【学霸提优】人教版小学数学五年级上册单元知识清单

【学霸提优】人教版小学数学五年级上册单元知识清单一、小数乘法（一）知识梳理【基础】1、小数乘整数：意义与整数乘法相同，求几个相同加数的和的简便运算。计算方法：先将小数转化为整数，按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果积的末尾有0，要先点上小数点，再去掉末尾的0。【重要】2、小数乘小数：计算方法与小数乘整数类似。先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点。【非常重要】【高频考点】3、积的近似数：求积的近似数，先算出精确的积，再根据要求用“四舍五入”法保留一定的小数位数。需注意，在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。【重要】4、整数乘法运算定律推广到小数：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法同样适用。运用运算定律可以使一些计算简便。例如：乘法交换律a×b=b×a；乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)；乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c。【基础】5、解决问题：常见类型有估算、分段计费问题（如出租车收费、水费、电费）、选择合适的购物方案等。解答分段计费问题时，要理解题意，明确每一段的收费标准，分别计算后再相加。（二）重难点精讲【难点】1、小数乘法中积的小数点位置的确定：这是小数乘法的核心。关键在于准确数出两个因数中一共有几位小数，并对应从积的右边起数出几位。当积的位数不够时，务必用0补足。例如：0.23×0.4，先算23×4=92，两个因数共有三位小数，但积92只有两位，需要在92前面加一个0补足三位，即0.092。【高频考点】2、“四舍五入”法求积的近似数：需掌握保留整数、保留一位小数、保留两位小数等不同要求。保留整数，要看十分位；保留一位小数，要看百分位；保留两位小数，要看千分位，依此类推。例如：求0.85×2.4的积，保留两位小数。先计算0.85×2.4=2.04，千分位是0，小于5，舍去，所以近似值为2.04。【热点】3、乘法分配律在小数乘法中的简便应用：这是简算的核心。例如：计算0.25×4.4，可以转化为0.25×(4+0.4)=0.25×4+0.25×0.4=1+0.1=1.1；也可以转化为0.25×4×1.1=1×1.1=1.1。【重要】4、分段计费问题的解题策略：以出租车收费为例，起步价（一定里程内）加上超出里程的单价。解题关键是理清分界点。例如：某市出租车收费标准：3km以内8元，超过3km的部分，每千米1.5元（不足1km按1km算）。行驶7.2km（按8km算），则费用=起步价8元+超出部分(83)×1.5=8+5×1.5=8+7.5=15.5元。（三）易错点分析1、点错小数点：例如计算12.5×0.8，学生可能得出1.00或100。正确应为125×8=1000，因数共两位小数，从右边数两位点上小数点得10.00，化简为10。2、求近似数时末尾0的处理：如要求将2.996保留两位小数，正确结果是3.00，学生常误写为3。这里的0起到占位作用，表示精确到百分位，不能去掉。3、简算中乘法分配律误用：如计算2.5×4.8，错误地算成2.5×4+2.5×0.8?这样算虽然结果对，但并非最简。更常见错误是混淆分配律与结合律，如2.5×(4+0.8)正确，但有时会错误地写成2.5×4×0.8。（四）专项练习（示例）1、直接写出得数：0.7×0.8=1.25×8=2.4×5=0.04×0.2=2、列竖式计算：0.38×0.25=5.06×3.4=（得数保留一位小数）3、脱式计算，能简算的要简算：1.25×3.2×0.2510.1×7.83.7×8.3+0.83×634、解决问题：某市居民用水实行阶梯水价，每户每年用水量不超过180立方米，水价为每立方米3.5元；超过180立方米但不超过260立方米的部分，水价为每立方米5.2元。小明家去年用水200立方米，应缴水费多少元？二、位置（一）知识梳理【基础】1、行与列：通常把竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数（或从下往上数）。【非常重要】【高频考点】2、数对：用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。