2024年华中师大附中丘成桐少年班招生数学试卷及答案解析

丘成桐班选拔试题1.解方程：[x]=3x-2,x=.2.15转化成2进制是,10位的2进制数有个。3.φ(x)表示不超过x的非0自然数中与x互质的自然数的个数，φ(25)=φ(77)=4.甲、乙、丙3人从A地出发去270km远的B地，每天走10km，每人最多带36天的食物，可以把食物分给他人。（1）若甲、乙两人出发，甲距离A地100km时返回，乙可以走千米就要返回；（2）若甲、乙两人出发，乙最多可以走千米就要返回；（3）请设计一种方案，可以互相补给，不可以存放，如何让乙走到B再返回。5.一批衣服进价40元，打算以40%的利润卖出，卖了80%后打折，卖完后的总利润只有原来的86%，则打6.对于一些数a1,a2,···,an若ai>aj且i<j，则成ai,aj为逆序，a1到an的逆序数量叫逆序数。（1）1,2,3,4的任意排列中，逆序数恰好为2的排列有个；(2)设a1,a2,···,a10的逆序数为k，则a10,a9,···,a1的逆序数为8.小明一步跨2级或3级台阶，一共20级台阶有种不同的走法。9.有一堆石子，甲、乙两人轮流取，甲先取，乙后取，每次1-5颗，如果一共12颗，必胜，如果一共2024颗，必胜。10.有一个水池，单开甲管12个小时可以注满，单开乙管20个小时可以注满，现在甲开1个小时，乙开1个小时，轮流下去，注满水池要小时。11.把圆柱体切成2个小的圆柱体，它的表面积增加了25.12平方分米，把它切成两个半圆柱体，它的表面积增加80平方分米，这个圆柱体的体积是立方分米。2024年华中师范大学第一附属中学丘成桐班选拔试题1212.给一块长方形区域铺地砖，这个长方形的长是2050厘米，宽是615厘米。要往里面铺入最大的正方形地砖，且没有剩余，这样的正方形地砖有块。13.如果一组数对于一种运算满足以下三个性质，就说这组数对于这个运算是优美的;性质一：进行这个运算后得到的结果还在这组数内;性质二：一定存在一个数e,使得数x与e进行运算结果为数x本身;性质三：对于任意x，一定存在另一个数y使得x与y运算得到的结果等于y与x运算，且这个结果为e。以下四组数和运算中，满足这组数对于这个运算是优美的是().A：自然数和加法B：自然数和乘法C：整数和加法D：整数和乘法14.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”22与“密率”355。它们可用“调日法”得到：EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(于),故)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(π),a)1.EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(为强),与上)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(小于π),次得弱)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(近似值为),3计算得)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(取),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(为初始),为强率)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(弱率),继续),EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(得a),到得)与上一次得弱率计算得到新的近似值，若某次得到的近似值为弱率，与上一次得强率继续计算得到新的近似值，以此类推，已知am则m=,a8=.15.若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是.16.一串数：1,2,4,8,······从第二个开始，每一个都是前一个的两倍。Xn表示数串中小于等于n的个数X1+X2+···+X49+X50=.17.一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是种样子。18.如图，四边形ABCD的面积为6,将BA、AD、DC、CB延长3倍得到新的四边形EFGH,四边形EFGH的面积是...GDACBHEF19.如图，三个正方形摆放如下，阴影部分的面积是.自然数中的一个。相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21,则“行”可以代表的数最大是.2024年华中师范大学第一附属中学丘成桐班选拔试题l421.“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面aabaaba_caaabab①由图形可知，勾股定理a2+b2=c2成立；②由图形可知，完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2成立；③由图形可知，平方差公式a2_b2=(a+b)(a_b)成立；④由图形可知，公式(a+b)2_(b_a)2=4ab成立。22.如图是一个直角三角形，以三条边为直径作三个半圆，面积分别是S1、S2、S3,它们之间的关系是.SS1S2S3丘成桐班选拔试题参考答案1.解方程：[x]=3x_2,x=.2.3答案：1或2.3解析：设x整数部分为a,小数部分为b,(0≤b<1),则_2→ab.2.15转化成2进制是,10位的2进制数有个。答案：1111,1024.