考研数学三（线性代数）模拟试卷28

考研数学三(线性代数)模拟试卷28

一、选择题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

设n维行向量a=L,矩阵A=E—*aTa,B=E+20ra,则AB=()

A、0

B、一E

C、E

D、E+a^a

标准答案：C

知识点解析：AB=(E-aTa)(E+2aTa)=E+aTa-2aTaaTa=E+aTa-2aT(aaT)a,

rj_i

7

o

其中

故AB=E+aTa—

2、设A,B均为n阶矩阵，且AD=A+D,则下列命题中：①若A可逆，则D可

逆；②若A+B可逆，则B可逆；③若B可逆，则A+B可逆；④A—B恒可

逆.正确的个数为()

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：D

知识点解析：由于(A・E)B=A,可知当A可逆时，|A一E||B|和,故间翔,因此|B|可

逆，可知①是正确的.当A+B可逆时，故旧|r0,因此B可逆,可

知②是正确的.类似地，当B可逆时，A可逆,故|AB|=|A||B|#0,因此AB可逆，

故A+B也可逆，可知③是正确的.最后，由AB二A+B可知(A—E)B—A=O,也即

(A—E)B-(A—E)=E,进一步有(A—E)(B—E)=E,故A—E恒可逆.可知④也是

正确的.综上，4个命题都是正确的，故选(D).

3、n维向量组囚，012，…，as（3SsSn）线性无关的充要条件是（）

A、存在一组全为零的数ki，k2，…，ks,使kiai+k2a2+…+ksas=O

B、ai，a2,…，as中任意两个向量都线性无关

C、ai，。2，…，as中任意一个向量都不能由其余向量线性表出

D、存在一组不全为零的数ki，...»ks，使kiai+k2a2+…+ks（Xs#0

标准答案：C

知识点解析：可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如as可由内，

（12，…，as/线性表出，则ai，a2»...»线性相关，这和己知矛盾，故任一向量

均不能由其余向量线性表出.充分性：假设ai，a2,...»as线性相关Q.至少存在

一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故ai，a?,…，as线性无

关.（A）对任何向量组都有0ai+0a2+...+0as=0的结论.（B）必要但不充分，如

ai=[0,1,0]T,a2=[l,1,0]T,as=[l,0,0]丁任两个线性无关，但ai，a2,013线

性相关.（D）必要但不充分,如上例ai+a2+a3#）,但ai，（13线性相关.

4、要使都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵A为（）

(A)[—2,1,1]

标准答案：A

知识点解析：因[-2,1,1]&=0,

TT

5、已知囚=[一1,1,a,4],a2=[—2,1,5,a],a3=[a,2,10,是4阶方

阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为（）

A、a/5

B、a齐4

C、a，-3

D、a#3且a^4

标准答案：A

知识点解析：外，口，Q3是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由

1a47-11a4

~15-2aa—8-►0-15~2aa-8

Q+2a2+104a+l」00(a+4)(5—a)(a—5)(a+3)一

知际5.故应选（A）.

r2oo-

C60

6、已知MAP=Lc06」，囚是矩阵A属于特征值入=2的特征向量，a2,a3是矩

阵A属于特征值入=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是()

A、[(XI，72，as]

B、[ai，a2+a3，a2-2as]

C、[ai，a3，a2]

D、[ai+a2，a)-a2»013]

标准答案：D

a'

知识点解析：若P"AP=A=L。3」，p=[ai，Q2，a3],则有AP二PA,即

a2，

A[ai,ai»a3]=[a),g,as]■即[Aai，Aai>Aa3]=[aiai,a2a2,

a3a3|.可见四是矩阵A属于特征值3的特征向量(i=l,2,3),又因矩阵P可逆，

因此，a1，a2，(13线性无关.若a是属于特征值入的特征向量，则一a仍是属于

特征值九的特征向量，故(A)正确.若a,B是属于特征值大的特征向量，则

k]a+k2p仍是属于特征值入的特征向量.本题中，a2，。3是属于入=6的线性无关的

特征向量，故Ct2+a3，—2a3仍是九=6的特征向量，并且。2+底3，。2—2(X3线性无

关，故(B)正确.关于(C),因为a2,C13均是人=6的特征向量，所以a2，(13谁在前

谁在后均正确.即(C)正确.由于ai，a?是不同特征值的特征向量，因此见+心，

ai—a?不再是矩阵A的特征向量，故(D)错误.