通常写成（列数，行数）的形式，前一个数表示列，后一个数表示行，两个数之间用逗号隔开。例如：（3，5）表示第3列第5行。【重要】3、数对的应用：根据给出的数对，可以在方格纸上标出对应点的位置。反之，也可以根据点的位置写出表示该点的数对。数对可以帮助我们描述和确定物体的位置，在生活中有广泛应用，如电影院座位、棋盘坐标等。【拓展】4、图形平移与数对变化：在方格纸上，图形向左或向右平移，行数不变，列数减去或加上平移的格数；图形向上或向下平移，列数不变，行数加上或减去平移的格数。（二）重难点精讲【热点】1、用数对表示具体情境中物体的位置：这是本单元的核心。例如，在教室座位平面图中，小军坐在第4列第5行，用数对（4，5）表示。需要强调必须先写列，后写行，顺序不能颠倒。【难点】2、在方格纸上根据数对确定点的位置并画出图形：给定多个数对，如（1，4）、（1，1）、（3，1），能在方格纸上准确描出各点，并顺次连接成一个三角形。反之，给出图形，能写出各个顶点或关键点的数对。【重要】3、理解数对中两个数的顺序性与唯一性：数对（2，3）和（3，2）表示不同的位置，因为它们的顺序不同。一个数对只能对应平面内的一个点，反之亦然（同一坐标系下）。（三）易错点分析1、列和行混淆：误将行当作列，列当作行，导致写出的数对与位置不符。2、数对书写格式错误：忘记括号，或列与行之间忘记加逗号。3、平移时数对变化规律不清：例如，点A（2，3）向右平移2格，学生可能误写为（2，5）或（4，3）。正确应为列数增加，行数不变，新坐标为（4，3）。（四）专项练习（示例）1、如果电影票上的“8排10座”记作（10，8），那么“12排15座”记作（，）。2、在方格图中，描出点A（2，1）、B（6，1）、C（4，4），并顺次连接成一个三角形。再将这个三角形向下平移2格，画出平移后的图形，并写出平移后各顶点的数对。三、小数除法（一）知识梳理【基础】1、除数是整数的小数除法：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。【重要】2、一个数除以小数：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。【非常重要】【高频考点】3、商的近似数：在实际应用中，小数除法所得的商可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，取商的近似数。求商的近似数时，计算到比需要保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。5.333...循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：5.333...的循环节是3，可以写作5.3，在3上面点一个点。【基础】5、用计算器探索规律：运用计算器计算，发现除法运算中蕴含的规律，并能根据规律直接写出商。【热点】6、解决问题：主要包括“进一法”和“去尾法”解决实际问题。例如，用油桶装油，求需要多少个桶（进一法）；用布料做衣服，求能做多少件（去尾法）。（二）重难点精讲【难点】1、一个数除以小数的算理与算法：核心是转化，利用商不变的性质，将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。例如：12.6÷0.28，将除数和被除数同时扩大100倍，转化为1260÷28进行计算。【高频考点】2、区分“进一法”与“去尾法”：这是解决问题的难点。进一法：根据实际情况，不管小数部分是多少，都要向前一位进一取整数。如：需要几个瓶子装油，最后余下的油也需要一个瓶子。去尾法：根据实际情况，不管小数部分是多少，都要舍去尾数取整数。如：最多能做几件衣服，布不够做一件时，剩余布料只能舍去。3=0.333...7=0.285714285714...环小数，并会用简便记法表示。例如：1÷3=0.333...7=0.285714285714...3上加点）。2÷7=0.285714285714...，循环节是，记作0.（2和4上加点）。9=0.111...9=0.222...的规律探索：例如，1÷9=0.111...9=0.222...9=0.222...，3÷9=0.333...，由此可以推断4÷9=0.444...，5÷9=0.555...。（三）易错点分析1、商的小数点漏点或点错：特别是当被除数是整数，且位数不够时，容易忘记先点小数点再补0。2、一个数除以小数时，除数与被除数扩大倍数不一致或出错。3、混淆“进一法”和“去尾法”：如装水问题用进一，做衣服问题用去尾，情境一变就出错。