河南省南阳市2026届高三数学上学期期中测试含解析

注意事项：

1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.

2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工

整，笔迹清楚.

4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知集合A{xN|4x39}，则A的子集的个数有（）

A.4B.8C.16D.32

1

2.已知复数z满足1iz，i为虚数单位，则复数z的虚部为（）

2i

1111

A.iB.iC.D.

4444

2025

3.若x0，则xa恒成立的一个充分不必要条件是

x

A.a90B.a90C.a90D.a90

3

4.已知向量a1,1,b2,m.若向量b在向量a上的投影向量为，则m（）

2

13

A.-1B.C.1D.

22

12

5.已知不等式2x2bxc0的解集是（(，0），设fxaxbxc，则函数y=f（x）的大致图

2

象不可能为（）

A.B.

C.D.

11tan

6.已知sin,sin，则（）

23tan

A.2B.3C.4D.5

7.已知数列的通项公式n，在每相邻两项之间插入2个*，使它们和原数列的

anan2ak,ak13kN

项构成一个新的数列bn，记数列bn的前n项和为Sn，则Sn150成立的n的最小值为（）

A.35B.36C.37D.38

x

8.（北师大必修第一册P128第2题）教材中给出习题“已知函数fxlogaa1(a0且a≠1），讨

论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，

1

据此可以快速解决复合类函数的相关问题.已知函数fxx2x则该函数在0,上的单调递减区间是

（）

1

A.0,eB.0,eeC.e2e,D.e,

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.记Sn为等差数列an的前n项和，公差为d，若S5a106,a62a31，则下列结论正确的是（）

A.d2B.an2n1

11118

C.Sn没有最小值D.

a1a2a2a3a9a1019

10.已知函数fxx33mx23mR，则下列说法正确的是（）

A.该函数图象上始终有两个增区间和一个减区间（）

B.若x0为fx的极小值点，则m的取值范围为0,

C.若xx0为f（x）的极大值点，则x0的取值范围为,0

D.若m1，则过点1,3且与曲线yfx相切的直线有且只有两条

11.已知函数fsin4sin3在（0，π）上恒有f1f2f30，其中123,则

下列结论正确的是（）

A.1,2,3成等差数列B.1,2,3成等比数列

C.cos1cos3cos2D.8cos1cos2cos31

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知正数m,n满足mn2，则mn1的最大值是__________.

13.若f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f01,fx1为奇函数，则

f1f2f3f2025f2026__________.

x

14.（北师大选择性必修二P82练习2改编）设函数fxxe，若存在唯一整数x0使得fx00，

则实数λ的取值范围是__________.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15.（13分）（北师大选择性必修第二册P90第2题）

如图①为一个圆锥形酒杯，圆锥的顶角（即过圆锥的轴的平面截圆锥所得等腰三角形的顶角）为60°，向

酒杯中注水.

（1）写出注入杯中的水量V（单位：mL）关于水面高度h（单位：cm）的函数关系式Vfh；

（2）图②的图象是否能反映第（1）问中的函数关系？说明理由.

16.（15分）

已知ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

a2c2b2ac,b23

（1）求R的值；

（2）求r的取值范围.

17.（15分）

“生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数

2n1*

Fxa1a2xa3xanxnN是数列an的“生成函数”，且F1nn1.

（1）求an；

1

（2）求F.

2

18.（17分）

π

已知函数fxasinx(a0,0,||），若fx的图象过A0,1,Bm,2,Cmπ,0三

3

点，其中点B为函数fx图象的最高点（如图所示），将fx图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐

1π

标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数gx的图象.

26

（1）求函数gx的解析式；

π1ππ

（2）若关于x的不等式gxgxtgxgxt0在x0,上恒成立，求实数t的

2222

取值范围.

19.（17分）

已知函数fx2aex4x,gx2cosx3x2

1

（1）当a时，求函数fx在0,f0处的切线方程；

2

（2）求不等式gx1g2x的解集；

（3）设函数Fxfxgx，若函数yFx恰好有两个不同的极值点x1,x2，求实数a的取值范

围.

2025年秋期高中三年级期中质量评估数学试题

参考答案

一､选择题

题号12345678

答案BCDCCDAD

1.【解析】集合AxN34x390,1,2，则集合A的子集的个数有238个.

故选：B.

