考研数学（数学三）模拟试卷407

考研数学(数学三)模拟试卷407

一、选择题(本题共8题，每题L0分，共8分。)

1、设f(X)是(-8,+00)上连续的偶函数，且|f(X)区M当XE(—*00,+oo)时

成立，则F(x)=f()xtet2f(t)dt是(-oo,+oo)上的

A、无界偶函数.

B、有界偶函数.

C、无界奇函数.

D、有界奇函数.

标准答案：B

知识点解析：首先讨论F(x)的奇偶性.注意V*有

F(-x)=[te_<2/(I)drfue-B，/(-u)du

JoJo

=J^ue'uy(u)du=F(x),

可见F(x)是(-8,+8)上的偶函

数.这样就可排除(C)与(D).其次讨论F(x)的有界性.因F(x)是(一8,+8)上的偶

函数，所以可限于讨论xX)时F(x)的有界性.由于

|F(x)|=壮》-17(，)山尸|/(0|d/

号由此可知，改)也是(一…)上

的有界函数.故应选(B).

y22

2、设有函数f](x)=|lnx|,fl(x)=lnx+x(x—1),f3(x)=x—3x+x+l,

f4(x)=|x-l+lnx|,则以(1,0)为曲线拐点的函数有

A、1个♦

个

B、2•

个

C、3♦

个

D、4♦

标准答案：D

知识点解析：首先甘(1)=0,i=1,2,3,4,说明点(1,0)都在曲线上.由|lnx|的图

f\(x\=-L+,-J-r*(X)=--L+i

形容易判断(1,0)是fi(x)的拐点八X2,一’令

h(x)=0,x=l(x=-1不在定义域内)，由于f2(x)在x=l的左、右异号，故(1,0)是

f2(x)的拐点.f3(x)=3x2—6x+l,f3(x)=6(x—I),上(1)=0,又f3(x)在x=l左右异

号，故(1,0)是f3(x)的拐点.对f(x)求导比较麻烦,我们可以由g(x)=x—1+lnx来

讨论.故g'(x尸*+l>0(x>0)可知g(x)T，有g"(x)=<0,故g(x)的图形上凸,

当xW(0,1)时g(x)VO当xW(l,+8)时g(x)>0,所以f4(x)=|g(x)|的图形以(L0)

为拐点.综上所述，应选(D).

3、设m与n是正整数，则h犬(Inx)ndx=

(A)—i1—.(B)(C)•皿，

(m♦!)■*T'(m+1)**'m*(D)m*I"

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：用分部积分法计算.这里积分下限。是瑕点，从而在积分下限处都理

J：L(lnx)"ck=-J-j-J\lnsJ-cKx-*1)

=』[”“(加吠|：-力—(旧尸]

=­—In-*xdx=——\jl-lne-9dx,

解为求极限。m+1J°*m+U°继续

进行分部积分可得

=——•(-...(———

Jom+1\m+l/lm4-1/\m4-1/Jo

s(-1)、!.]=(-])、！

(m+I)1m+1—(m♦l)"“•故应选(B).

4、设(，-x2―xy+y2,则fx(1,1)=

A、1.

B、0.

C、—1.

1

D、2

标准答案：D

知识点解析：先求出f(x,y)的表达式，为此令u=x+y,!)=”从而解得

uvV

X=;------,V=-9

I+"I+”代入题设中

/(U,v)++

ll+J1+v1+V11+J(1+0)2

故/(3y)=・%♦1)=/(孙1)=4"/

(I7尸4

6(5=9一)1…

5、设A是mxn矩阵，且方程组Ax邛有解，则

A、当AX邛有唯一解时必有m=n.

B、当AX邛有唯一解时必有r(A)=n.

C、当AX邛有无穷多解必有mVn.

D、当AX邛有无穷多解必有r(A)Vm.

标准答案：B

知识点解析：方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵A的秩和增广矩阵(A|0)

的秩相等并且等于未知数的个数n(也就是A的列数.).显然(B)正确.(A)不对，

因为唯一解只能推出m〉n,不必m=n.(C)不对，在方程组有解时，mVn是有无穷

多解的充分条件，不是必要条件.(D)不对，在方程组有解时，有无穷多解的充分

必要条件是r(A)<n.

•11-2-

设4=1-21,

6、11

1则下列矩阵中与A合同但不相似的是

■1-21,111'

(A)-24-2(B)131•

-!-21.11-

■300'00r

(C)000(D)000.

-00-3--100-

A、

B、

C、

D、

标准答案；D

知识点解析：首先可排除(A),因为r(A)=2,而(A)矩阵的秩为1,所以它与A不合

同.两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样.(即正，

负数的个数对应相等.)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同.因此应该从

计算特征值下手.求出RE—A|=入伍+3)俱一3),A的特征值为0,一3,3.显然(C)

/=limJ(叩,______.

9、…/

1

标准答案：不.

知识点解析：

xB-(»inx)a=X*j1-(,

0

于是

10、设f(x)为连续函数，且f(0)=f(1)=1,F(x)=JT，则F(1)

标准答案：2.

