工程力学静力学和材料力学第4版－第12章+组合受力与变形杆件的强度计算

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学（静力学和材料力学）第二篇材料力学第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

工程上还有一些构件在复杂载荷作用下，其横截面上将同时产生两个或两个以上内力分量的组合作用，这些情形称为组合受力与变形。

组合受力与变形时，杆件的危险截面和危险点的位置以及危险点的应力状态都与基本受力与变形时有所差别。■斜弯曲■拉伸（压缩）与弯曲的组合

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学■弯曲与扭转的组合

■小结与讨论■斜弯曲第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

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产生斜弯曲的加载条件第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

★

叠加法确定横截面上的正应力

★最大正应力与强度条件

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产生斜弯曲的加载条件第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

当外力施加在梁的对称面(或主轴平面)内时，梁将产生平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面(或主轴平面)，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲(skewbending)。xyzFP主轴平面第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学xyz主轴平面

还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都作用在对称面(或主轴平面)内，但不是同一对称面(梁的截面具有两个或两个以上对称轴)或主轴平面内。FP1另一主轴平面FP2第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

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叠加法确定横截面上的正应力

yzOxyzFPyFPzFPαFPzFPy第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学在小变形的条件下，将斜弯曲分解成两个纵向对称面内(或主轴平面)的平面弯曲yzOMyMzxyzFPzFPyl第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

任意点A（x,y）的正应力:yzOMyMzxyzFPzFPylzyA第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学将两个平面弯曲引起的同一点应力的代数值相加第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

★最大正应力与强度条件

C

由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。C第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。C第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

在最大正应力作用点只有正应力作用，因此，斜弯曲时的强度条件与平面弯曲时完全相同，即下式依然适用：第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面或工字形截面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。

最大正应力叠加公式应用限制第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学？

对于圆截面，上述公式是否正确第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为，两个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最大压应力也不发生在同一点。yzxMyMz第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

对于圆截面，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴(也就是主轴)，所以当横截面上同时作用有两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，这一合矢量仍然沿着横截面的对称轴方向，合弯矩的作用面仍然与对称面一致，所以平面弯曲的公式依然适用。yzMyMzM第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学圆截面上的最大拉应力yzMyMzM第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学圆截面上的最大压应力

还可以证明，在斜弯曲情形下，横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。

斜弯曲情形下横截面上的中性轴第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学例题1

一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁。图中l=2m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力

＝160MPa

。起吊的重物的重量FP＝80kN，并且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角

＝5

。

试校核:吊车大梁的强度是否安全？第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：1.

首先，将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加

FPyFPyFPzFPz⊙第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

将FP分解为x和y方向的两个分力FPz和FPy，将斜弯曲分解为两个平面弯曲，

解：2.求两个平面弯曲情形下的最大弯矩FPyFPy第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学FPzFPz⊙FPyFPy解：3.

计算两个平面弯曲情形下的最大正应力

在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘各点承受最大压应力；下边缘各点承受最大拉应力。+++－－－中性轴第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学FPzFPz⊙解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力

在Mmax(FPz)作用的截面上，截面上角点a、c

承受最大拉应力；角点b、d

承受最大压应力。ca++db－－中性轴第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：3.

计算两个平面弯曲情形下的最大正应力cdabFPy+++－－－cdabFPz++－－cdabFPz⊙FPy

两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力；角点b承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：3.

计算两个平面弯曲情形下的最大正应力cdab

两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力；角点b承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。这两点的最大正应力数值相等，即

解：3.计算两个平面弯曲情形下的最大正应力其中l=4m，FP=80kN，

=5

。另外从型钢表中可查到32a热轧普通工字钢的Wz=70.758cm3，Wy=629.2cm3。将这些数据代入上式得到因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：4.

