2027届新高考数学一轮热点复习幂函数与二次函数

2027届新高考数学一轮热点复习幂函数与二次函数知识清单1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象y＝xα(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点________和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调________；③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调________．(1，1)递增(1，1)递减2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝________________．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域________值域R对称轴直线x＝________顶点坐标

________________奇偶性当b＝0时是________函数，当b≠0时是__________函数单调性

偶非奇非偶单调递减单调递增单调递增单调递减

×√××

答案：B

答案：B

4．(人教A版必修一P100T4改编)如果函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间(3，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．答案：(－∞，3]解析：f(x)＝x2－2ax＋2的对称轴为x＝a，且开口向上，因为函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增，则a≤3，故a的取值范围为(－∞，3].

答案：BC

(2)(2026·郑州模拟)若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上单调递增，实数m的值为________．答案：2

学霸笔记：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式；(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.

答案：D

(2)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(

)A．m＝4 B．m＝4或m＝－1C．f(x)是奇函数

D．f(x)是偶函数答案：C

命题点二二次函数的图象与性质考向1二次函数的解析式例2设实数k>0，已知f(x)＋g(x)＝x2＋16x＋13，其中f(x)为二次函数，且当x＝k时，f(x)有最大值5.又g(x)的最小值为－2，且g(k)＝25，求f(x)的解析式．

学霸笔记：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．答案：x2＋2x解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.考向2二次函数的图象例3(多选)(2026·蚌埠模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论，其中正确的是(

)A．b2>4acB．2a－b＝1C．a－b＋c＝0D．若y>0，则x∈(－3，1)答案：AD

学霸笔记：(1)一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．(2)二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．(3)三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等．跟踪训练已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(

)答案：A解析：由题意，函数y＝ax2＋bx＋c，因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点(1，0)．又由a>b>c，可得a>0，c<0，所以抛物线的开口向上，可排除BD项，令x＝0，可得y＝c<0，可排除C项．故选A.考向3二次函数的单调性与最值例4

已知函数f(x)＝－x2＋2mx＋1－m2，其中m∈R.(1)若f(x)在区间[4，6]上具有单调性，求m的取值范围；答案：因为二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝m，且f(x)在[4，6]上具有单调性，所以当f(x)在[4，6]上单调递减时，m≤4；当f(x)在[4，6]上单调递增时，m≥6.所以实数m的取值范围是(－∞，4]∪[6，＋∞)．(2)当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8，求实数m的值．答案：二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝m，①当m≤1时，f(x)在[1，3]上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－m2＋2m，因为当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8，即－m2＋2m＝－8，解得m＝4或m＝－2，所以m＝－2；②当1<m<3时，f(x)在(1，m)上单调递增，在(m，3)上单调递减，此时f(x)max＝f(m)＝－m2＋2m2＋1－m2＝1＝－8，无解，所以m不存在；③当m≥3时，f(x)在[1，3]上单调递增，此时f(x)max＝f(3)＝－9＋6m＋1－m2＝－m2＋6m－8，因为当x∈[1，3]时，函数f(x)的最大值为－8，所以－m2＋6m－8＝－8，解得m＝6或m＝0，所以m＝6.综上所述，m＝－2或m＝6.学霸笔记：(1)求解与二次函数有关的单调性问题，应根据二次函数图象的开口方向与对称轴确定单调区间．(2)二次函数在某区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．第一类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来解决，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论．跟踪训练

(1)函数

f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，则a的取值范围是(

)A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]C．(－∞，5) D．[3，＋∞)(2)0≤x≤1时，函数y＝x2－2ax＋a的最小值为－2，则实数a的值为________．B－2或3解析：(1)由题意，二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口向上，对称轴方程为x＝1－a，因为函数y＝f(x)在区间(－∞，4)上单调递减，所以1－a≥4，解得a≤－3.故选B.(2)二次函数y＝x2－2ax＋a的图象开口向上，其对称轴为x＝a，当a≤0时，x＝0，ymin＝f(0)＝a＝－2，则a＝－2；当0<a<1时，

ymin＝f(a)＝－a2＋a＝－2，解得a＝－1或a＝2，因为0<a<1，所以此种情况不存在；当a≥1时，x＝1，ymin＝f(1)＝1－a＝－2，解得a＝3综上实数a的值为－2或3.1．关于函数f(x)＝x-2，下列说法错误的是(

)A．函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)B．函数的值域为(0，＋∞)C．函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增D．函数是偶函数答案：C

答案：D

3．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(

)答案：B解析：对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa与图中符合；对于B，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，不符合；对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，符合；对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，符合．故选B.

答案：C

5．若f(x)＝(m2－m－1)xm为幂函数，且函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则m＝(

)A．－1 B．1C．－2 D．2答案：D解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝－1时，f(x)＝x-1，y＝f(x＋1)＝(x＋1)-1，显然不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x2，y＝f(x＋1)＝(x＋1)2的图象关于直线x＝－1对称，所以m＝2.故选D.6．若函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n－m的最大值为(

)A．2 B．4C．6 D．8答案：D解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.当f(x)＝18时，x2－2x＋3＝18，解得x＝－3或x＝5.又因为当x∈[－3，1)时，f(x)单调递减，当x∈(1，5]时，f(x)单调递增，所以n的最大值为5，m的最小值为－3，所以n－m的最大值为5－(－3)＝8.故选D.7．(2026·宜昌模拟)已知函数f(x)＝x2－mx＋1与函数g(x)的图象关于直线x＝1对称．若g(x)在区间(－2，－1)上单调递增，则实数m的取值范围为(

)A．(－∞，2] B．[4，＋∞)C．(－∞，6] D．[8，＋∞)答案：D

8．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(

)A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0答案：C

9．(2026·太原模拟)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则(

)A．f(1)＝1B．m2＋m＝2C．f(x)是偶函数D．当f(2)<2时，f(x)＝x-2答案：ABD

10．(2026·南昌模拟)如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则下列代数式的值为负数的是(

)A．c

B．2a＋bC．b2－4ac