知识点解析：设f(x)连续，a(x),伙x)可导，则有一般的变限定积分的求导公式

dJa(a),

f(0(x)(T(x)—f(a(x))a，(x)于是F,(x)=fllnx)

卜⑴一，•

11、已知yi=xeX+c2x,y2=x0x+c-x,y3=x0x+e2x_e-x是某二阶线性非齐次微分方

程的三个解，则此微分方程为.

标准答案：y"—y'—2y=(1—2x)ex.

知识点解析：yi-y2=e2x—ex,y2—y3=e、都是相应齐次方程的解.而。|一

Y2)+(yi—y3)=e2x也是齐次方程的解，与。*是两个线性无关的解，而丫2=、^+。

-X是非齐次方程的解，从而y2—er=xex也是非齐次方程的解，由是齐

次方程的解，可知特征艰ri二一1,「2=2,特征方程为(r+l)(i•—2)=0,即r2—r-*

2=0.设所求非齐次方程为y“一y-2，，=f(x).将非齐次解xe*代入，得

f(x)=(xex)一(xex)-2xex=(l—2x)ex故所求方程为y"—y'_2y=(l—2x)ex.

210--850-

巳知4?=110,A5=530，则4=

12、■004-■00-32-

110'

100

标准答案:00

-530-

320

知识点解析：A是矩阵方程A&X=A5的解.求出AJ(A2)2=L。

016-用初等变

换法解此矩阵方程：

■530,850-10.-2-10

320hOj5

430-3230

0016：00-32--001：00-2-

0.2]0.100.1o-

-00!-100-01oh00

-0

-000一2--001：00-2-

110

得A100

00-2-

13、一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零件是不合

格品的概率Pii(i=l,2,3).则三个零件中合格品零件的期望值为

23

标准答案：石.

知识点解析：以Ai表示第i个零件合格，i=l,2,3,Ai相互独立，于是有

=y,P(A)P(A)=

2y不’以X表示3个零件中合格品的个数，则

P"=01=P(A,A2A3)=P0)P«)P(a)«y

P\X=11«P(AyA2AyuAtA2A3U

=P(4彳2月)♦P(一痴j)♦石/)

21]136

2342342424,

236

424

P{X=3}=P(A1A2A3)=P(AI)P(A2)P(A3)="3*P{X=2}=1-P{X=O}-

,6.11,623

1x--+2x---+3x--==•

P{X=1}—P{X=3}=242424-2424242412

EX二

三、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

..(I♦sin2%2);r-/.nA,

lim-------------------------------=a(a.0),.

14、—4求n及a的值.

标准答案：

4-cos2c2

..1+sin2x2

lim----------------

<--0(n+2W

24xcos2x2-4x(1+sinlx2)1

=ehm------------------------------;-----------•---------------r

I(n+2)x*n1+sinlx2

4e2..cos2x2-I-sin2x2

----------lim--------------------------------

n♦2x"

4e*-4x6in2x*-4xcos2x2

------lim--------------------：--------

n+2.nx--1

16e2.."(sin2x2•»-cos2x2)

=^771)--------------------------------=a

分子

的极限不为零，当n=2时，分母的极限不为零，所以当n=2时，a=-2e2。

知识点解析：暂无解析

VaMx*

15、设籍级数…的系数｛a“｝满足a°=2,nan=an'+n—1,n=l,2,3,....求

此转级数的和函数S(x),其中xG(—1,1).

Va

标准答案：求解本题的关键是确定靠级数£°的系数an(n=0,I,2,...).为此

在系数的递推公式叫产而-i+n—1rti依次令n=l，2,3即得ai=ao=2,

c.11211,1.

2a2=a,+=yxa|+y=y+l

a.121/1\21.

3ai=­xa-T---IXT+1)+k=TV+19

323312!J33!由此可猜想

=_i_+1a=JL.]

对u=2,3,4,…都成立.用数学归纳法只需证明若"一的成立，

[+]

则an+i=(C也成立即可.事实上，由(n+l%+产an+n可得

rrr=rrn^!*/F=亓'即系数匕附的递推公式对

任何后2成立.从而基级数

工犷=2+2一£(1.炉=2+2­£/£丁

zn

n・0…2'”!R«2•/1=2

工尸。1

=i*x+♦欠+Vx°=e1+-------•

n\二、1-x

即和函数S(x)=e*+J-.xG(-IJ).

1-X

知识点解析：暂无解析

2

IT-/4-x-j^dxdy)

16、计算二重积分*其中D是由x24-y2=l的上半圆与x?+y2=2y的

下半圆围成的区域.

标准答案：因区域D关于y轴对称，小一/一:为偶函

1-2，-/4-x2-y^dxdy

数.5出对D|,D2引入极坐标

(r,ff)[()Wd&£,OWrW2sind}

Jy/4-x2-y^dxdy=j：呵v^4-r2rdr=-yj^\/4-•y-dr2

s—，4—-d(4-/)

•年(4-小I'冬r

6310ys

g/4-x2-/dxdy=「呵："’4—Jr"=J；dg[「"4-Jd(4-r2)]

O2°°°

.

