考研数学二（高等数学）模拟试卷24

考研数学二(高等数学)模拟试卷24

一、选择题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

1N设f(X)=k—1+N2",则f(x)().

A、无间断点

B、有间断点x=l

C、有间断点x=-l

D、有间断点x=0

标准答案：B

知识点解析:当IxI<1时，f(x)=l+x；当IxI>1时，f(x)=O：当x=-l时,

(1+工，|X|<1

Io,|z|>l

iO«x=­-1

f(x)=O；当x=l时，f(x)=l.于是f(x)J］，"=I显然x=l为函数f(x)的间

断点，选(B)

2、设f(x)连续，且—x2=-2,贝ij().

A、f(x)在x=0处不可导

B、f(x)在x=0处可.导且r(0)^0

C、f(x)在x=0处取极小值

D、f(x)在x=O处取极大值

标准答案：D

知识点解析：由-0/=_2得f(0)=l,由极限的保号性，存在6>0,当0<|

f(N)-1

x|vb时，x2<0,即f(x)vl=f(0),故x=0为f(x)的极大点，应选(D)

3、设f(x)连续，且『(0)>0,则存在6>0,使得().

A、f(x)在(0,6)内单调增加

B、f(x)在(-3,0)内单调减少

C、对任意的x&B0),有f(x)>f(O)

D、对任意的xW(O,6),有f(x)>f(O)

标准答案：D

lim八］)一八°)

知识点解析：因为r(o)=一。1>o,所以由极限的保号性，存在3>o,当

/(工)一/(0)

0<IXIX>0,当XW(B0)时，f(x)f(0),应选(D)

4、设f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，且满足口I+1—zsmy,则函

数f(x,y)在点(0,0)处().

A、取极大值

B、取极小值

C、不取极值

D、无法确定是否有极值

标准答案：A

—二侬山一3

知识点解析：因为口T十l—zsmy,根据极限保号性，存在5>0,当0

2

/—/(0,0)/x_±\+l

时，有/+l-jrsiny<0,而x2+l-xsiny>x2-x+l=<2'4

>0,所以当0<々工于V8时,有f(x,y)-f(0,0)<0,即f(x,y)<f(O,0),所

以f(x,y)在点(0,0)处取极大值,选(A)

二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

../1_I1|_...+1\

5、\+4*//+16+4n2/=

标准答案：；/2+回

I：f…1t—】…+•••T--••-

\2+4//+162+

]——°+-…---+…4—5

—川711+4(打J1+4尉71+4(7)2

=f1-dj=春ln(2z+/1+412)I=-i-ln(2+y5).

知识点解析：.+32102

[㈣1土吟工＞0

x

291=0

6、设f(x)二生+c，1V0,且f(0)存在，则a=,b=

c=_______

标准答案：2,-2,2

lim/(x)

知识点解析：f(O+O)=i*=a,f(0)=2,f(O-O)=c,因为f(x)在x=0处连续，所以

x

2,x=0

f(O+O)=f(O)=f(O-O),从而a=2,c=2,即f(x尸&+2，#V°

ln(14-2x)2

八(0)=hm八工)一八°)=lim—-------,lim幽+孥二?工

,1

=4lim2『2X=4Hm，(】”一二2lim—=-2

7(2x)2i+t2…+2t

f.(0)=lim=lim"土j=6,

1r*0%LQ-1因

为f(x)在x=0处可导，即r+(0)=f\(0),故b=-2.

je"+Va

7、Jeu-10e*+1=______

标准答案：J(，」>_8ds-e*)=萩In］为一:r+2』+C

知识点解析：

Je"二号+1dl=\e^+^-lO^=f>+9_10*4-b'>

=47_/「dS=2ln|-2'+C

J(e^-eO2-8472%—厂+24

「'_dz_

8、Jcxln2x=

标准答案：1

「上=广世!3=__L|2

知识点解析：Je^in2xJeln2xInj-le

lim(l+ary)Enici

9、，

标准答案：e2

知识点解析：

lim(l+zy)i“二)=lim［(l+zy)力］扁即)=e^e

标准答案:

•)

1O-------*-------\.r-1)

2「

lim(—arctaru)lim/El+(Warctanr-

KX3

7r.x-*+©oiITJ

29—arrtfinrI

lun.r(_nntam-I)l*n**-----;-------ltn)亭二丁至£=0.

