工程力学静力学和材料力学第4版－第7章+梁的弯曲（1）－弯曲内力

第7章梁的弯曲（1）——弯曲内力工程力学（静力学和材料力学）第二篇材料力学■

工程中的弯曲构件■

剪力方程和弯矩方程■

剪力图与弯矩图■小结与讨论工程力学■工程中的弯曲构件

工程力学

杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。工程力学FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。

ABFP工程力学梁的力学模型（1）工程力学“玻璃人行桥”从科罗拉多大峡谷南端的飞鹰峰延伸出来，长约21米，距离谷底约1220米。桥道宽约3米，两边由强化玻璃包围。这座桥是悬臂式设计，即U形一端用钢桩固定在峡谷岩石中，另一端则悬在半空。大自然中的悬臂梁

独根草，多年生草本植物，长12至28cm，具粗壮的根状茎，生长在山谷和悬崖石缝处，中国特有植物。工程力学梁的力学模型（2）

简支梁ABl固定铰支座辊轴支座工程力学工程中可以看作梁的杆件很多工程力学梁的力学模型（3）ABC固定铰支座辊轴支座外伸端l1l2外伸梁（一端外伸）ABCD固定铰支座辊轴支座外伸端外伸端l1l3l2外伸梁（两端外伸）工程力学工程中可以看作梁的杆件很多工程力学工程中可以看作梁的杆件很多工程力学■

剪力方程和弯矩方程工程力学

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梁横截面上的内力分量

——剪力和弯矩工程力学FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)工程力学梁横截面上的内力分量：剪力和弯矩。总体平衡与局部平衡的概念FP2FP1M1q(x)FP4FP3FP5M2q(x)FQMM'F'Q工程力学FP1M1FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)xxFQMxyO工程力学

★剪力、弯矩的正负号规则工程力学剪力、弯矩的正负号规则

规定剪力、弯矩正负号的原则仍然是：同一处横截面两侧的剪力具有同一正负号，同为正或同为负；弯矩也如此。工程力学FQFQ规定剪力正负号的原则FP2FP1FP4FP3M1M2工程力学FQFQFQFQ＋○－○剪力的正负号规则使截开部分产生顺时针转动趋势的剪力为正。使截开部分产生逆时针转动趋势的剪力为负。工程力学MM规定弯矩正负号的原则FP2FP1FP4FP3M1M2工程力学弯矩的正负号规则工程力学MM++－－++－－使截开的横截面下侧受拉、上侧受压的弯矩为正。＋○弯矩的正负号规则工程力学MM++－－++－－使截开的横截面上侧受拉、下侧受压的弯矩为负。－○

在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。

对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。

研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。工程力学描述内力分量变化的两种方法：1.确定变化区间；数学方程——剪力方程与弯矩方程；2.图形——剪力图与弯矩图。两种描述方法都要：2.遵循确定的正负号规则。工程力学

所谓剪力、弯矩变化区间，是指在这一区间内，剪力或弯矩可以用同一数学方程或同样的图线表示。

剪力弯矩的变化区间工程力学FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)FP1M1FP1M1FQMFQM工程力学

某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡

在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化.

剪力弯矩的变化区间工程力学FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)

当梁上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化区间也将发生变化。

所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。

工程力学

剪力、弯矩变化区间的端点，称为控制面。据此，下列截面均可为控制面：

■

集中力作用点的两侧截面；

■

集中力偶作用点的两侧截面；

■

均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。

控制面

确定了控制面就确定了函数与图形的变化区间！工程力学控制面FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)

确定了控制面就确定了控制区间！工程力学★

应用力系简化方法确定梁横截面上的剪力和弯矩工程力学

将力系简化方法用于确定控制面上的剪力和弯矩FPaaFQ=FPM=FPaFPFPFPa简化的直接结果简化的间接结果FQ=FPM=FPaM=FPaFQ=FPFP工程力学

将力系简化方法用于确定控制面上的剪力和弯矩简化的直接结果简化的间接结果将外力向与外力在同一侧的截面简化，得到的是外力，内力与之大小相等、方向相反。

将外力向与外力不在同一侧的截面简化，得到的就是这一截面上的内力。工程力学FQ=FPM=FPaM=FPaFQ=FPFP例题1

悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl的作用。梁的全长为2l。

试用力系简化方法确定指定截面上的剪力和弯矩。FPllABCMO=2FPlD工程力学FPMB=0FQ=FPFPllABCMO=2FPlDllABCMO=2FPlDllABCMO=2FPlABCDMB=FPlFQ=FPFP工程力学FPllABCMO=2FPlFA=FPMA=0DFPllABCMO=2FPlABCDFPllABMO=2FPlABCDMA=0FA=FPFQ=FPMC=FPlFQ=FPFQ=FP工程力学★

