考研数学三（线性代数）模拟试卷82

考研数学三(线性代数)模拟试卷82

一、选择题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

1、设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=O,则A与B的秩【】

A、必有一个为零

B、均小于n

C、一个小于n,一个等于n

D、均等于n

标准答案：B

知识点解析：因A#0,BWO,故，r(A)>l,r(AB闫.又AB=O=>r(A)Vn,否则

r(A)=n,则A可逆，有A/AB=O,即B=O,这与BRO矛盾，故必有r(A)Vn,

同理有r(B)<n,故只有B正确.

2、设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得R,再把R的第2列加到第3

列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为【】

标准答案：D

知识点解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(l,2),记将单

位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3,2(k)),则由题设条件，有

AE(1,2)=B,BE(3,2(1))=C,故有AE(L2)E(3,2(1))=C,于是得所求逆矩

Q=E(1,2)E(3,2⑴)=

阵为

选项D正确.

3、设A为n(nN2)阶可逆矩阵，变换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为

A,B的伴随矩阵，则【】

A、交换A’第1列与第2列得B*

B、交换A’第1行与第2行得B'

C、交换A*第1列与第2列得一B*

D、交换A*第1行与第2行得一B*

标准答案：C

知识点解析：记交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵为P,则有PA

=B,IBI=-IAI,M=P.且由A可逆知B可逆.于是由B*=IBIB」得

B*=-IAI(PA)-1=-(IAIA")P"=-A"P,或A"P=-B*,再由初等列变换

与初等方阵的关系知，交换A*的第1列与第2列得一B*,因此选项C正确.

4、设A,B,C均为，z阶矩阵，E为n阶单位矩陇，®B=E+AB,C=A+

CA,则B—C为【】

A、E

B、-E

C、A

D、-A

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

二、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

■12-r

4t3

5、设A=L-11J,B为3阶非零矩阵，且AB=O,WJt=

标准答案：一3

知识点解析：暂无解析

6、设矩阵A满足A2+A-4E=O,则(A-E)"=.

2

标准答案：2(A+2E)

知识点解析：暂无解析

7、设A为n阶方阵，且IAI=a#),则IA*I=.

标准答案：

知识点解析：暂无解析

8、设A为n阶非零方阵，且IAI=0,则IA*I=.

标准答案：0

知识点解析：暂无解析

9、设a=(l,0,-1)T,矩阵A=aaT,n为正整数，a为常数，贝UIaE—A*I=

标准答案：a'a—2。

知识点解析：A=(aaT)(aaT)...(aar)=a(a1a)...(a11—a2n_1ar=

-0—

000•

-Io

IaE-AI=a2(a-2n)

・1-11

-11-1

10、设a为3维列向量，『是a的转置，若aaT=L1-11」，则/&=

标准答案：3

知识点解析:设a=,则aaT=

ri

1222

.a3ala3a2星」L1-11Jaa=ai+a2+a3=I+1+1=3.

II、设3阶方阵A、B满足A*B-A-B=E,其中E为3阶单位矩阵，若A=

■ior

020

-20L,则IBI=.

2

标准答案：

知识点解析：暂无解析

021

040

12、设A、B均为3阶矩阵，E是3阶矩阵，已知AB=2A+B,B=0

则(A—E)-l=______.

标准答案：

知识点解析：暂无解析

■oor

oio

13、设矩阵B=L0°-

已知矩阵A相似于B,则秩(A—2E)与秩(A—E)之和

等于.

标准答案：4

知识点解析：暂无解析

-21O-

120

14、设矩阵A=LO01」，矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A”为A的伴随

矩阵，E是单位矩阵，则IB|.

1

标准答案：百

知识点解析：暂无解析

-10-

00

E°-1」，B=P/AP,其中P为三阶可逆矩阵，则BZOB-ZA2

「3

3

标准答案:

r-1r-2

一1•2/=-2

知识点解析：由于・2」，A4=(A2)2=

E,A2(X)4=(A4)5O,=E5(],=E故B2()()4-2A2=P-,A2，:,()4P-2A2=E-2A2=

16、设A=(aij)3x3是实正交矩阵，且a“=l,b=(l,0,0)T,则线性方程组Ax

b的解是_______.

r

o

标准答案：

知识点解析：暂无解析

17、设山，均为3维列向量，记矩阵A=(ai，(X2，(X3),B=(ai+a2+ct3,

四十2(X2十4a3,四十3(X2+9(X3)如果IAI=1,贝ijIBI=

标准答案：2

知识点解析：利用矩阵乘法，可将B写为B=(ai，。2，as)

1illri1in11

123=A123I23

L49」Ll49J两端取行列式，得IBI=IAI1

49=1x2=

2.