二、填空题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

7、设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E,|A|>0,贝IJIA-EI=.

标准答案：0

知识点解析：|A—E|=|A—AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E—A)T|=|A||E—A|.由于

AAT=ATA=E,可知⑶2=1,又由于|A|>0,可知|A|=1.又由于A为奇数阶矩阵，

故IE-AI斗(A-E)|=-|A-E|,故有|A-E|=|A-E|,可知|A-E|=0.

8、ISA=E+apT,其中a,p均为n维列向量，aTp=3,贝i」|A+2E|=.

标准答案：2x3n

知识点解析：由于/。=3,可知tr(apT)=3.印丁的秩为1,故0至少为印1的口一1

重特征值，故邓丁的特征值为()(n-l重)，3.因此，A+2E=a[f+3E的特征值为3(n-

1fl),6,SJ(|A+2E|=3n'1x6=2x3n.

=

x\-x20,

j一“3=0，

为一14=0，

9、方程组以4一©=°的通解是.

标准答案：k[l,1,1,1]T,其中k是任意常数

知识点解析：暂无解析

10、设A是n阶矩阵，L是A的r重特征根，A的对应于人的线性无关的特征向量

是k个，则k满足________.

标准答案：修kg

知识点解析：暂无解析

三、解答题(本题共74题，每题1.0分，共14分。)

1-XX000

-11-ZX00

0-1X0

00-11-XX

000-11-X

11、计算D5=

标准答案：按第一行展开

TX

01-X

D=(l-X)D4-X=(1，

s-1

得到递推公式

3

D5-D4=-X(D4-D3)=...=一X(D2-D|).容易推出D5二-X，+x-X-+D2=-XJ+X-X-+X-

x+1.

知识点解析：暂无解析

12、设A是n阶矩阵.证明：A=O的充要条件是AAT=O.

标准答案：设

应有=0,，'=1，2,…,〃，即&=0（i=l,2,…，〃厅=1,2,…•〃），即A=Q

之，若A=O,显然AA，=O.

知识点解析：暂无解析

13、设矩阵,矩阵X满足AX+E—A?+X,其中E为3阶单位矩阵,

求矩阵X.

标准答案：由AX+E=A2+X=>(A—E)X=(A—E)(A+E).又|A一E|二一1#),则

r2or

X=A-FE=030.

Ll02.

知识点解析：暂无解析

T

设有两个非零矩阵A=[C1,口2，…，B=[b|,b2，…，bn].

14、计算ABT与ATB；

aha也…。也一

见仇gb?…a2b„

4BT=•••

•••

))T

标准答案：aj2…ajn_,AB=aib]+a2b2+…+anbn.

知识点解析：暂无解析

15、求矩阵ABT的秩「（ABD；

标准答案：因ABT各行（或列）是第1行（列）的倍数，-又A,B皆为非零矩阵，故

r（ABT）=l.

知识点解析：暂无解析

16、设C=E-ABL其中E为n阶单位阵.证明：CTC=E—BAT—ABT+BBT

要条件是ATA=1.

标准答案：由于CT=(E—ABT)T(E-ABr)=(E-BAT)(E—ABT)=E—BAT一

ABT+BATABT,故若要求CTC=E-BAT-ABT+BBT,则BATABT-BBT=O,

B(ATA-1)BT=0,即(ATA—1)BBT=O.因为B#3.所以BB。。.故CTC=E-

BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

知识点解析：暂无解析

17、证明：r(A+B)<r(A)+r(B).