11i1111

2.【解析】由题知zi，故复数z的虚部为.故选：C.

1i2i22i22ii1444

20252025

3.【解析】当x0时，x2202590，当且仅当x45时等号成立，因为xa恒成

xx

2025

立，所以a90，结合各选项知xa恒成立的一个充分条件为a90.

x

故选：D.

4.【解析】因为向量a1,1,b2,k，所以向量b在向量a上的投影向量为：

abm23m23

，所以，解得.

2aaam1

|a|2222

故选：C.

1b

0

122b1

5.【解析】由题知,0是2x2bxc0的两个实数根，可得，解得，所以

21cc0

0

22

fxax2x.

当a0时，fxx，故A符合题意；

当a0时，二次函数fxax2x的图象开口向上，由fxax2xxax10，解得x0或

111

x，所以，fx的零点为0和，且0，故B符合题意，而C不符合；当a0时，二次函

aaa

11

数fxax2x的图象开口向下，fx的零点为0和，且0，故D符合题意.

aa

故选：C.

1

6.【解析】sinsincoscossin，①

2

1

sinsincoscossin,②

3

55

①+②得，2sincos，则sincos；

612

11

①-②得，2cossin，则cossin.

612

sin5

tansincos

所以cos125.

tansincossin1

cos12

故选：D.

2,3,3,4,3,,3,8,3,,3,16,3,3,32,3,,3,

7.【解析】由题可知，数列bn各项依次为：，当n35

2481632

时，S352324348381631632152，

当n34时，S34S3532120，

所以Sn150成立的n的最小值为35.

故选：A.

1

8.【解析】根据题目信息，不妨令gxlnfxlnx，则gx的减区间即为所求，又

2x

1lnx1

gx0，解得xe，所以函数2x的单调递减区间是e,.

2x2fxx

故选：D.

二､多选题

题号91011

答案ABBCACD

5a110da19d62

9.【解析】依题意有，解得a11,d2，所以an2n1，故AB正确；又Snn,Sn

a15d2a14d1

最小值为S11，故C错误，

11111

由于，所以

anan12n12n122n12n1

111111111119

11，故D错误，

a1a2a2a3a9a102335171921919

故选：AB.

10.【解析】当m0时，fxx33，易知fx单调递增，故A错误；

2

又fx3x6mx3xx2m，令fx0，解得x10,x22m,x0为fx的极小值点，

2m0,m0，故B正确；

当m0时，x00，当m0时，x00，故x0的取值范围为,0，C正确；

322

当m1时，fxx3x3，设切点x0,fx0，则切线斜率kfx03x06x0，切线方程为

322

yx03x033x06x0xx0,切线过点1,3，代入切线方程得

322，即2，解得或有三条直线与曲

3x03x033x06x01x02x0x030x00x03,

线yfx相切，故D错误；

故选：BC.

7

11.【解析】由题fsin4sin32cossin0，因为0,π，所以

22

771177π73π75π

0,π,0,π，所以sin0，所以cos0，故1,2,3，解

222222222222

π3π5π

得,,，故A正确，B错误；

172737

π5π3π2π3ππ3π

coscoscoscos2coscos2coscoscoscos，故C正确，又因为：

1377777372

π3π5ππ4π2ππ2π4π

cos1cos2cos3coscoscoscoscosπcosπcoscoscos

777777777

ππ2π4π2π2π4π4π4π

2sincoscoscos2sincoscos2sincos

777777777

πππ

2sin4sin8sin

777

8πππ

sinsinπsin

1

777，从而D正确；

πππ

8sin8sin8sin8

777

故选：ACD.

三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

9e2

12.13.-114.,e

42

22

mn13931

12.【解析】根据基本不等式：mn1，（当且仅当mn1，即m,n

22422

9

时取等号），即最大值为.

4

13.【解析】令gxfx1，由gxfx1为奇函数，得gxgx，即

fx1fx1，于是fx1fx1，又fx为偶函数，

fx1fx1,fx1fx1，用x1替换x，得fx2fx，

fx4fx22fx2fx，即4为fx的周期.

根据fx1fx1，令x0，得f10，令x1，得f2f0，

又fx为偶函数，且f01,f10,f2f21，

f3f10,f4f01，于是可得：f1f2f3f40.

又20264506余2，

f1f2f3f2025f20265060f1f20011.