41237637

23413572

12345435

18、求下列行列式的值：(1)341⑵5654

标准答案：(1)160；(2)—10.

知识点解析：暂无解析

Q)

标准答案：⑴(一l)M(n—l)%n-2；(2)(x-l)(x-2)...(x-n+l)；(3)

n!(1+x+-^-+,,•+—)

2n；(4)n+l.

知识点解析：暂无解析

三、解答题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

■11「10。・

B=0tP=2-10

20、已知AP=PB,其中L-1JL211」求矩阵A及A§.

标准答案：因P可逆，A=PBP-,=

-10o~ir1-r10onrioo-

2-1002一10

1J_

21—1__—411JL6—l一1」A5=(PBP")(PBP

i)...(PBP")=PB5p"=PBP"=A

知识点解析：暂无解析

21、设n阶矩阵A满足AAT=L其中I为n阶单位矩阵，且IAIVO,求IA+

II.

标准答案：IA+II=IA4-AATI=IA(I+AT)I=IAII1+ATI=IAII

(I+AT)TI=IAIII-AI=IAIIA+II=>(1-IAI)IA+II=0,又1

-IAI>0=>IA+TI=0.

知识点解析：暂无解析

22、设矩阵A=I—aaL其中I是，n阶单位矩阵，a是n维非零列向量，证明：

(1)A?=A的充要条件是『01=1；(2)当01a=1时，A是不可逆矩阵.

标准答案：(1)A?=AQ(I—aaT)(I—aaT)=I—aaT^I—2aaT+a(aTa)aT=1—aaT^

—aaT+(aTa)aaT=O^(aTa—l)aaT=O^aTa=1.(2)当/(1=1时，A2=A,若A

可逆，则有A"A2=A/A,即A=L=>ara=0,这与a「arO,矛盾，故A不可

逆.

知识点解析：暂无解析

23、设A是n阶可逆方阵，将A的第i行与第j行对换后所得的矩阵记为B.(1)

证明B可逆；(2)求AB」.

标准答案：⑴因IAI而，而IBI=-IAI和，故B可逆；⑵记Eg是n阶单

位矩阵的第i行和第j行对换后所得的初等方阵，则8=£日人，因而A-l=A(EijA)J

,-1ij

=AA'Eij=E.

知识点解析：暂无解析

24、设n阶方阵A、B满足A+B=AB.(1)证明：A—E为可逆矩阵；(2)当B=

-30-

10

Eo2」时，求A.

标准答案：(1)由AB-B-A=O,=>(A-E)B-(A-E)=E,=>(A-E)(B-E)=

E,即知A—E可逆;(或A=B(B—E)")

知识点解析：暂无解析

1or

020

25、设矩阵A=L01」矩阵X满足关系式AX+E=??+X,求矩阵X.

标准答案：(A—E)X=A2—E,且A—E可逆=>X=(A-E)”(A—E)(A+E)=A+E

『01-

030.

=Ll02.

知识点解析：暂无解析

ri1in

26、设3阶方阵A的逆阵为A"=L113」.求(A*)L

-5-2-r

(A・)T==|A-1|=-220

IA|

标准答案：L-1o1J

知识点解析：暂无解析

27、已知3阶方阵A=(aij)3x3的第1行元素为：an=l,ai2=2,ai3=—1.(A*)T

--754'

-432.

=19-7-5J其中A*为A的伴随矩阵.求矩阵A.

-A”A】zAU-

A21A22A23

-AJIA32A33.

标准答案：由(A*)T=知Au=-7,Ai2=5,Ai3=4,==>1Al

=ai1Ai]+a22A22+a33A33=—1,又由AA*=1A1E=—E,

12-r

=>A=一(A*尸=314

221.

知识点解析：暂无解析

AJIAi「

A32A”A]?

28、已知3阶方阵A的行列式IAI=2,方阵B=33A、其中Aij为A

的(i,j)元素的代数余子式，求AB.

■00r

A・010

标准答案：B可看作是由A*交换1、3两列得到的,