*2=

知识点解析：暂无解析

14、设ai=l,an+1+/i-/=0,证明：数列｛an｝收敛，并求空尸"

标准答案：先证明｛a1】｝单调减少.a2=0，a2〈ai；设ak+i〈ak，ak+2=一八一。“；,

由ak+iVak得l-ak+i>l-ak，从而一八一。*+】〈一,即ak+2<ak+i»由归纳

14-5/514-5/514-5/5

法得数列｛aQ单调减少.现证明a/2a）=l>2,设akN2,则

1+1+-_（1+回2/r—^1+7514-75

l-ak<l+Z42,从而2,即

1+用1+75

ak+i>2,由归纳法，对一切n,有ae2由极限存在准则，数列｛而｝

收敛，设㈣对如+1+C二册=0两边求极限得A+/=区=0,解得

…-竽

LOO乙

知识点解析：暂无解析

15、举例说明函数可导不一定连续可导.

标准答案：

j^sinLzH0,

令/（公•2?

0»x=0,

当彳#0时,/（工）=2xsin——8S上，当x=0时/（0）=lim-f（°）=0

XXr-^SX

M、2xsin----cos工j：W0,

即小工）=｛zm

0,x=0.

因为蚓,（工）不存在，而r（o）=o,所以f（x）在x=o处可导，但r（x）在x=o处不连

续.

知识点解析：暂无解析

b-a1出皮Vb-a

16、设b>a>0,证明：b°aa

b-a

标准答案：令由微分中值定理得f(b)-f(a尸r《)(b-a尸§其中S乐⑶

纥*—,即。vln上Vj

b).因为0,从而babaa

知识点解析：暂无解析

2H3-312+1

17、求曲线产/+小的斜渐近线.

m,lim2=2,lim(y-2])=lim-=—U......

标准答案：由一工…)一/+4”得Z[曲线y_

2立一312+1

/+4/的斜渐近线y=2x-U.

知识点解析：暂无解析

^=(z>l)

18、Xy/x1~1

(_drfsecnan/^=f+C=arccos5+C.

标准答案:x-1Jsecrtanz

知识点解析：暂无解析

19>farcsincarccosxdx

Maiccosx-arcsinzk

arcsinrarccosrcLr=xarcsinxarccosx-

J

xarcsiru-arccosj--f^rccosjdr+I.rarc、ir"(L

J/1V?J5/l-

=xarcsirurarcco&r+JarccoiurcKJl-P)-jarcsiordCJl-/?)

标准答案：=xarcsiararccoscr+/I-x2(arccosx-arcstnx)+2»r+C.

知识点解析：暂无解析

20、设(p(x尸_针111(*2+0出，求优(x),其中a>0,b>0.

./,、Inudu、、

b,

标准答案：(p(x)=faln(x'+t)d(x~+t)=J(p(x)=2xln(x~+b)-2xln(x-+a)=

x-ra

知识点解析：暂无解析

xsin2x

“sinx

21、设f(x)=」+COsG求h兀f(x-7T)dx.

标准答案：J(产f(x-7i)dx=Jo271f(x-7i)=J.「f(x)dx

binj+yJ。sin'jdlr

=,?dr4-jsin'jrdr=—arctan(cosx)

Jr1+COS’NJ0

一尹尹2sin2jdr=--^4-yX2X-1-Xy=一9+彳.

04LLL44

知识点解析：暂无解析

22、设f(x)在区间［0,1］上可导，f(l)/Jox2f(x)dx.证明：存在乐(0,1),使得

2解)+qr(9=o.*

标准答案：令(p(x)=x2f(x),由积分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(c),其中

1

cG［0»2I，即(p(c尸(p(l),显然(p(x)在区间［0,I］上可导，由罗尔中值定理,存在

氏(c,l)U(0,1),使得优@=0.而优(x)=2xf(x)+x2「(x),所以线熊)+&2r(9=0,

注意到仔o,故2f&)+&r《)=o.

知识点解析：暂无解析

必三

23、设z=f(x-y+g(x-y-z)),其中f,g可微,求石'而

标准答案：等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得

=/［1+/(1—/］,解得快=

dxL'dxljdx415+f酒g)等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求