考研数学（数学三）模拟试卷356

考研数学（数学三）模拟试卷356

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

设正数列师）满足也Io**=则极限.史丁

A、e

B、I

C、0

1

D、T

标准答案：B

又但（…1仲=1,小声一。=1

知识点解析：因此.史4=1•故应选（B）.I'

x00,

/⑴=I-

2、设函数*0,

*=°双陵=0是心）的

A、可去间断点.

B、跳跃间断点.

C、第二类间断点.

D、连续点.

标准答案：B

注意li『J=♦8,|加e：=0

<_*®*I.

我们可得

呷/⑺=lim―!—=o

I*I+.iu

1+e*

叱/（4）=lim—L--

i…l.jI*0-1

知识点解析:因此按间断点分类的规定T=°是〃*）的跳跃间断点,应选（R）.

3、设有函数f](x)=IInxI,f2(x)」n**2*"f3(x)=x3—3x2+x+l,£4(x1=I

x-1+lnxI,则以(1,0)为曲线拐点的函数有

A、1个.

B、2个.

C、3个.

D、4个.

标准答案：D

知识点解析：首先©(1)=0,i=l,2,3,4,说明点(1,0)都在曲线上.由IInxI

ri()J-4.r---JL।

的图形容易判断(1，0)是fl(x)的拐点八x=*2一2=*2+'令

f2"(x)=o,X=l(X=-1不在定义域内),由于f2”(x)在X=1的左、右异号，故(1,0)是

,2nM

f2(x)的拐点.f3(x)=3x—6x+l,f3(x)=6(x-1),f3(l)=0,又f3”(x)在x=l左右

异号,故(1，0)是f3(x)的拐点.对弓(x)求导比较麻烦,我们可以由g(x)=x—1+lnx

来讨论.gX可知g(X)T，又/，故g(x)的图形

上凸，当x€(0,1)时g(x)V0,当x£(l,+00)时g(x)>0,所以R(x)=Ig(x)I的图

形以(1,0)为拐点.综上所述，应选(D).

4、设，，y^=x2*xy+y2,则fx'(l,1)=

A、1.

B、0.

C>-I.

1

D、爹

标准答案：D

知识点解析：

先求出/(),)的表达式.为此令"=xy,v=

从而解得x=*L,y=丁2-•代人眶设中

1♦V1+V

/‘人」)=加」)|仙=(R'L「

5、设A是mxn矩阵，且方程组Ax=b有解，则

A、当Ax=b有唯一解时，必有m=n.

B、当Ax二b有唯一解时，必有r(A尸n.

C、当Ax=b有无穷多解时，必有mVn.

D、当人乂也有无穷多解时，必有r(A)Vm

标准答案：B

知识点解析：_

方程组Ax=方有唯一解or(A)=r(A)=A的列数，所以(R)正确,注意方程组有

唯一解不要求方程的个数m和未知数的个数n必须相等.可以有m>n.例如

产+y=0,

x-y=I.

2x-2y=2,

方程组A*=b有无穷多密or(4)=r(A)<A的列数.

当方程组杓无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩r(A)必小

于方程的个数,例如

%+y=1，，

(X♦V+Z=1.

y-z=2.

3%+3y=3

6、下列矩阵中不能相似对角化的是

11r11r123'112'

(A)022.(B)222.(C)012・(D)123

■003--333--001--233-

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

AoA有几个线性无关的特征向成.记(C)项的矩阵为C,由

A-1-2-3

IAE-C|=A-I-2=(A-I)3,

A-1

可知矩阵C的特征值为4=1(三重根),而

0-2-3-

r(E-C)=r00-2=2,

■000■

那么n-r(E-C)=3-2=1.说明齐次线性方程组(E-C)x=0只有一个线性无关的解，亦

即入=I只有一个线性无关的特征向量，所以(C)不能对角化.故选(C).

7、设事件A,B,C是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为Q,则下列

结论中一定成立的是

(A)屋瓦5是一个完备事件组.(B)，丐£两两独立.

(C)AU8与Zu万独立.(D)彳，瓦万是两两对立事件・

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

从UB=48=0=a而任何事件与概率为1的事件都独立,因此应选（C）.