4、误认为无限小数都是循环小数：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数（如π）。（四）专项练习（示例）1、列竖式计算：50.4÷0.28=7.79÷95=15.8÷0.91≈（得数保留两位小数）2、用简便形式写出下面的循环小数：1.555...写作：2....写作：3、选择题：每个油桶最多可装4.5kg油，装10kg油至少需要（）个这样的油桶。A.2B.2.2C.34、解决问题：做一套童装用布2.2米，现有50米布，最多可以做多少套这样的童装？四、可能性（一）知识梳理【基础】1、事件发生的确定性与不确定性：在一定的条件下，一些事件的结果是可以预知的，具有确定性；一些事件的结果是不可预知的，具有不确定性。确定事件用“一定”或“不可能”来描述。不确定事件用“可能”来描述。【重要】2、可能性的大小：事件发生的可能性有大有小。在随机事件中，某种情况出现的数量越多，它发生的可能性就越大；数量越少，可能性就越小。【拓展】3、游戏规则的公平性：只有当双方获胜的可能性相等时，游戏规则才是公平的。否则，游戏规则就不公平。（二）重难点精讲【热点】1、用“一定”“可能”“不可能”描述生活中的现象：例如，“太阳从东方升起”是确定事件，用“一定”描述；“明天会下雨”是不确定事件，用“可能”描述；“石头会浮在水面上”是不可能事件，用“不可能”描述。【重要】2、根据条件判断可能性的大小：例如，一个盒子里有5个红球和2个蓝球（球除颜色外完全相同），从中任意摸出一个球，摸出红球的可能性大，摸出蓝球的可能性小。【难点】3、设计公平的游戏规则：例如，设计一个转盘，使指针停在红色区域和蓝色区域的可能性相等，那么红色和蓝色区域在转盘上的面积应该各占一半。（三）易错点分析1、混淆“可能”与“一定”：例如，认为“抛硬币10次，一定是5次正面5次反面”。实际上，这只是可能性较大，但不是一定发生。2、对可能性大小的判断错误：认为数量差距越大，可能性差距就越大，但在比较分数时，可能忽略总数变化。如：袋子里红球5个，蓝球3个，摸到红球的可能性是5/8，蓝球是3/8。（四）专项练习（示例）1、用“一定”“可能”“不可能”填空。（1）明天（）是晴天。（2）太阳（）从西边落下。（3）哥哥的年龄（）比弟弟小。2、一个正方体的六个面分别写着1~6，掷一次，单数朝上的可能性和双数朝上的可能性相比，谁大？五、简易方程（一）知识梳理【基础】1、用字母表示数：在数学中，可以用字母表示数，表示运算定律，表示计算公式，表示数量关系。例如：乘法分配律(a+b)c=ac+bc；正方形面积S=a2；路程公式s=vt。【重要】2、等式的性质：性质1，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。【非常重要】【高频考点】3、方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。方程必须具备两个条件：一是等式，二是含有未知数。【非常重要】【高频考点】4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。解方程的依据是等式的性质。【重要】5、实际问题与方程：列方程解决实际问题的步骤：（1）找出未知数，用字母x表示；（2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程；（3）解方程并检验作答。【拓展】6、稍复杂的方程：如形如ax±b=c、ax±bx=c、ax±b×c=d的方程，需要先利用等式的性质进行变形，再求解。（二）重难点精讲【难点】1、理解用字母表示数的意义，尤其是含有字母的式子既可以表示结果，也可以表示关系。例如，比x的3倍多5的数是3x+5，这个式子既表示了数，也表示了与x的关系。【热点】2、根据等式的性质解方程，特别是解形如3x+6=18，2x4=10，4x+2x=24等稍复杂的方程。解形如3x+6=18时，先把3x看作一个整体，等式两边同时减去6，得3x=12，再两边同时除以3，得x=4。【非常重要】【高频考点】3、正确寻找等量关系列方程解决问题。这是本单元的终极目标。常见类型：（1）比谁的几倍多（少）几：如“故宫的面积比天安门广场面积的2倍少16万平方米”，等量关系为：天安门广场面积×216=故宫面积。（2）和倍/差倍问题：如“果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍”，等量关系为：桃树棵数+杏树棵数=180，杏树棵数=桃树棵数×3。设桃树x棵，则杏树3x棵，列方程x+3x=180。