北师大版初中数学九年级上册：应用一元二次方程解决实际问题（第一课时）教案

北师大版初中数学九年级上册：应用一元二次方程解决实际问题（第一课时）教案

一、设计理念与指导思想

本课时教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生核心素养，特别是模型观念、应用意识和创新意识。教学设计摒弃传统“题型演练”的机械模式，转向以真实问题情境为载体的“数学建模”学习历程。我们强调数学知识与现实世界的有机联系，引导学生经历“情境识别—模型建立—求解验证—解释应用”的完整数学建模过程，体会一元二次方程作为刻画现实世界数量关系重要模型的威力。

设计渗透跨学科整合理念，将问题情境自然地延伸至物理、经济、地理等领域，拓展学生的认知视野，展现数学的基础性和工具性价值。教学过程倡导以学生为中心的探究性学习，通过合作学习、批判性思维训练和技术融合（如使用图形计算器或数学软件进行验证），构建一个互动、开放、思辨的高效课堂，旨在培养学生面对复杂现实问题时的数学化思考能力和解决问题的策略。

二、课程标准与教材分析

1.课标对应分析：

本课内容直接对应《标准》中“方程与不等式”主题下的要求：“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”；“经历估计方程解的过程”；“能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理”。同时，它综合关联“数量关系”和“图形与几何”领域，培养学生综合运用知识的能力。

2.教材地位与作用分析：

本节课位于北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》的最后一节“应用一元二次方程”的起始课时。在此之前，学生已经系统学习了一元二次方程的概念、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）以及根的判别式。本节内容是对前述知识的综合应用与升华，是本章学习的落脚点和价值体现。它起着承上启下的关键作用：既是对一元二次方程知识的巩固与检验，又是将数学建模思想系统化呈现的起点，为后续学习二次函数等更为复杂的模型奠定坚实的应用基础和心理准备。

3.内容解析：

教材通过“梯子移动”、“花园面积”等经典几何问题引入。本设计在尊重教材主干的同时，对问题情境进行了时代性、综合性的深化与拓展。重点在于引导学生分析问题中的等量关系，特别是涉及面积公式、勾股定理、增长率模型等形成的等量关系，并将其符号化为一元二次方程。难点在于如何从错综复杂的实际问题中抽象出核心的数学关系，以及根据实际意义对方程的解进行合理的取舍。

三、学情分析

认知基础：

九年级学生已经具备了较为扎实的代数运算能力和初步的几何知识（如三角形、矩形、圆的面积和勾股定理）。对于列一元一次方程解决实际问题有较为丰富的经验，这为学习列一元二次方程解决实际问题提供了良好的正迁移基础。学生已经掌握了一元二次方程的四种解法，具备求解方程的工具。

认知障碍：

1.建模思维薄弱：学生习惯于解决结构良好的“数学题”，对于从生活语言或情境中自主识别、提炼等量关系存在困难，即“数学化”的能力有待提高。

2.等量关系复杂化：问题中的等量关系可能隐含在几何图形或动态变化中，且涉及平方关系，这比线性关系更抽象。

3.解的双重性处理：一元二次方程的解通常有两个，学生容易忽视对解的检验，尤其是根据实际问题背景（如长度、人数、增长率等应为非负、整数、合理性）进行筛选和解释。

4.综合运用能力不足：当问题需要结合几何、代数甚至其他学科知识时，学生容易顾此失彼，缺乏整体规划和解决问题的策略。

心理与能力特点：

该阶段学生抽象逻辑思维迅速发展，喜欢挑战有深度的问题，对具有现实意义和探索空间的任务感兴趣。但部分学生可能存在畏难情绪。因此，教学设计需通过梯度性问题设置、小组合作支持和技术工具辅助，搭建“脚手架”，让不同层次的学生都能获得成功的体验和思维的提升。