14.【解析】当0时，fxex0，舍去；

1

当0时，令fxxex0，得xex，

设gxxex，得gxx1ex，令gx0得，x1，

当x1时，gx0；当x1时，gx0，

所以函数gx的极小值点为x1，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去；

1

当0时，得xex，

1

g1

e2

数形结合只需：，解得e；

12

g2

e2

综上,e.

2

四､解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15.【解析】

（1）如图所示，由题意可知：该酒杯的纵截面ABC为等腰三角形，

r3

又顶角BAC60，所以设水面半径为r，则，

h3

2

3

所以11213πh；

VShπrhπhh

33339

πh3

即：fhh0.

9

（2）图②的图象能反映第（1）问中的函数关系.

理由如下：

①杯子为“下窄上宽”形状，高度每增加一厘米显然容量增加变大，且增加速度越来越快，图象②与实际

情况是一致的.（生活中的数学）

πh2

②由导数几何意义，图象切线斜率表示V增加速率，可以发现图象②与V的计算相符，所以图②的

3

图象能反映第（1）问中的函数关系.（导数的几何意义）

πh3

③由（1）知fh，类比函数yx3（必修一P66例1）的图象特征，图（2）基本与之吻合，故认

9

为图②可以反映第（1）问中的函数关系.（数学的类比与迁移）

（注：考生能答出①②③中的任意一条或其它合理理由均建议给该问全分，但要体现“越来越快”“几何

意义”“类比函数yx3”等字样）

16.【解析】

a2c2b21

（1）由题意b2a2c2ac，由余弦定理得cosB，

2ac2

π

又B0,π，则B，

3

b23

2R4

又由正弦定理：sinB3，解得R2.

2

（2）由（1）得a2c2ac12，则(ac)2123ac，

11

SacsinBabcr，

ABC22

3ac3(ac)2123

则rac23，

223ac623ac6

2

2ac

方法一：由(ac)123ac123，

2

解得ac43（当且仅当ac时取等号），

又因为ac23，故23ac43，

从而得r0,1.

acb

方法二：在ABC中，由正弦定理得4，

sinAsinCsinB

即a4sinA,c4sinC，

2π

则ac4sinAsinC4sinAsinA

3

313331π

4sinAcosAsinA4sinAcosA43sinAcosA43sinA

2222226

，

2πππ5π

又A0,，则A,，

3666

π1

sinA,1，

62

π

即43sinA23,43，

6

r0,1.

17.【解析】

2n1

（1）因为Fxa1a2xa3xanx且F1nn1，

所以a1a2a3annn1①，

当n1可得a1122，

当n2时a1a2a3an1n1n②，

①-②得an2n，

显然当n1时上式也成立，

所以an2n.

23n4

11111

（2）由题得F24682n，

22222

23n1n

1111111

F2462n22n，

2222222

23n4n

1111111

则（1）-（2）得：F222222n

2222222

n1

11

1

nn

2211

222n42n4，

1

122

2

n

所以11n2.

F84n88

222n2

18.【解析】

T

（1）由题意得a2,π，得T4π，

4

2π1

又T，则，

2

1

所以fx2sinx.

2

1

由f01，得sin，由图知fx在0,m上单调递增，

2

π

所以2kπ,kZ，

6

ππ

又，只可能k0，所以，

36

1π

所以fx2sinx，

26

1

将fx图象上横坐标变为原来的倍，

2

ππ

得到y2sinx，再向右平移个单位长度，

66

得到y2sinx，即gx2sinx.

ππ

（2）由（1）知gx2sinx2cosx，

22

πtπ

所以不等式gxgxgxgxt0可化为：

222

2sinx2cosx2tsinxcosxt0，

tπ

即sinxcosxtsinxcosx0对任意的x0,恒成立，

22

π

令msinxcosx2sinx，则m1,2，且2sinxcosxm21，

4

原不等式转化为2mtm21t0恒成立，

解法一：

即2对恒成立，

tm22mm1,2

当m2时，易知不等式恒成立；

2

t

当m1,2时，m220，即2对m1,2恒成立，

m

m

222

因为ym在m1,2上单调递减，故2，

22

mm1

mmin1

所以t的取值范围为,2.

解法二：

2

设函数hmtm2m2t,m1,2，

21