剪力方程与弯矩方程工程力学工程力学所谓剪力方程与弯矩方程就是描述剪力与弯矩沿杆长方向变化的表达式FS(x)和M(x)其中x为横截面的位置坐标。FP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)xOy建系分段每一段表达式支座反力工程力学

建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。

需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。工程力学简支梁承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为l。

试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。

例题2lBAq工程力学解：1．确定约束力支座A的水平约束力等于零。梁的结构及受力都是对称的，故支座A与支座B处铅垂方向的约束力相同。平衡方程求得：

lBAqFRAFRB工程力学Oyx解：2．确定控制面和分段

因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。

3．建立Oxy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系，

lBAqFRAFRB工程力学

解：4．确定剪力方程和弯矩方程

对于坐标为x的截面，将其左侧的均布载荷和约束力向右侧简化，得到该截面上的剪力方程和弯矩方程：xFRAqFRBl－xqxFRAxFRAqxqx2/2FQ(x)M(x)OyxlBAqFRAFRB工程力学■

剪力图与弯矩图工程力学

绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和M-x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。工程力学第二种方法是：先在FQ-x和M-x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，因而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。

OFSxlBAqql/2ql/2OMx-ql/2ql/2再分析例题2

试画出：该梁的剪力图和弯矩图。

问题：弯矩图上有没有极值点？极值点的位置和数值如何确定？工程力学

绘制剪力图和弯矩图的三要点

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控制面决定图形的位置。

★

决定图形的形状。

★

极值点至关重要。工程力学

应用力系简化的方法确定控制面上的剪力和弯矩。

由剪力和弯矩方程类型或载荷之间微分关系。

对于抛物线的弯矩图，判断有没有极值点，极值点在哪里?极值点的弯矩值怎样确定。■小结与讨论工程力学★

弯矩、剪力与载荷集度之间的微分关系工程力学将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到

xOyxlBAqFRAFRB工程力学这个规律是否具有一般性呢？

第一式和第三式等号右边的q前面有正负号：向上的均布载荷，载荷集度q前为正号；向下的均布载荷，载荷集度q前为负号。工程力学

根据相距dx的两个横截面截取微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：

工程力学

剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明工程力学FQMM+dMq(x)dxFP2FP1FP4FP3FP5M1M2q(x)dxx考察微段的受力与平衡CFQ+dFQΣFy=0:ΣMC=0:

考察微段的受力与平衡工程力学FQMM+dMq(x)dxCFQ+dFQ0略去高阶项，得到

此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。

上述微分关系，也说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。工程力学FQMM+dMq(x)dxCFQ+dFQ剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度；弯矩图在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。

工程力学

若一段梁上没有分布载荷作用，即q＝0，则该段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。

如果一段梁上作用有均布载荷，即q＝常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。工程力学

弯矩图二次抛物线的凸凹性与载荷集度q的正负有关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正方向一致；当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，

凸的方向与M坐标正方向一致。

工程力学xMOxMO?请注意：凸凹方向与M坐标取向有关工程力学xMOxMO?请注意：凸凹方向与M坐标取向有关工程力学

当弯矩图为二次抛物线时，要特别关注抛物线有没有极值点？以及极值点的位置。（剪力FQ＝0处）工程力学图形形状：

三个微分关系确定图形的形状；图形位置：

分段点上的剪力和弯矩确定图形的位置；极值点：

对于作用有分布载荷的梁段,极值点至关重要。

剪力图与弯矩图绘制要点工程力学有均布载荷q作用：剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。没有均布载荷q作用：剪力图为水平直线；弯矩图为斜直线。图形形状工程力学定性分析案例1分几段？各段剪力图的形状？各段弯矩图的形状？要不要先求支座反力？工程力学分段点处的剪力和弯矩数值确定图形的位置。图形位置大多数情形下需要首先确定约束力，保证大小和方向完全正确（悬臂梁可以不求约束力）；应用力系简化的方法确定分段点上剪力和弯矩的大小与方向，确保正确无误。根据外力（包括载荷以及约束力——支座反力）作用点确定分段点；工程力学lqABCl分段点上剪力的大小与正负号？画出剪力图。分段点上弯矩的大小与正负号？分几段？画出弯矩图。例题4工程力学lqABClOxFSOxM同学们注意到什么？2.弯矩图有突变，怎么突变，增大还是减小？1.集中力偶作用处剪力图有突变吗？集中力偶作用点处弯矩突变——突变的数值等于外加集中力偶的力偶矩数值。工程力学例题5已知：简支梁。解：求：利用微分关系作剪力图和弯矩图。(1)求支反力(2)坐标系(3)确定控制面(4)计算控制面的FQ和M(5)连线xFQx工程力学

作剪力图xFQx

作弯矩图aaqqa