四、学习目标

基于以上分析，设定本课时学习目标如下：

1.知识与技能：

1.能从具体的几何问题（如长度、面积）和增长率问题中，分析数量关系，找出等量关系。

2.能熟练地将等量关系符号化，准确列出一元二次方程。

3.能选择适当的方法解所列的一元二次方程。

4.能根据具体问题的实际意义，检验根的合理性，并给出完整的问题答案。

2.过程与方法：

1.经历“审题—设元—找等量关系—列方程—解方程—检验—作答”的完整解题过程，进一步系统化数学建模的步骤。

2.通过小组合作探究，提升从多角度分析问题、用数学语言表达和交流的能力。

3.体验数形结合思想在分析几何背景问题中的关键作用。

3.情感、态度与价值观：

1.感受一元二次方程在解决实际问题中的广泛应用价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

2.在解决复杂问题的过程中，培养不怕困难、严谨求实、合作共赢的科学态度。

3.体会数学的理性精神，理解数学解需要接受现实的检验，培养批判性思维。

五、教学重难点

1.教学重点：寻找实际问题中的等量关系，列出一元二次方程。

2.教学难点：从复杂情境中抽象出等量关系；根据实际意义对方程的根进行检验和取舍。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含动态几何图形演示）、实物投影仪、预设的探究学习任务单、分层练习题卡。

2.学生准备：复习一元二次方程解法及常见几何公式、直尺、练习本。

3.教学环境：配备交互式电子白板的教室，学生按异质分组（4-6人一组）就座。

七、教学过程设计

第一阶段：创设情境，感知模型（预计时间：8分钟）

活动1：现实问题导入——校园绿地改造项目

教师呈现学校一处长方形空地的航拍图（长20m，宽15m），并提出学校“生态校园”改造计划：

“为美化环境，学校计划将这块长方形空地改造成一个供同学们休憩的小花园。设计要求是：在空地四周修建宽度相同的步行道，步行道铺设鹅卵石，中间剩余部分种植花草。若要求种植花草区域的面积为原空地面积的四分之三，请问步行道的宽度应设计为多少米？”

【设计意图】选择与学生校园生活紧密相关的真实问题作为切入点，迅速激发学生的探究兴趣和主人翁意识。问题本身是经典的“边框面积”问题的现实变式，情境真实，目标明确。

师生互动：

1.教师引导学生将文字描述转化为图形语言：“谁能上来，在白板上画出示意图，标出已知量和未知量？”

1.2.（学生板演：画一个长方形代表原空地，内部再画一个同心小长方形代表种植区，用x标记道路宽度）。

3.教师追问：“题目中的等量关系是什么？”（学生回答：种植区面积=原面积×3/4）。

4.进一步提问：“如何用代数式表示种植区的长和宽？面积呢？”

1.5.学生独立思考后，在任务单上尝试表示：种植区长为(20-2x)米，宽为(15-2x)米。

2.6.面积表达式为：(20-2x)(15-2x)。

7.教师通过几何画板动态演示：随着滑动条x（道路宽度）的变化，内外长方形的尺寸和面积实时变化，让学生直观感受变量间的关联。

8.学生根据等量关系列出方程：(20-2x)(15-2x)=20×15×(3/4)。

至此，本课的核心问题被自然引出：如何解决这个来源于生活的一元二次方程应用问题。

第二阶段：探究新知，建构模型（预计时间：22分钟）

活动2：模型建构与求解

1.方程化简：教师引导学生化简所列方程。

1.2.(20-2x)(15-2x)=300*0.75=225

2.3.展开：300-40x-30x+4x²=225

3.4.整理为标准形式：4x²-70x+300-225=0→4x²-70x+75=0

4.5.为简化计算，可约去公因数2：2x²-35x+75=0

6.策略选择与求解：

1.7.教师：“面对这个方程，我们有哪些武器（解法）？哪种方法更适合这里？”

2.8.学生小组讨论。可能提出公式法（通用），或因式分解法（如果可分解）。

3.9.教师引导学生尝试因式分解：计算判别式Δ=(-35)²-4×2×75=1225-600=625=25²，是一个完全平方数，提示可能可分解。

4.10.学生尝试十字相乘法，得出：(2x-5)(x-15)=0。

5.11.解得：x₁=2.5，x₂=15。

12.解的检验与取舍——教学难点突破：

1.13.教师抛出关键问题：“两个解都符合题意吗？为什么？”

2.14.学生小组展开激烈辩论。教师巡视，倾听各组的理由。

3.15.小组代表发言：

1.4.16.组A：从数学上看，两个数都使方程成立。

2.5.17.组B：从实际看，x代表道路宽度。当x=15时，种植区的长=20-2*15=-10米，宽也是负数。负数长度没有实际意义。

3.6.18.组C：即使不考虑负数，原空地宽才15米，道路宽15米意味着道路把全部空地都占了，没有种植区域，这与题意“有种植区域”矛盾。

4.7.19.组D：x=2.5米是合理的，代入计算种植区长为15米，宽为10米，面积150平方米，恰好是225吗？哦，150小于225…我们算错了？

1.5.8.20.（此时教师抓住生成性资源）教师引导全班共同检验：当x=2.5时，(20-5)×(15-5)=15×10=150。而225/150=1.5，不对。问题出在哪？