进一步分析,由于AU8UC=〃,若CW。，则AU65=4u0,即I与*相

容；若。=0,则］=〃,但4与8不能都是必然事件Q,故屋》不能都是不可能事件0,即屋瓦

^不会两两互不相容.它们不能构成一个完备事件组•也不能两两对立,即选项（A）、（D）均不正

确.其实,用文氏图判断（A）、（D）不正确.更是一目了然.乂因A.HX两两互不相容,于是有

产38）=P（AC）=P（BC）=0,只要4,8,C中有两个事件的概率大于零.A,8,C就不可能两两

独立.因此也不能选（B）.

8、设亍和亍是取自同一正态总体岬，的两个相互独立且容量相同的简单随机

样本的两个样本均值，则满足PUG-'I>环W8°5的最小样本容量

n=___________

A、4.

B、8.

C、12.

D、24.

标准答案：B

知识点解析：__

因总体服从正态分布用（从。2）,则亍-7~M0-乎）/~河。」）•且

P\\x-Y\>al=p｛耍!G/1>器?卜。.05.

于是JF彳I%,nN2x1.962=7,6832.

故最小样本容址n=8.选（B）.

二、填空题（本题共6题，每题7.0分，共6分。）

9、已知级数£皆与反常积分广叱以均收敛，则常数P的取值范围是

标准答案：0VpV2.

知识点解析：由于"4砂是交错级数，只要p>0就符合莱布尼兹判别法的要

求，因而收敛，而当阵0时，该级数的通项不趋于零，所以一定发散.又对于

(

J。e”2)*dx来说，直接计算即可知：p<2时收敛，pN2时发散.两者结合即得上

述答案.

10、若由曲线2〃及曲线某点处的切线方程与两条直线x=l,x=3围成的平面区

域的面积最小，则该切线方程为.

y=与+0.

标准答案：万

知识点解析：

田形如右图

过曲线y=2不上的点(与,2月)处的切线方程为

>-2A=

Vxo

从而y-+

J%

由于切线总在曲线y=2，■的上方，故由曲线、切线及x=1,x=3所围图形面积为

由此口J见=2时,面积S最小•此时切线方程为

y-X

1

11、若一条二次曲线把(一8,0)内的曲线段y=e>和(1,+8)内的曲线段'二；连接

成一条一阶可导的曲线，则定义在［0,1］上的这条二次曲线为.

标准答案：y=-x2+x+l.

eM,x<Q

则/(x)=a/♦版*J°《1

11

知识点解析：设二次曲线为y=ax?+bx+c'I•『'『由

f(x)的连续性,在点x=0处有e°=c,则c=l；在点x=l处有a+b+c=l,可知

a+b=O.由可导性f+，(O)=b,f「(0尸e°=l,故由f+，(0尸f7(0)得b=l,a二一1,所以二

次曲线为y=—x2+x+l.

12、由于折旧等因素，某机器转售价格P⑴是时间K周)的减函数

4e'兀:其中A是机器的最初价格，在任何时间I,机器开动就能产生

/-

4e的利润，则使转售出去总利润最大时机器使用的时间t=

周.(In2yo.693)

标准答案：333.

知识点解析：假设机器使用了t周后出售，在时间[3t+叫内机器开动产生的利润

LAt-[•©-""th.

于是总收益为

/(1)=竽。一

为由广("引-好犷'令r(t)=o,得

t=961n32M33.当l〈961n32时，f(t)>0；当t>961n32时，f(t)<0,故机器使用

了333周后转售出去总利润最大.

■2I0'■850•

42=110."530

00-32」，那么矩阵人=

13、已知-004-

110■

100

标准答案：,00-2-

知识点解析:

由于4(^)2=故A=[(A2)2]-*A5=[(A2)-1]^5.

-1o-

「20

20

而(A2)0

1

L。000

4■

10-2-30-

850-850-

-10-350

所以A530530

1

000-3200J-00-32-

416

10

100

-00-2

A40

注意]­

0:「d0Br=

本题中计算出［：；］，［：V]一更简捷一些.

/6）=-pfi-(«♦!)8

14、设随机变量X的密度函数为h则Y=-2X+3

服从的分布是___________.

标准答案：N（5,2）

由‘⑴咤e"”—!~^才（却，可知人用（・］,与

后；I2/

知识点解析:J2丫二一

2X+3仍服从正态分布，且EY=-2EX+3=5DY=4DX=2,所以Y〜N(5,2).