标准答案：设人=[囚，。2，…，an]»B=[pi，能，…，Pn]»则A+B=[ai+(3[,

a2+02，…，«n+pn].由于A+B的列向量组内+仇，。2+仞，…，%+诙都是由向量

组山，(12，…，On,Pl>。2，…,0n线性表出的，故「(山+。1，。2+02，…，

an+Pn)<r(ai,。2,...»a”pi»。2,…，%)•又由于r(ai，%...»an,伙，

p2»...»pn)<r(ai，012，…，31)+邓1，历，…，pn)»故r(A+B)=r(ai+pi,

CI2+P2，…，«n+Pn)<r(ai»82，…，斯，0|,P2，…，Pn)<r(a),以2,…，

an)+r(pi,p2»...»Pn)=r(A)+r(B).

知识点解析：暂无解析

18、已知A,B是三阶方阵，A，0,AB=0证明：B不可逆.

标准答案：AB=O,(AB)T=BTAT=O,A¥O,BTX=0有非零解,故|B|二O,即

|B|=0,从而有B不可逆.

知识点解析：暂无解析

19、设向量组(I)与向量组(II),若(I)可由(口)线性表示，且r(I)=r(II)=r.证

明:(I)与(II)等价.

标准答案：设(I)的一个极大无关组为々，…，0，(II)的一个极大无关组为

n1，T)2，…，Hr*因为(I)可由(口)表刁、>即][,；2，...,备可由nI，T|2»•••>Hr

线性表示，于是r@,红，…,备，qi，r)2»...»i]r)=r(ni»3…，小)=1•又

42，…，备线性无关，则&1，&2，…，&也可作为41，42，…，0，】11，"2，…，nr

的一个极大无关组，于是中，口2，…，小也可由日，匕2,…，备表示，即(II)也可

由(I)表示，得证.

知识点解析：暂无解析

20、己知r|l=[一3,2,0]T,r)2=[一1，0，一2『是线性方程组

ax\4~6X2+5=2,

<71+24-13=1，

12为十也+4=-4的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a,b,c.

标准答案：对应齐次方程组有解片—2,2,2]T或[一I,I,1]T,故对应齐

次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故

21

<2.

一4.又显然应有

r(A)=r(A|b^2,从而r(A)=r(A|b)=2,故方程组有通解k[—1,1,1了+|—3,2,

0]T.将中，92代入第一个方程，得-3a+2b=2,-a—2c=2,解得a二一2—2c,b=

一2—3c,c为任意常数，可以验证：当a=-2—2c,b=-2—3b,b任意时，

r(A)=r(A|b)=2.

知识点解析：暂无解析

21、设A是n阶方阵，2,4,2n是A的n个特征值，E是n阶单位阵.计算

行列式IA—3E|的值.

标准答案：若大为A的特征值，则九-3为A-3E的特征值.所以A-3E的特征值为

—1,I,3,…，2n—3,故|A—3E|=(—l)xlx3x…x(2n~•3)=—(2n—3)!!.

知识点解析：暂无解析

"0100'

1000

00y1.

设矩阵Loo12

22、已知A的一个特征值为3,试求y；

A—3

标准答案：|A一九E|=(0)(九+1)口2—(2+y认+(2y—1)]=0=>^=2.

知识点解析：暂无解析

23、求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.

标准答案：A为对称矩阵，要使(AP)7AP尸pTA2P为对角矩阵，即将实对称矩阵

A2对角化.由(1)得A的特征值入1:1,入2,3=1，A=3,故A?的特征值Q.2,3=1，

M=9.且

-100O'

0100

0054

JO045.

川的属于特征值"2.3=1的正交单位化的特征向量为

'0■

0

1

方

1

兴的属于特征值儿=9的正