讨论如果令上述计算中的

＝0，也就是载荷FP沿着y轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项变为0。于是梁内的最大正应力为

这一数值远小于斜弯曲时的最大正应力。

可见，载荷偏离对称轴(y)一很小的角度，最大正应力就会有很大的增加，这对于梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁的侧面斜方向起吊的原因。

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学■拉伸（压缩）与弯曲的组合

当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。xyzFP2FP1第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致，这种情形称为偏心加载。这时，如果将纵向力向横截面的形心简化，在杆件的横截面上就会产生轴力和弯矩。

xyzFPexyzFPFPe第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

危险截面

在梁的横截面上同时产生轴力和弯矩的情形下，根据轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面以及危险截面上的轴力FN和弯矩Mmax。第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

危险点xyzFPxyzFPe----++--xyzFPeFP第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

轴力FN引起的正应力沿整个横截面均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时产生压应力：

弯矩Mmax引起的正应力沿横截面高度方向呈线性分布：

应用叠加法，将二者分别引起的同一点的正应力相加，所得到的应力就是二者在同一点引起的总应力。

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学由于轴力FN和弯矩Mmax的方向有不同形式的组合，因此横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。

式中，M＝FPe；e为偏心距；A为横截面面积。第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学xyzFPeFP最大正应力点的强度条件与弯曲时相同，即第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学例题2钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为D＝140mm，内、外径之比d／D＝0.75。铸铁的拉伸许用应力为35MPa，压缩许用压应力为90MPa。钻孔时钻头和工作台面的受力如图所示，其中FP＝15kN，力FP作用线与立柱轴线之间的距离(偏心距)e＝400mm。

试校核：立柱的强度是否安全？

FPFPe第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学FPFPemmMzxyFNmme

解：1.确定立柱横截面上的内力分量

FN＝FP＝15kNMz＝FP×e＝6kN.m第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学FP

立柱产生拉伸与弯曲组合变形。所有横截面的危险程度是相同的。根据轴力FN和弯矩Mz的实际方向，横截面上右侧的b点承受最大拉应力横截面上左侧的a点承受最大压应力

解：2.确定危险截面并计算最大应力MzxyFPmmeFPabFN＝FP＝15kNMz＝FP×e＝6kN.m第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：2.确定危险截面并计算最大应力

这表明立柱的最大拉伸应力点和最大压缩点的强度都是安全的。

MzxyFPmmeFPab第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学<35MPa30.38<90MPa例题3

已知：开口链环由直径d＝12mm的圆钢弯制而成，其形状如图所示。链环的受力及其他尺寸均示于图中。

求：

1．链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；

2.中性轴与截面形心之间的距离。第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：

l．计算直段部分横截面上的最大拉、压应力

将链环从直段的某一横截面处截开，根据平衡，截面上将作用有内力分量FN和Mz。得到FN＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m＝12N·m由平衡方程C第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

轴力FN引起的正应力在截面上均匀分布，其值为FN＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m

＝12N·m解：

l．计算直段部分横截面上的最大拉、压应力

C第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

弯矩Mz引起的正应力沿y方向线性分布。最大拉、压应力分别发生在A、B两点，其绝对值为FN＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m

＝12N·m解：

l．计算直段部分横截面上的最大拉、压应力

C第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

将上述两个内力分量引起的应力分布叠加，便得到由载荷引起的链环直段横截面上的正应力分布。FN＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m＝12N·m解：

l．计算直段部分横截面上的最大拉、压应力

CCNC第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

从图中可以看出，横截面上的A、B二点处分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为解：

l．计算直段部分横截面上的最大拉、压应力

CCNC第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

令FN和Mz引起的正应力之和等于零，即

解：

2．计算中性轴与形心之间的距离

其中，y0为中性轴到形心的距离。于是，由上式解出CN第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学■弯曲与扭转的组合

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危险点及其应力状态★

计算简图★

强度条件与设计公式第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

借助于带轮或齿轮传递功率的传动轴，工作时在齿轮的齿上均有外力作用。

将作用在齿轮上的力向轴的截面形心简化便得到与之等效的力和力偶，这表明轴将承受横向载荷和扭转载荷。用轴线受力图代替原来的受力图。这种图称为传动轴的计算简图。第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学★