三、解答题（本题共9题，每题分，共9分。）

f(1+4)d"£>-1)

15、设F(x)」。,求P(x)(x>—1,x，0)并讨论F，(x)在

(-1,+8)上的连续性.

标准答案：先将F(x)转化为变限积分，令s=xl,则

F(x)=—J(1——jln(1+s)ds=—Jln(1+s)ds—yjsln(1+s)ds,①

尸(彳)+s)d$♦—ln(l♦x)♦4//,n(1+$)山-yln(l+x)

=—yjln(1+j)ds+n(1+$)ds(x

下面讨论尸(》)的连续性.因ln(l+$)当s>-1时连续，于是由②式及变限

积分的连续性与连续性运算法则知当X>-1且x/0时尸(”)连续.余下只需再求r(o)并考

察广(z)在点*=0处的连续性.

注意"0)=0,且

limF(x)lim-fln(I-►s)<h-lim4rf«ln(1+s)d$

0<-*oxJ0*-*ox2J0

0

T1

*•,、…4Iimln(1+x)-lim-xln(l+x)=0=F(0),

洛必述法则w-o2X

从而F(z)在点*=0处连续.乂

limFr(x)=£=^^=limj—yjln(1+s)ds]

sln(1+s)ch

i2.121

=-limT-ln(1♦x)+lim--*ln(1+x)=——+-r-=-7-.

>-u)2x.­0U236

于是F'(o)=!,因此lim尸(x)=r(o),r(x)在点x=o处连续.

63―o

这就证明了尸(外在(-1,+8)上连续.

知识点解析：暂无解析

16、抛物线y=x2上任意点(a,a2)(a>0)处引切线L|,在另一点处引另一切线L2,

Lz与L］垂直.⑴求L］与L2交点的横坐标xi；(口)求1］,L2与抛物线y=x?所围

图形的面积S(a)；(HI)问a>0取何值时S(a)取最小值.

抛物线y=X2在点（a,a?）处的切线为

Lj：y=a2+2a（x-a）,即y=2ax-a2.

另一点（6,从）处的切线为

G：>=b2+26（x-6）.即y=2bx-b\

由%与G垂直=26=-[,b=-

它们的交点（勺,力）满足

c2..■2

2aX]-a二2bxi-b,勺=---•

于是x'=T（a-£）-

由X1的表达式知尹|-6=a-Xj=>

S（Q）=,（…。'於d（。-J/

求导解1ft值问题.由

s«）=+（。+-白）

<0,0<a<

=+（。4）=（病-+）"a=T*

〜=小时S(°)取最小值.

知识点解析：暂无解析

/(«.r)=

17、设函数口，，<］，计算二重积分%.其

中D={(x,y)Ix2+(y-l)2<l}.

标准答案：如图所示，没在直线y=l下方的部分记为Di，在y=l上方的部分记为

D2,且D2在y轴右侧的部分记为D2',于是

/==Jldo+J(IXI+x)yda

0DlDt

=手+0I*Iyd<r=Y+zyd"

&D'I

母小丁rcosb,ninO•rdr)d8

16sin40-------Icosdsindd^

W♦殖sin®

16sin,-----)d(sin^)

中4(sin外

=+sin+-I-T+—11

fT(T^d^)l212

知识点解析：暂无解析

x-tint/—W

18、作自变量替换I2，、2),把方程

(1—3)♦(2-2-x)半+,=21

d^变换成y关于t的微分方程，并求原方程

的通解.

先求

dy=dydt_=1dy

dxdfdx/dt'

2，1乎=2%，

即

dxQt

再将①求导,得

去

de1

(1&+也.

即

“ymrde短

将①代人"

dx2axd产

将②，③代入原方程得

一.2学”・2.加《.

标准答案：⑴dt2或(口)求解二阶常

系数线性方程④.相应的特征方程产+2入+1=0,有重根入=一1.非齐次方程可设

特解y*=Asint+Bcost,代入⑷得一(Asint+Bcost)+2(Acost一

Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint,即Acost—Bsint二sinl,比较系数得A=0,B=-l.即

y*(t)=—cost,因此④的通解为y=(Ci+Cit)e-t-cost.(ID)原方程的通解为

y=(Cl+Cjarcsinx)©-^-J\-/,

其中sin2(arcsinx)+cos2(arcsinx)=1,cos(arcsinx)=.

