八年级数学《角平分线的性质与判定》单元教学设计（第1课时）

八年级数学《角平分线的性质与判定》单元教学设计（第1课时）

一、基于核心素养的教材与学情分析

（一）【基础】教材地位与内容解析

本节课选自义务教育教科书《数学》八年级下册第一章《三角形的证明》第四节。本节内容属于平面几何的foundationalknowledge，是在学生已经学习了线段垂直平分线、全等三角形的判定与性质以及轴对称图形的基础上进行研究的。角平分线作为三角形中的又一重要线段，其性质定理和判定定理的证明不仅是对全等三角形知识的综合应用，更是后续学习三角形内心、尺规作图以及解决几何最值问题的重要基石。从知识体系来看，本节课起到了承上启下的关键作用，既延续了对几何命题严格证明的要求，又为后续复杂几何图形的分析提供了新的工具【非常重要】。

（二）【基础】学情定位与认知起点

八年级学生已经具备了初步的几何观察能力和逻辑推理意识，能够进行简单的命题证明，但对于将文字语言转化为图形语言和符号语言，并构造全等三角形解决几何问题，部分学生仍存在思维障碍。学生此前通过折纸、测量等活动对角平分线的性质有了感性的认知，但缺乏严格的演绎推理证明。因此，本节课的教学应充分利用学生的已有经验，引导他们经历从合情推理到演绎推理的飞跃，在证明中体会几何学习的严谨性，并在此过程中培养建模思想和转化思想。

二、教学目标与核心素养达成

（一）【重要】教学目标

1.知识与技能：能够证明角平分线的性质定理和判定定理；能够运用这两个定理解决简单的几何问题，并能根据已知条件灵活选择定理进行推理【高频考点】。

2.过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，体验从特殊到一般、数形结合以及转化的数学思想方法；通过一题多解、变式训练，提升发散思维能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：在探究活动中，培养合作交流意识和严谨求实的科学态度；通过定理的简洁美与对称美，感受数学的内在魅力。

（二）核心素养落脚点

4.逻辑推理：通过严格证明性质定理和判定定理，培养由条件推导结论的演绎推理能力【非常重要】。

5.数学抽象：将生活中的“距离相等”问题抽象为数学中的点到直线的距离问题，并建立几何模型。

6.直观想象：通过折叠、几何画板演示，感知角平分线的轴对称性，为添加辅助线提供直观依据【热点】。

三、【核心】教学重点与难点突破

（一）【重点】教学重点

角平分线的性质定理和判定定理的证明及初步应用。这是因为这两个定理是几何证明中证明线段相等和角相等的新途径，掌握其规范的证明过程是后续学习的基础。

（二）【难点】教学难点

1.角平分线判定定理的证明及灵活运用。学生容易混淆性质与判定，在解题时往往只关注性质而忽视判定，特别是在需要证明某条射线是角平分线时，思路不够清晰【难点】。

2.在复杂图形中识别并构建角平分线基本模型，准确添加辅助线（如过角平分线上的点向两边作垂线）【重要】。

四、【重中之重】教学实施过程（详案）

（一）情境导入，唤醒经验（预计3分钟）

【课堂活动】教师通过多媒体展示一个现实情境：如图，要在两条公路（抽象为相交的直线OA、OB）形成的夹角内，修建一个距离两条公路相等且距离交叉点500米的加油站。请学生在示意图上标出加油站的位置，比例尺为1:20000。

【师生互动】引导学生回顾：到角两边距离相等的点在哪儿？学生基于七年级的感性认知，可能会回答“在角平分线上”。教师追问：“我们如何用数学的方法精确地确定这条线？以前我们是通过折纸、测量得到的，但这种方法的可靠性如何？今天，我们将用严谨的逻辑推理来验证这个结论。”从而引出课题，激发学生对严谨证明的需求感。

（二）探究新知1：性质定理的证明——从操作到论证（预计12分钟）

1.【基础】明晰命题，写出已知求证

教师引导学生将文字命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”转化为数学语言。

【师生共析】条件：一个点在一个角的平分线上；结论：这个点到这个角两边的距离相等。

教师板书规范格式：

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。

求证：PD=PE。

2.【重要】合作探究，寻找证明思路

教师提出问题：“要证明两条线段相等，我们目前有哪些方法？”（引导学生回顾：全等三角形、等角对等边、垂直平分线性质等）。

学生观察图形：PD和PE分别是Rt△PDO和Rt△PEO的两条边。这两个三角形全等吗？

学生小组讨论，发现只需证明△PDO≌△PEO。

教师追问：“全等的条件齐全吗？”学生梳理：由角平分线定义可得∠DOP=∠EOP；由垂直可得∠PDO=∠PEO=90°；再加公共边OP=OP，符合AAS判定定理。

3.【难点化解】规范板书，完成证明

学生口述证明过程，教师板演，强调书写格式的严谨性：

∵OC平分∠AOB(已知)，

∴∠1=∠2(角平分线的定义)。

∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，

∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。

在△PDO和△PEO中，

∵∠PDO=∠PEO(已证)，∠1=∠2(已证)，OP=OP(公共边)，

∴△PDO≌△PEO(AAS)。

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。

4.【基础】归纳总结，得出定理

教师引导学生用文字语言和符号语言双重表述定理。

【符号语言】∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.