解析：15÷2=7······1,7÷2=3······1,所以15转换成2进制为1111.因为是10位数的二进制，所以210=1024个。3.φ(x)表示不超过x的非0自然数中与x互质的自然数的个数，φ(25)=,φ(77)=.答案：20,60.解析：φ(25)→1~25中与25互质数的个数φ(77)→1~77中与77互质数的个数4.甲、乙、丙3人从A地出发去270km远的B地，每天走10km,每人最多带36天的食物，可以把食物分给他人。1）)若甲、乙两人出，,甲距离A地100km时返，,乙可以走千米就要返回;（2）若甲、乙两人出发，乙最多可以走千米就要返回;（3）请设计一种方案，可以互相补给，不可以存放，如何让乙走到B再返回。答案：(1)230,(2)240.解析：(1)甲、乙同时从A地出发，甲走了100千米，乙也走了100千米，甲在100千米时返回，此时乙还有26天的食物，甲可以把10天的食物给乙，乙此时有36天的食物，则乙还能再走(10+36)÷2×10=230千米。（2）食物可以分，但是每人最多携带36天的食物，设甲消耗的食物为x，36-2x+36_x=36，解得x=12。乙走过的总路程为(12+36)×10=480千米，480÷2=240千米，即乙走240千米就要返回。（3）甲乙同时从A地出发，甲距离A地120千米时返回，并把多余的12天的食物给乙，丙在甲出发的第43天，甲丙相遇时，丙将6天的食物给甲。（解法不一，符合题意即可）.2024年华中师范大学第一附属中学丘成桐班选拔试题参考答案165.一批衣服进价40元，打算以40%的利润卖出，卖了80%后打折，卖完后的总利润只有原来的86%,则打答案：八、解析：设这批衣服有10件，每件进价40元，打算以40%的利润卖出，则原售价是40×(1+40%)=56（元），则每件利润是56_40=16（元），所以总利润是16×10=160（元），卖了80%，即卖了10×80%=8（件），这8件的利润是16×8=128（元），则剩下的2件的利润是160_128=32（元），每件的利润是32÷2=16（元），则此时售价是40+16=56（元），56÷56=1。所以，剩下的商品的价格是原售价的1倍，即打了八折。6.对于一些数a1,a2,···,an,若ai>aj且i<j则成ai,aj为逆序，a1到an的逆序数量叫逆序数（1）1,2,3,4的任意排列中，逆序数恰好为2的排列有个;(2)设a1,a2,···,a10的逆序数为k,则a10,a9,···,a1的逆序数为用k表示）.答案：(1)4,(2)45_k.共4个。（2）根据题意可知，各数互不相同的(am,an)和(an,am)中恰有一个逆序。所以在数列a1,a2,···,a10与a10,a9,···,a1中共有个逆序。因为a1,a2,···,a10的逆序数为k,则a10,a9,···,a1的逆序数为45_k..2025答案：12023.2025解析：原式8.小明一步跨2级或3级台阶，一共20级台阶有种不同的走法。答案：114.解析：递归关系：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=1,f(n)=f(n_2)+f(n-3)。由此依次计算f(4)···f(5)···f(20)为1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,65,86,114.9.有一堆石子，甲、乙两人轮流取，甲先取，乙后取，每次1_5颗，如果一共12颗，必胜，如果一共2024颗，必胜。解析：根据题目，1+5=6颗，是12的倍数，那么如果让对方先取，乙就能保证每次取得的和都是6,即如果对方取1那么我取5,对方取2我取4,对方取5我取1,保证每一轮所取到的石子的数量都是6,这样最后一轮就剩下6颗，无论对方取几个，乙都能取到最后一颗，所以乙保证每一轮所取的石子数为6就能保证获胜，即乙必胜;根据题目，2024÷6=337（组）······2（颗）,那么如果让甲先取走2颗，再根据乙取的数量去取，先取的人就能保证每次取得的和都是6,即如果对方取1那么我取5,对方取2我取4,对方取5我取1,保证每一轮所取到的石子的数量都是6,这样最后一轮就剩下6颗，无论对方取几个，甲都能取到最后一颗，所以甲保证每一轮所取的石子数为6就能保证获胜，即甲必胜。l0.有一个水池，单开甲管12个小时可以注满，单开乙管20个小时可以注满，现在甲开1个小时，乙开1个小时，轮流下去，注满水池要小时。.5答案：144.5解析：甲的效率为1乙的效率为12小时一周期7个周期余1_15×7=15.ll.把圆柱体切成2个小的圆柱体，它的表面积增加了25.12平方分米，把它切成两个半圆柱体，它的表面积增加80平方分米，这个圆柱体的体积是立方分米。答案：125.6.解析：圆柱的底面积：25.12÷2=12.56（平方分米）,12.56÷3.14=4（分米）.所以，底面积半径为2分米。圆柱的高：80÷2÷(2×2)=10（分米）.所以，圆柱的体积为12.56×10=125.6（立方分米）.12.给一块长方形区域铺地砖，这个长方形的长是2050厘米，宽是615厘米。要往里面铺入最大的正方形地砖，且没有剩余，这样的正方形地砖有块。答案：30.解析：根据题意，要铺入最大的正方形地砖，且没有剩余，那么正方形地砖的边长是2050和615的最大公因数。用分解质因数的方法求出2050和615的最大公因数，即正方形地砖的边长，再用长方形区域的长和宽分别除以正方形地砖的边长，求出长和宽分别可以铺几块地砖，最后把长和宽可以铺的地砖块数相乘，即可求出这样的正方形地砖有多少块。2050=2×5×5×41615=3×5×412050和615的最大公因数是5×41=205.(2050÷205)×(615÷205)=10×3=30（块）.故答案为：30.13.