知识点解析：暂无解析

,(/(x)dx=0

19、设函数f(x)在区间［0,4］上连续，且九,求证：存在年(0,4)便得

f0+f(4—9=0.

标准答案：用反证法来证明本题.由题设f(x)在［0,4］上连续即知f(4一x)在［0,

4］上连续,从而其和f(x)+f(4—x)也在［0,4］上连续.若不存在年(0,4)使f《)+f(4

一4)=0,则f(x)+f(4—x)或在(0,4)内恒正，或在(0,4)内恒负，于是必有

f［/(*)+/(4-x)］dx#0.

Jo

但是=0用换元x=4-.可得J：/(4-t)dt=0,于是5［/(幻+/(4-x)］d«=0,由

此得出的矛盾表明必存在fw(0.4)使得/(f)+/(4-f)=0.

知识点解析：暂无解析

20、设A是11阶反对称矩阵，⑴证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇

数时.，A*是对称矩阵；(II)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；(HI)证明：如

果入是A的特征值，那么一入也必是A的特征值.

标准答案：⑴按反对称矩阵定义：AT=—*A,那么IAI=IATI=|—AI=(-

l)nIAI,即[1—(-l)n]IAI=0.若n=2k+L必有IAI=0.所以A可逆的必

要条件是n为偶数.因人丁二一A,由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(Ab*=(一A)".又因

(kA)*二武/二故当n=2k+l时，有(A*)T=(—I/AJA",即A*是对称矩阵.(口)

ooor

0000

A=

0000

例如，L-lo00」是4阶反对称矩阵，且不可逆.(HI)若九是A的特征

值，有IXE—AI=0,为|$么I-XE-A1=1(-XE-A)TI=I-XE—ATI=I-入E+AI

=I一(入E-A)I=(-l)nIXE-AI=0,所以一人是A的特征值.

知识点解析：暂无解析

■1-1-a

A=2a-2

21、已知L-a"I1L求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对

角化的条件.

标准答案：由矩阵A的特征多项式

IA-11aA+a-11a

jkE-A|=-2A-a2=0A-a2

a1A-1入+a-l1A-1

A♦a-11a

=0A-a2=(A+a-l)(A-a)(A-a-1),

00A-a-1

得到A的特征值是A1=1-a,A2=a.A3=a+1.

I'

由[(1-a)E-A]x=0.-20

a0-

得到属于儿=1-a的特征向量是,=却(1,0,1)、A1/0.

得到属于42=。的特征向限是a2=।-2a,l)丁，玲妙0.

-212

由[(a+l)E-A]x-0,a+20a-2

000

T

得到属于43Ha+1的特征向量7=k5(2-a,-4a,a+2),lc3射0.

如果A,.A2,A)互不相同，即-a'a+l,aya+l,即a/f•且a40,则矩

降人有3个不同的特征值.A可以相似对角化.

若a=/•即%=%=•,此时4只有一个线性无关的特征向量,故4不能相似对角化.

若a=0,即入=入3=1,此时从只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化.

知识点解析；的无解析

2

22、设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(5，yj)(i,j=l,2),且P{X=X2l=7,

2±

P{y=yi|X=X2}=§,p{X=xiIY=yi}=N试求：⑴二维随机变量(X,Y)的联合

概率分布；(II)条件概率P{Y=*IX=xi}，j=l,2.

标准答案：(I)因X与Y独立，所以有

P｛y=九｝=PIr=/!IX=X2|»y.

P\Y=y2i=I-Fir=yj=y；

PX=%I,Y=y(l=尸|刀=x||PIy=i=4••春=!•

4JO

=勺，丫=y21=P\X=X)|PIy=r2i=+•/=4・

P|X=，2八力I=P\X=xJPir=y,|=y-y=y.

3ii

P\X=x2,y=y2|=P\X=t2|P|y=y2|=：,；=：.

或产"=%，丫=力|=1=,

''F0"nJ/"T/T4

于是(>,y)的联合概率分布为

X力71P\X=x,|

111

々%.1

6124

1I3

xiT4~T

2