危险点及其应力状态第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

对承受弯曲与扭转共同作用的圆轴进行强度设计，一般需画出弯矩图和扭矩图（剪力一般忽略不计），并据此确定传动轴上可能的危险面。因为是圆截面，所以当危险面上有两个弯矩My和Mz同时作用时，应按矢量求和的方法，确定危险面上总弯矩M的大小与方向。

OxzyMxMyMzOxzyMxMyMzM第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

根据截面上的总弯矩M和扭矩Mx的实际方向，以及它们分别产生的正应力和剪应力分布，即可确定承受弯曲与扭转作用的圆轴的危险点及其应力状态。微元截面上的正应力和剪应力分别为

xzyMxMO危险点

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学★

强度条件与设计公式第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学危险点应力状态的主应力

因为承受弯曲与扭转作用的圆轴一般由韧性材料制成，故可用最大剪应力准则或畸变能密度准则作为强度设计的依据。于是，得到强度条件：

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学应用第三强度理论应用第四强度理论将

和

的表达式代入上式，并考虑到WP＝2W，便得到

第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

电动机的功率P＝9kW，转速n＝715r／min，带轮的直径D＝250mm，皮带松边拉力为FP，紧边拉力为2FP。电动机轴外伸部分长度l＝120mm，轴的直径d＝40mm。若已知许用应力[

]＝60MPa，例题4

试求：用最大剪应力准则校核电动机轴的强度。

2FPFPdDl第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：1．计算外加力偶的力偶矩以及皮带拉力

电动机通过带轮输出功率，因而承受由皮带拉力引起的扭转和弯曲作用。根据轴传递的功率、轴的转速与外加力偶矩之间的关系，作用在带轮上的外加力偶矩为

2FPFPdDl第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学根据作用在皮带上的拉力与外加力偶矩之间的关系，有于是，作用在皮带上的拉力

2FPFPdDl第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：2．确定危险面上的弯矩和扭矩

将作用在带轮上的皮带拉力向轴线简化，得到一个力和一个力偶，即

dDlFRM第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：2．确定危险面上的弯矩和扭矩

轴的左端可以看作自由端，右端可视为固定端约束。由于问题比较简单，可以不必画出弯矩图和扭矩图，就可以直接判断出固定端处的横截面为危险面，其上之弯矩和扭矩分别为dDlFRM第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：3．

应用最大剪应力准则所以，电动机轴的强度是安全的。第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学

圆杆BO，左端固定，右端与刚性杆AB固结在一起。刚性杆的A端作用有平行于y坐标轴的力FP。若已知FP＝5kN，a＝300mm，l=500mm,材料为Q235钢，许用应力

＝140MPa。例题5

试求：分别用最大剪应力准则和畸变能密度准则设计圆杆BO的直径d。

AyzxOBDalFP解：1．将外力向轴线简化

将外力FP向BD杆的B端简化，得到一个向上的力和一个绕x轴转动的力偶:FP＝5kN，Me＝FP×a＝1500N·mFPyzxOBFPAyzxOBDal第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：2．确定危险截面以及其上的内力分量

BO杆相当于一端固定的悬臂梁，在自由端承受集中力和扭转力偶的作用，同时发生弯曲和扭转变形。yzxOBFP第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学yzx解：2．确定危险截面以及其上的内力分量

不难看出，BO杆的所有横截面上的扭矩都是相同的，弯矩却不同，在固定端O处弯矩取最大值。因此固定端处的横截面为危险面。此外，危险面上还存在剪力，考虑到剪力的影响较小，可以忽略不计。

FQyzxOBFP第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：2．确定危险截面以及其上的内力分量

因此固定端处的横截面为危险面。危险面上的扭矩和弯矩的数值分别为弯矩

Mz＝FP×b＝5kN×103×500mm×10－3

＝2500N·m，扭矩

Mx＝Me＝FP×a＝5kN×103×300mm×10－3＝1500N·myzxFQ第12章组合受力与变形杆件的强度计算工程力学解：3．确定危险点及其应力状态

弯矩

Mz＝FP×b＝5kN×103×500mm×10－3

＝2500N·m，扭矩

Mx＝Me＝F