=--yj[(4-4sin2^)T-8]d8

=--j-J(8co«3^-8)d8="ir-

所以“2伍一告♦在-同好(4-⑸一箓

知识点解析：暂无解析

［xf(x)dx,巴尹/f(x)dx.

17、设f(x)在［a,b］上连续且单调增加，试证：J*2

标准答案：引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性

方

法).

令尸（x）=/：ya）d<-宁/?（<）市，*

尸(动=M(x)--yj7(l)d：=字f(x)-yj/(<)dt

=-/（，）］&NO（*e［a,6］）

=F（x）单调不减，故F（x）NF（a）=O（xe［a,6］）

特别有F（6）"O,gpj\x/（i）d*N^y^J/（x）dx.

【证明】要证（次"）dx?巴产（7（x）dx,即要证

/（学-审V"加

又/=J：（x-审）/（*）&=/：（*-卡/（的山+］二［一审y（z）dx.由积分中

值定理.，存在&e［a,^］，6e［展川，使

/=/（fi）［1（x-^y^）dx+/（^2）J空（，一^y-^）dx

=_"々）（亍丫♦/（七）（宁J=^^外力_/御）］

由f（x）单调增加J（&）。/（々），故/NO,得证.

知识点解析：暂无解析

«|+*2+*4=0.

2

（I）a*］♦ax3=0,

18、已知四元齐次方程组“2♦a〜4=°的解都满足方程式（n）

X］+X2+X3=O.①求a的值.②求方程组（I）的通解.

标准答案：①条件即（I）和（II）的联立方程组和（I）同解，也就是矩阵

I1011___.

„a0a20

B—a0a20的秩相等.

0a0a2

L,110J对B用初等行变换化阶梯形矩

阵，并注意过程中不能用第4行改变上面3行，以保证化得阶梯形矩阵的上面3行

是由A变来的.显然a=0时r（A）=l,r（B）=2,因此

II0

a0a2-1

B=

0a0a

111-1-

11

0-1

~00

a/0.00因为降0,所以

01/2

②A—♦01/21/2

r(A)=3.要使得r(B)使,a=l/2.-001/2

得(I)的通解：c(一1,-1,2,2)T,c任意.

知识点解析：暂无解析

19、已知A是3阶矩阵，ai，a2,是线性无关的3维列向量组，满足Aa产一

ai—3(X2—3(X3，Aa2=4ai+4a2+a3，Aa3=—*2ai+3as.①求A的特征值.②求A的

特征向量.③求A*—6E的秩.

标准答案：@>£P=(ai，a2,a3),因为四，a2,(13是线性无关，所以P是可逆矩

阵.AP=(Aaj,Aa2，Aa3)二(一ai-3a2—3a3，4cq+4a2+(x3,-2a)+3a3)

--14-2'

=(alta2,a3)-340.(此处用了矩阵分解)

—313•

--14-2'

记B=-340,则4尸=PS.即=6,4与日相似,特征值一样.

-313-

A♦1-42

IXE-»|=3A-40=(X-l)(X-2)(X-3).

3TA.得A的特

征值为1,2,3.②思路：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量.(如

果Bn=Mi，则P」APn=析,即A(Pn)=MPn).)对于特征值1：

-24-21ri0

B-E=-330-01*If

-3I2」L。00B的属于特征值1的特征向量(即(B—

E)x-0的非零解)为c(l,1,1)二q0.则A的属于特征值I的特征向量为

-34-2][40-r

8-2E-320*04-3•

。JB的属

c(ai+a2+a3)1,c^O.对于特征值2：-311」I。0

于特征值2的特征向量(即(B—2E)x=0的非零解)为c(2,3,3)T,c^O.则A的属

于特征值2的特征向量为c(2ai+3(X2+3a3)T,c邦.对于特征值3：

--44-21rio-r

H-3E-31o-01-19

o」B的属于特征值3的特征向量(即(B—

-3!oL。o

3E)x=0的非零解)为c(l,3,4)T,C#0.则A的属于特征值3的特征向量为

T

c(ai+3a2+4a3),c^O.③由A的特征值为I,2,3,|A|=6.于是A*的特征值为

6,3,2,A*—6E的特征值为0,—3,一

000-

于是A*-6E0-30tr(A*-6E)=2.

4.-00-4-

知识点解析：暂无解析

20、设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(x「y”(i,j=l,2),且

32j_

P(X=X2)=4»P｛Y=yi|X=X2)=3,P(X=Xj|Y=yi)=4,试求：(I)二维随机变

量(X,Y)的联合概率分布；(□)条件概率P｛Y二yj|X=xi｝,j=l,2.

标准答案：依题意，随机变量X与Y的可能取值分别为xi，X2与yi，y2,且

,2__j_i

444

P｛X=xi)=l-P｛X=x2)="'*又题设P[X=xi|Y=yi｝=,于是有

P(x=xi|Y=yi)=P｛x=xi),即事件｛X=