；若题目中包含括号，则需优先完成括号内的计算．（2）在执行有理数综合计算的过程中，应留意相关运算定律的灵活使用，从而让计算步骤更加简便．【计算法则】有理数混合运算的四项技巧1．转换技巧：第一点是将除法运算改为乘法，第二点是将幂运算改为乘法，第三点在涉及乘除的综合运算时，一般将小数形式改为分数，以便通过约分简化计算．2．凑整法：在进行加减混合计算时，一般把相加得零的两个数值，分母一致的两个数值，相加为整数的两个数值，相乘为整数的两个数值分别组合在一起计算．3．拆分法：首先把带分数转化为一个整数加上一个真分数的结构，随后开展运算．4．灵活运用运算定律：在进行计算时，通过巧妙地使用加法或乘法的运算定律，通常能让计算过程变得更加简便．3．数学基础知识数学常识这类题目需联系实际场景进行处理，应当掌握生活中的相关数学常识．例如在面对物体的具体高度时，能够选取恰当的长度单位进行衡量．在日常生活中应多加观察，，关注周围的细小知识．写出代数式4．（1）所谓：将题目中涉及数量关系的文字描述，转化为由数字、字母及运算符号构成的表达式，这一过程被称为列代数式．（2）编写代数式的五个要点：精准解析词义．在列式过程中，首要任务是细致审题，锁定关键术语，严谨区分词义．例如“除”与“除以”的区别，“平方的差”（或“平方差”）与“差的平方”在含义上的差异．理清数量逻辑．从而确保代数式列写正确，只有透彻理解数量关系．留意运算先后顺序．在列式时，通常应遵循文字描述的数量逻辑，先提及的先书写，面对不同级别的运算，若需先执行低级运算，则应将该部分内容用括号括起．书写格式需标准化．列写代数式应符合规范要求．例如数字与字母、以及字母间的乘法可省略乘号，但数字间的乘法必须标注乘号；除法运算可采用分数形式表达，若涉及带分数与字母相乘，应先将其转换为假分数，明确何时无需加括号，以及何时必须加括号．妥善运用代数式中的括号．准确执行代换操作．在列式过程中，有时需要将题目给出的字母代入特定公式，这要求代换过程必须精准．【推导规律时】在编写代数式过程中需留意哪四个要点1．在同一表达式或特定问题里，单个字母仅能对应一个物理量．2．应关注书写格式的标准化．当使用字母来代表数值时，在字母与数字相乘的表达式里，一般地将×简写为或直接省略．在由数字与代表数值的字母组成的乘积式中，，通常将数字置于字母之前，；若该数字为带分数，则需先将其转换为假分数．。3．4．在处理包含字母的除法运算时，，通常不采用÷（