河南省南阳市2025-2026学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

河南省南阳市2025-2026学年高一上学期第一次月考

数学试卷

一、单选题

1．已知集合M2,1,0,1,2，Nxx2x60，则MN（）

A．2,1,0,1B．0,1,2C．2D．2

2．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一

句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知命题p：x0，x23x20则（）

A．p是真命题，p:x0,x23x20

B．p是真命题，p:x0,x23x20

C．p是假命题，p:x0,x23x20

D．p是假命题，p:x0,x23x20

4．已知集合A1,a1,a2，且2A，则实数的值为（）

A．1B．0C．3D．1或3

5．已知，b，满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是（）

A．cb2ab2B．cba0

C．abacD．a0，c0

6．不等式x(x1)(3x2)(x2)20的解集为（）

222

A．(,2)(2,0),1B．(2,0)0,,1

333

222

C．(2,0)0,(1,)D．(,0)0,,1

333

7．已知1xy1，1xy3，则3x2y的取值范围是（）

A．2,8B．3,8C．2,7D．5,10

8．已知集合Ax1x4，Bxa1xa2，若集合AB中恰好只有两个整数，则实数的取值

范围是（）

A．1,02,3B．1,02,3C．2,13,4D．2,13,4

二、多选题

9．命题“xR，x2ax10”为真命题的一个必要不充分条件可以是（）

A．2a2B．a2C．a2D．2a2

10．下列说法正确的是（）

2

A．已知集合Ax∣x40，且xN，则集合的真子集个数是7

B．“a1”是“方程x2xa0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

8

C．集合MxZy,yZ中的元素个数为8

x1

D．设a,bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件

11．下列结论正确的是（）

y12

A．若x,yR,xy2，则的最小值为7

xy

1

B．当x1时，x的最小值是3

x1

51

C．当x时，4x2的最小值是5

44x5

149

D．设x0,y0，且xy2，则的最小值是

xy2

三、填空题

12．设，Q为两个非空实数集合，定义集合AabaP,bQ，若P{0,2,5}，Q{1,2,6}，则集合

A=．

13．已知x0，y0，2xyxy4，则xy的最小值为．

x210

14．不等式1的解集为．

x2

四、解答题

15．已知Ax∣x2x20,Bx∣x2ax2a40，若BA，求实数的值．

16．已知集合A{x|a1x32a},B{x|2x4}

(1)若ABA，求实数的取值范围；

(2)设命题p:xA，命题q:xB，若p是q成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

17．已知集合Ax1x3，集合Bxm3xm2,xR.

(1)若ABx0x3，求实数m的值；

ð

(2)若A(RB)A，求实数m的取值范围.

18．解关于的不等式ax2a1x10（为常数且a0）.

2

19．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其

x1

中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销

20

费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.

P

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.

题号12345678910

答案CBCCAAAABCBCD

题号11

答案BD

1．C

方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为Nxx2x60,23,，而M2,1,0,1,2，

所以MN2．

故选：C．

方法二：因为M2,1,0,1,2，将2,1,0,1,2代入不等式x2x60，只有2使不等式成立，所以

MN2．

故选：C．

2．B

根据两者之间的推出关系可得条件关系.

【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城，

但到过长城未必是好汉，

因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件．

故选：B.

3．C

根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解.

【详解】由x23x20，得x1或x2，则当1x2时，x23x20，故p是假命题，

p:x0,x23x20.

故选：C

4．C

由a12或a22求得并代入集合检验．

【详解】因为2A，所以分为以下两种情况讨论．

①|a1|2a3或1，当a3时，集合A{1,2,5}，满足题意；当a1时，集合A{1,2,1}，不满足

集合的互异性，故舍去．

②a22a0，此时集合A{1,1,2}，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，a3．

故选：C．

5．A

根据不等式的性质即可解出．

【详解】因为cba，且ac0，所以c0,a0，D一定成立；

对于A，因为ca，若b0，则cb2ab2，A不一定成立；

对于B，因为ab,c0，所以cba0，B一定成立；

对于C，因为bc,a0，所以abac，C一定成立．

故选：A．

6．A

按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案.

【详解】按的正负分类可得：

x0x0

(x1)(3x2)0或(x1)(3x2)0，

x2x2

x0x0

x0

22

得：x1或x或x1，

33

x2

x2x2

2

解得：x1或2x0或x2.

3

故选：A

7．A

设3x2ymxynxymnxmny，利用待定系数法求得m,n，利用不等式的性质即可求

3x2y的取值范围.

【详解】设3x2ymxynxymnxmny，

1

m

mn3215

所以，解得：，3x2yxyxy，

mn25

n22

2

15

因为1xy1，1xy3，所以3x2yxyxy2,8，

22

故选：A.

8．A

先算出集合A中的整数，再分AB中的两个整数是2，3和AB中的两个整数是0，1两种情况讨论，分

别得到不等式组，计算可得．

【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为a2a13，所以集合中至少有3个整数，所

以集合AB中的两个整数只能为0，1或2，3．

a23,

若集合AB中的两个整数是2，3，则解得2a3；

1a12,

1a22,

若集合AB中的两个整数是0，1，则解得1a0．

a10,

综上可得，1a0或2a3，即的取值范围是1,02,3．

故选：A

9．BC

2

【解析】根据题意，命题为真可得a40，求出的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解.