教师强调：这个定理是证明两条线段相等的又一利器，其核心条件是“一平分，两垂直”【高频考点】。

（三）探究新知2：判定定理的证明——逆向思考，逻辑闭环（预计10分钟）

1.【重要】逆命题的构造与猜想

教师引导学生思考：性质定理的题设和结论分别是什么？如果交换题设和结论，得到的命题是什么？

学生口答：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

教师引导辨析：这个命题是真命题吗？我们能否证明它？

2.【难点】动手操作，验证猜想

教师利用几何画板动态演示：在∠AOB内部找一点P，确保PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE。拖动点P，观察点P的运动轨迹，学生直观感知点P始终在一条经过顶点O的射线上，这条射线就是角平分线。

3.【重要】严格证明，深化理解

教师引导学生再次经历“画图—写已知求证—证明”的全过程。

已知：如图，点P是∠AOB内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。

求证：点P在∠AOB的平分线上(即OP平分∠AOB)。

【证明思路分析】要证明OP是角平分线，即证明∠DOP=∠EOP。观察图形，可以证明这两个角所在的三角形全等。这里有两个直角三角形：Rt△PDO和Rt△PEO。已知PD=PE，公共边OP=OP，符合HL定理。

学生独立完成证明过程，一名学生板演，其余学生在练习本上书写。教师巡视指导，重点纠正书写不规范、逻辑不严密的问题。

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠ODP=∠OEP=90°。

在Rt△ODP和Rt△OEP中，

∵OP=OP，PD=PE，

∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)。

∴∠DOP=∠EOP(全等三角形对应角相等)，

即点P在∠AOB的平分线上。

4.【归纳】对比辨析，构建体系

教师引导学生对比性质定理和判定定理的异同。

【符号语言】∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP平分∠AOB.

教师强调：性质是由“角平分线”推出“距离相等”；判定是由“距离相等”反推“点在角平分线上”。二者是互逆的，构成了一个完整的逻辑体系，使用时务必分清条件和结论【非常重要】。

（四）典例精析，应用迁移（预计8分钟）

【高频考点例题】

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

求证：(1)DE=DF；(2)AD⊥EF。

【解析】(1)问直接应用角平分线的性质定理，由学生口答完成。

(2)问具有挑战性，需要综合运用知识。

思路引导：要证AD⊥EF，可以证∠AOE=90°或∠AEO=∠AFO等。通过(1)问得到DE=DF后，结合AD=AD，可证Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，从而得到AE=AF。此时，点A和点D都在线段EF的垂直平分线上（点A根据AE=AF，点D根据DE=DF），因此AD是线段EF的垂直平分线，所以AD⊥EF。

【教学意图】本题设计由浅入深，既巩固了性质定理的基本应用，又巧妙地将角平分线与线段垂直平分线、等腰三角形三线合一等知识串联起来，培养了学生综合运用知识的能力和转化思想，是一道经典的几何入门综合题【热点】。

（五）变式训练，思维拓展（预计8分钟）

【变式1】（判定定理的应用）

如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。求证：点D在BC的中点上。

【解析】由DE=DF，且DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的判定定理，可得点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。再由∠B=∠C，可得AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”，可得AD是底边BC上的中线，即点D是BC的中点。

【变式2】（开放性思考）

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉点500米。这个集贸市场应建于何处？（即本节课开头的情境问题）

【解析】学生先独立作图，再小组交流。作法：作两条公路夹角的平分线；在角平分线上，以角的顶点为端点，根据比例尺截取500米对应的图上距离。这里需要强调，由于角平分线有两条（两个临补角也各有一条平分线），因此满足距离相等的点有无数个，但结合“在S区”这一条件，才能最终确定唯一点。

【教学意图】通过变式训练，强化学生对判定定理的理解和应用，同时将数学知识回归生活实际，解决情境问题，体现数学的应用价值。

（六）反思总结，构建网络（预计3分钟）

教师引导学生从以下三个维度进行小结：

1.【知识层面】：今天我们学习了哪两个重要定理？它们的条件和结论分别是什么？如何用符号语言表达？

2.【方法层面】：证明两条线段相等、两个角相等，我们多了哪些新途径？在解决几何问题时，我们如何想到添加“作垂线”这条辅助线？【重要】

3.【思想层面】：我们经历了怎样的学习过程？（观察—猜想—证明—应用）其中用到了哪些数学思想？（转化思想、数形结合、建模思想）

（七）【基础】分层作业，因材施教（预计1分钟布置）

4.必做题：课本习题1.9第1题、第2题。目的：巩固双基，熟记定理。

5.选做题：如图，在直线l上求作一点P，使点P到直线l同侧两点A、B的距离之和最短，并说明理由。（旨在预习新知，同时复习轴对称的性质）

6.拓展题（探究性作业）：利用本节课所学知识，证明三角形的三条角平分线交于一点。（提示：这个交点就是三角形的内心，为下节课学习做铺垫）【非常重要，下节课核心】

五、板书设计（结构化呈现）

左侧区域（核心定理区）：

1.角平分线的性质定理

已知：……求证：……

证明过程板演（略）

符号语言：……

2.角平分线的判定定理

已知：……求证：……

证明过程板演（略）

符号语言：……

中间区域（图形区）：

清晰画出两个定理对应的几何图形，并用彩色粉笔标注出已知条件（如垂直符号、相等线段、角平分线）。

右侧区域（例题与总结区）：

例题1的简要解题思路；

师生共同总结的“一平分，两垂直”口诀；

常用的辅助线作法：“有点连心，无点作垂”。