2.6.9.21.回溯发现，225是原面积300的3/4，正确。但种植区面积150是原面积的一半，不是3/4。这说明我们的计算或列式有误。

10.22.师生共同纠错：回到最初的方程(20-2x)(15-2x)=225

。展开：300-70x+4x²=225

->4x²-70x+75=0

。之前约去2得到2x²-35x+37.5=0

，而不是75！因为75/2=37.5。此处是易错点。

11.23.重新求解：方程4x²-70x+75=0

，使用公式法：x=[70±√(4900-1200)]/8=[70±√3700]/8=[70±10√37]/8。

1.12.24.x₁≈(70+60.83)/8≈16.35，x₂≈(70-60.83)/8≈1.15。

13.25.再次检验：x₁≈16.35>15（原宽度一半），导致种植区宽度为负，舍去。x₂≈1.15米，种植区长≈17.7米，宽≈12.7米，面积≈224.8平方米≈225平方米，符合要求。

14.26.教师升华：这个“纠错-再探究”的过程极具价值。它告诉我们：第一，计算务必仔细；第二，检验必不可少，包括对解的实际意义检验和数学计算正确性检验；第三，并非所有问题都有“整洁”的解，近似解在实际中同样有效。

活动3：归纳建模一般步骤

教师引导学生回顾刚才解决问题的全过程，共同提炼出列一元二次方程解应用题的一般步骤（板书或课件呈现）：

1.审：仔细审题，明确已知什么、求什么，理解问题背景。

2.设：合理设未知数（直接设或间接设，注意单位）。

3.列：寻找等量关系，这是核心关键。利用几何定理、面积体积公式、物理定律、数量关系等列出方程。

4.解：选择适当方法解一元二次方程。

5.验：双重检验。一是检验是否是原方程的解；二是检验是否符合实际意义（如正数、整数、范围等）。

6.答：写出完整、规范的答案。

【设计意图】通过一个完整的、略有曲折的探究过程，让学生亲历建模全周期。特别强化了“检验”环节的重要性，突破了难点。归纳步骤使零散的活动系统化、策略化，便于学生迁移应用。

第三阶段：典例精析，深化模型（预计时间：25分钟）

活动4：跨学科例题探究——动态几何与运动学问题

例题1（几何动态问题-教材衔接与拓展）：

“如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底端B到墙脚C的距离为0.7米。如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米至A‘处，那么梯子底端B外移（即BB’）的距离是多少米？”

【教学处理】

1.化动为静，分析状态：教师引导学生将过程分解为两个静止状态：初始状态和下滑后状态。分别在黑板上画出两个直角三角形△ABC和△A‘B’C。

2.寻找等量关系：两个状态中，什么量没有变化？（梯子长度——斜边长度不变）。这是建立方程的关键桥梁。

3.学生独立完成建模：

1.4.在Rt△ABC中，由勾股定理：AC²=AB²-BC²=2.5²-0.7²=6.25-0.49=5.76，∴AC=2.4米。

2.5.下滑后，A‘C=AC-0.4=2.0米。设B’C=x米。

3.6.在Rt△A‘B’C中，由勾股定理：x²+2.0²=2.5²。

4.7.列出方程：x²+4=6.25→x²=2.25→x=±1.5（舍负），∴x=1.5米。

5.8.外移距离BB‘=B’C-BC=1.5-0.7=0.8米。

9.教师点拨：此题等量关系是“不变量”（梯子长），通过勾股定理将几何问题代数化。本质上是解两个一元二次方程（x²=a的形式）。

例题2（增长率问题-跨学科联系经济学）：

“某品牌手机去年每部售价为4000元，经过连续两次降价（且每次降价的百分率相同），现在每部售价为3240元。求每次降价的平均百分率。”