【详解】由命题“xR，x2ax10”为真命题，

2

可得a40，解得2a2，

对于A，2a2是命题为真的充要条件；

对于B，由a2不能推出2a2，反之成立，

所以a2是命题为真的一个必要不充分条件；

对于C，a2不能推出2a2，反之成立，

所以a2也是命题为真的一个必要不充分条件；

对于D，2a2能推出2a2，反之不成立，

2a2是命题为真的一个充分不必要条件.

故选：BC

10．BCD

根据集合的真子集个数，充分条件与必要条件的判断知识点来解决本题即可.

【详解】选项：集合A{xx240，且xN}0,1，集合中2个元素，

所以集合的真子集为2213个，故选项错误.

选项B：因为方程x2xa0有一个正根和一个负根，

所以14a0且x1x2a0，解得a0.所以a0可以推出a1，但a1不可以推出a0，

即“a1”是“方程x2xa0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故选项B正确.

8

选项C：集合MxZy,yZ9,5,3,2,0,1,3,7，元素个数为8个，故选项C正确.

x1

选项D：若a0，b0，则不能推出ab0，所以充分性不成立，若ab0，则a0且b0，

所以必要性成立，即“a0”是“ab0”的必要不充分条件，故选项D正确.

故答案为：BCD.

11．BD

利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D.

11

yxy

【详解】对于A，y12xy3yx33yx33，

2226

xyxy2xy22xy22

当且仅当x626,y264时，等号成立，A错误；

111

对于B，因为x1，所以x10，xx112x113，当且仅当x2时，等号

x1x1x1

成立，B正确；

511

对于C，x时，54x0，所以4x254x3，

44x554x

11

因为54x2，所以4x21，当且仅当x1时等号成立，故C错误；

54x4x5

141141y4x

对于D，因为x0，y0，由xy5，

xy2xy2xy

y4x14924

因为4，所以≥，当且仅当x,y时，等号成立，D正确.

xyxy233

故选：BD

12．1,2,3,4,6,7,8,11

根据集合的新定义求解即可.

【详解】因为定义集合AabaP,bQ，

又因为011，022，066，213，224，268，516，527，5611，

所以集合A1,2,3,4,6,7,8,11．

故答案为：1,2,3,4,6,7,8,11

13．4

根据基本不等式列出xy与xy的关系，结合2xyxy4，得到关于xy的不等式，即可求得答案.

2

xy

【详解】由题知x0，y0，由基本不等式，得xy，当且仅当xy时，等号成立.

2

2

xy

所以xy42xy2，当且仅当xy时，等号成立．

2

2

t2

令txy，t0，则t42，整理得t2t80，解得t2（舍去）或t4，

2

即xy4，当且仅当xy2时等号成立，所以xy的最小值为4.

故答案为：4.

14．x3x2或x4

移项，通分，由分类讨论解分式不等式.

x210x210x2x12

【详解】不等式1，移项可得10，通分得到0，

x2x2x2

x4x3

对分子因式分解，得0，

x2

x4x30x4x30

其等价于或，解得3x2或x4，

x20x20

x210

所以不等式1的解集为x3x2或x4.

x2

故答案为：x3x2或x4

15．1或4

先求出集合，然后对集合分情况讨论，即可求出实数的值.

【详解】因为集合Axx2x201,2，BA.

所以B，或B2，或B1，或B2,1.

当B时，a242a4a28a160，此方程无解.

22a

当B2时，，解得a4.

222a4

11a

当B1时，，此方程组无解.

112a4

21a

当B2,1时，，解得a1.

212a4

综上所述：a1或a4.

故答案为：1或4.

1

16．(1),

2

(2),1

（1）由ABA推出AB，对集合是否为分类讨论，求解即得；

（2）由p是q成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得.

【详解】（1）由ABA，可得AB，

因为A{x|a1x32a},B{x|2x4}，

4

①当A时，a132a，解得a，符合题意；

3

a132a

14

②当A时，则a12，解得a，

23

32a4

1

综上，a.

2

1

故实数的取值范围为,．

2

（2）由题意可得，xB是xA的充分不必要条件，故是的真子集，

又A{x|a1x32a}，B{x|2x4}，

a12

则，解得a1，

32a4

故实数的取值范围是,1．

17．(1)m3

(2){mm6或m3}.

（1）根据交集的概念计算即可；

（2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可.

m30

【详解】（1）因为ABx0x3，所以，

m23

m3

所以，所以m3；

m1

ðð

（2）由题意，A(RB)A，所以ARB，

ð

集合Bxm3xm2,xR，所以RB{xxm3或xm2,xR}，

所以m33或m21，

所以m6或m3.

故实数m的取值范围为{mm6或m3}.

18．答案见解析

先因式分解，再分a0，0a1，a1，a1四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可.

【详解】ax2a1x1ax1x10.

111

当a0时，此时1，xx10，则不等式的解为x1；

aaa

111

当0a1时，此时1，xx10，不等式的解为x1或x；

aaa

12

当a1时，此时1，x10，不等式的解为x1；

a

111

当a1时，此时01，xx1