（3）行程/工程问题：如“两地相距540km，甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行65km，乙车每小时行55km，几小时后相遇？”，等量关系为：（甲速+乙速）×时间=总路程。设x小时后相遇，列方程(65+55)x=540。（三）易错点分析1、方程与等式关系混淆：误认为“等式都是方程”或“方程都是等式”。实际上，方程一定是等式，但等式不一定是方程（如2+3=5是等式，但不是方程）。2、解方程时，等号没有对齐，运算符号出错。3、列方程时，等量关系找错，导致方程错误。4、解完方程忘记检验，或检验方法不正确。（四）专项练习（示例）1、用含有字母的式子表示下面的数量关系。（1）x与36的和：（2）a的5倍减去4.8：2、解方程。x7.9=2.63.4x48=26.86x+3×7=398x3x=1053、列方程解决问题。（1）妈妈买了5千克苹果和3千克香蕉，一共花了42元。已知苹果每千克6元，香蕉每千克多少元？（2）甲、乙两个工程队共同开凿一条117米长的隧道，各从一端相向施工，13天打通。甲队每天开凿4米，乙队每天开凿多少米？六、多边形的面积（一）知识梳理【基础】1、平行四边形的面积：通过割补法（沿着高剪开，平移拼成长方形）推导出面积公式。平行四边形的面积=底×高，字母公式：S=ah。等底等高的平行四边形面积相等。【基础】2、三角形的面积：通过拼摆法（两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形）推导出面积公式。三角形的面积=底×高÷2，字母公式：S=ah÷2。等底等高的三角形面积相等。【基础】3、梯形的面积：通过拼摆法（两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形）或分割法推导出面积公式。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，字母公式：S=(a+b)h÷2。【非常重要】【高频考点】4、组合图形的面积：由几个简单的图形组合而成的图形。求组合图形的面积，可以运用“分割法”或“添补法”把它转化成已学过的简单图形，再分别计算面积并相加或相减。【拓展】5、不规则图形的面积：常用“数方格”的方法（不满一格按半格计算）或近似转化为规则图形来估算。（二）重难点精讲【难点】1、理解面积公式的推导过程，尤其是三角形和梯形面积公式中“除以2”的原因。三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半；梯形面积是拼成的平行四边形面积的一半，而平行四边形的底等于梯形上底加下底的和。【重要】2、面积公式的逆用：已知面积和底（或高），求高（或底）。例如：已知平行四边形面积S和底a，求高h，则h=S÷a；已知三角形面积S和底a，求高h，则h=2S÷a（注意不要忘记乘以2）。【高频考点】3、组合图形面积的灵活计算：要根据图形特点选择最简便的方法。例如，求少先队中队旗的面积，可以用“添补法”补成一个长方形，减去一个三角形的面积。【热点】4、等积变形问题：在平行线间，同底等高的三角形面积相等。利用这一性质，可以解决一些图形变换中的面积问题。（三）易错点分析1、计算三角形或梯形面积时，忘记除以2。2、单位不统一时直接计算：如底用米，高用厘米，要先统一单位再计算。3、计算组合图形面积时，分割或添补不当，导致计算复杂或错误。4、找错底边对应的高：在平行四边形或三角形中，高必须与指定的底垂直。（四）专项练习（示例）1、填空题。（1）一个平行四边形的底是5cm，高是4cm，它的面积是（）cm2。（2）一个三角形的面积是24m2，底是8m，高是（）m。（3）一个梯形的上底是3dm，下底是5dm，高是4dm，它的面积是（）dm2。2、计算下面图形的面积。（单位：厘米）[此处可想象一个梯形，上底6，下底10，高5][此处可想象一个组合图形，由一个长方形和一个三角形组成]3、解决问题。（1）一块三角形麦田，底是250米，高是84米，共收小麦14.7吨。这块麦田有多少公顷？平均每公顷收小麦多少吨？（2）王大爷用篱笆靠墙围成一个梯形养鸡场（如图），篱笆总长46米，求养鸡场的面积。[此处可想象一个梯形，一边靠墙，篱笆是另外三边的总长，已知高20米，求面积]七、数学广角——植树问题（一）知识梳理【基础】1、植树问题的三种基本类型：（1）两端都栽：棵数=间隔数+1，间隔数=棵数1，总长=间隔数×间距。（2）两端都不栽：棵数=间隔数1，间隔数=棵数+1，总长=间隔数×间距。（3）一端栽