如果一组数对于一种运算满足以下三个性质，就说这组数对于这个运算是优美的；性质一：进行这个运算后得到的结果还在这组数内；性质二：一定存在一个数e,使得数x与e进行运算结果为数x本身；性质三：对于任意x,一定存在另一个数y使得x与y运算得到的结果等于y与x运算，且这个结果为e.以下四组数和运算中，满足这组数对于这个运算是优美的是().A：自然数和加法B：自然数和乘法C：整数和加法D：整数和乘法答案：C.l4.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”与“密率”。他们可用“调日法”得到：称大EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(于),故)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(π),a)1.EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(为强),与上)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(小于π),次得弱)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(近似值为),3计算得)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(取),a)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(为初始),为强率)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(弱率),继续),EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up10(得a),到得)与上一次得弱率计算得到新的近似值，若某次得到的近似值为弱率，与上一次得强率继续计算得到新的近似值，以此类推，已知am则m=,a8=.EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up13(答案),解析)25+2247.a8=8+7=1525+2247.l5.若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形。用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是答案：24.解析：如图所示AFAF··GDBECH若连接BD、BE、BF、EG,则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形。用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8=24个。l6.一串数：1,2,4,8,······从第二个开始，每一个都是前一个的两倍。Xn表示数串中小于等于n的个数X1+X2+···+X49+X50=.答案：243.解析：X1:1X2-X3:2X4-X7:3X8-X15:4X16-X31:5X32-X50:61+2×2+3×4+4×8+5×16+6×19=1+4+12+32+80+114=243.17.一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是种样子。答案：4.18.如图，四边形ABCD的面积为6,将BA、AD、DC、CB延长3倍得到新的四边形EFGH,四边形EFGH的面积是.FDFDACBHGE题图..GFHDCAEB解析图答案：150.解析：S△ABC+S△ACD=6.S△ABC:S△EBF=1:(9+3)=1:12.S△ACD:S△DGH=1:12.S△BEF+S△DGH=12(S△ABC+S△ACD)=72.连接BD,S△ABD+S△BCD=6.S△AEH+S△CFG=12(S△ABD+S△BCD)=72.故SEFGH=72×2+6=144+6=150.19.如图，三个正方形摆放如下，阴影部分的面积是.BB4IIM8FINIII1D6EI7GCHAA题图解析图答案：48.解析：∵71+72=72+73=90o,:71=73.∵CD2+DG2=82+62=102=CG2,:7CDG=90◦.又∵CG=CE=10,7A=7CDG=90◦,△ACE≌△DCG(AAS).AE=DG=6,AC=CD=8,∴BE=AB__AE=8__6=2.∵74+75=90◦,73+75=90◦,:74=73.∵76+77=90◦,71+77=90◦,:76=71.又∵7CDG=7GDN=90◦,:△CDG~△GDN..SI=S△ACE=·AE·AC=x6x.自然数中的一个。相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21,则“行”可以代表的数最大是.答案：8.解析：在这四个成语里，五个汉字“一”“言”“行”“举”和“知”都出现两次。因为5个不同的非零自然数之和最小的为15,11个连续非零自然数之和最小的两个为66、77,因此这11个连续自然数只可能为1至11.“一”+“言”+“行”+“举”+“知”=18.(*)因为五个汉字所代表的数不可能全为偶数否则其和等于30）,它们之中有两个奇数、三个偶数或者一个偶数、四个奇数。对于两个奇数，三个偶数的情形，可以断定最小的奇数必为1,否则，因为三个偶数之和大于等于12,这样5个数之和将不小于20,不可能。又因为另外一个奇数不可能大于5,所以得出下列两种情形：情形2:1,2,4,5,6.对于一个偶数，四个奇数的情形。因为四个奇数之和大于等于16，“一”“言”“