【教学处理】

1.模型类比：教师引导学生回忆“连续增长”问题模型。提问：“若原价为a，平均增长率为x，两年后价格是多少？”（a(1+x)²）。那么“连续降价”模型呢？

2.建立模型：学生类比得出：若平均下降率为x，则一年后为4000(1-x)元，两年后为4000(1-x)²元。

3.列方程：4000(1-x)²=3240。

4.求解与检验：

1.5.化简：(1-x)²=3240/4000=0.81。

2.6.开方：1-x=±0.9。

3.7.∴1-x=0.9或1-x=-0.9。

4.8.解得：x₁=0.1=10%，x₂=1.9=190%。

5.9.检验：下降率190%无实际意义（价格不能为负）。∴x=10%。

10.模型拓展讨论：教师提问：“如果已知两次降价的总幅度（如总共降价了760元），能直接除以2得到每次降幅19%吗？为什么？”引导学生理解“百分率”变化是乘除关系，而非加减关系，深化对指数模型的理解。

【设计意图】选取两个典型模型（几何动态和增长率），覆盖教材重点。教学过程中注重思想方法的渗透（不变量思想、类比思想）和跨学科联系（物理中的勾股定理、经济中的增长率），拓宽学生视野，深化对一元二次方程模型多样性的认识。

第四阶段：分层练习，巩固模型（预计时间：20分钟）

教师发放分层练习任务卡，学生根据自身情况选择完成，鼓励挑战更高层次。

【A组：基础巩固】（面向全体，巩固建模步骤）

1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²。求两条直角边的长。

2.某校图书馆的藏书量两年内从5万册增加到6.05万册，求年平均增长率。

【B组：能力提升】（面向大多数，强化分析与综合）

3.（源于物理）一个小球以10m/s的初速度竖直上抛，忽略空气阻力，其上升高度h(m)与时间t(s)的关系近似满足公式h=10t-5t²。问：小球经过多少秒后，高度为5米？（解方程后讨论两个解分别代表什么物理过程）

4.如图所示，用一块长8dm、宽6dm的矩形铁皮，在四个角各切去一个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。要使盒子的底面积为24dm²，求切去的正方形的边长。

【C组：拓展挑战】（面向学有余力，培养创新思维）

5.（开放探究）请自己创设一个现实生活中的情境，该情境可以用方程x(x+2)=48

来建模解决。写出你的情境故事，并解释方程中x

和(x+2)

分别代表什么，最后给出符合情境的答案。

6.（综合建模）某农场要建一个矩形的饲养场，一面靠墙（墙长25米），另外三面用长度为50米的栅栏围成。请问，如何设计矩形的长和宽，才能使饲养场的面积最大？最大面积是多少？（此题可引导发现与二次函数最值的联系，为后续学习伏笔）

【教学组织】学生独立或小组合作完成练习。教师巡视，重点指导A组有困难的学生，点拨B、C组学生的思路。对B组第3题（物理背景）和C组第5题（创造情境）进行集中展示和交流，特别欣赏和评价学生创造出的新颖、合理的情境。

第五阶段：课堂小结，反思升华（预计时间：5分钟）

活动5：思维导图式总结

教师不直接罗列知识点，而是抛出引导性问题，由学生共同构建本节课的思维网络：

1.“今天，我们利用一元二次方程这座‘桥梁’，解决了哪些类型的实际问题？”（几何面积、动态几何、增长率…）

2.“架设这座桥梁，我们需要经历哪几个关键的‘桥墩’（步骤）？”（审、设、列、解、验、答）

3.“在建桥（列方程）过程中，最关键的‘建材’是什么？”（等量关系）

4.“桥建好后，通车前必须做什么？”（检验——数学检验和实际意义检验）

5.“在解决问题的过程中，我们用到了哪些重要的数学思想？”（建模思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想（检验时））

学生发言，教师用思维导图软件即时呈现核心要点，形成清晰的知识与方法结构图。

第六阶段：布置作业，延伸拓展

【必做题】

1.完成教材本节后相关练习题。

2.整理本节课的经典例题和错题，撰写一份简单的“解题心得”，重点反思如何寻找等量关系和如何进行有效性检验。

【选做题】

3.（跨学科实践）调查你家附近某种商品近两年的价格变化，尝试用一元二次方程（增长率模型）进行分析和预测，写一份简短的数学小报告。

4.（项目预习）以小组为单位，寻找一个校园内或社区中可用一元二次方程模型解决的实际问题（如规划停车位、设计海报边框等），收集数据，建立方程，并尝试求解。下节课进行项目初步展示。

八、板书设计

主板书（左侧）：

课题：应用一元二次方程解决实际问题

一、一般步骤：

1.审→2.设→3.列（核心）→4.解→5.验（双重）→6.答

二、典型模型与分析：

1.面积问题（校园绿地）：

1.2.等量关系：种植区面积=原面积×3/4

2.3.