2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=12−A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）在正△ABC中，向量AB→在ACA．12BC→ B．12AB→3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝6，sinA=14，则A．π6或5π6 B．π3或2π3 C．4．（5分）某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该商场这个月所有销售员销售额的平均数为（）A．7.05万元 B．6.95万元 C．7.25万元 D．6.85万元5．（5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥γ，则β∥γ D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β6．（5分）某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据x1，x2，x3，⋯，x9，后来复查数据时，又将x3，x9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，AD＝4，则该四棱锥外接球的表面积为（）A．34π B．234π C．34π8．（5分）已知四边形ABCD的顶点都在半径为2的圆O上，且AD经过圆O的圆心，BC＝2，CD＜AB，四边形ABCD的面积为3+3，则ABA．2 B．3 C．22 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=1A．P(B)=13 B．C．P(B∪C)=712 D．P（B∩（多选）10．（6分）已知复数z满足z2﹣z+1＝0，则（）A．|z|＝1 B．z=12−32i（多选）11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝32，AA1=7，点P在线段A1C1A．9740 B．54 C．2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）复数z=2+2i1−i的虚部为13．（5分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，A1B114．（5分）已知O是△ABC的外心，若AO→⋅BC→=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量a→（1）若a→⊥(a（2）若向量c→=(−3，−2)，a→∥(b16．（15分）某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105]六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[85，95），[95，105]内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[95，105]内的概率；（3）若规定质量在[95，105]内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．17．（15分）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完．已知甲、乙、丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是12（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；（2）求乙通过初赛的概率；（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率．18．（17分）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由点A对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记（P，Q；M）=|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记（P，Q；M）=−|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（1）若AD是角A的平分线，且b＝3c，由点A对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；（2）若A＝60°，a＝4，AB⊥AD，由点A对BC施以视角运算，（B，C；D）＝2﹣23，求△ABC的周长．19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB＝AD＝8，PA＝6，平面PBC⊥平面PAC，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD．（2）证明：BC⊥AC．（3）若二面角C﹣PB﹣A的正切值为533，求三棱锥C﹣

2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=12−A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】D【分析】利用复数的几何意义求解．【解答】解：复数z=12−i2（i故选：D．2．（5分）在正△ABC中，向量AB→在ACA．12BC→ B．12AB→【考点】平面向量的投影向量．【答案】C【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，|AB故向量AB→在AC→方向上的投影向量为：故选：C．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝6，sinA=14，则A．π6或5π6 B．π3或2π3 C．【考点】利用正弦定理解三角形．【答案】A【分析】由正弦定理可得sinB的值，再由角B的范围，可得角B的大小．【解答】解：a＝3，b＝6，sinA=1由正弦定理可得asinA即31可得sinB=1因为b＞a，B∈（0，π），所以B=π6或故选：A．4．（5分）某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该商场这个月所有销售员销售额的平均数为（）A．7.05万元 B．6.95万元 C．7.25万元 D．6.85万元【考点】频率分布直方图的应用．【答案】B【分析】根据平均数的概念即可求解．【解答】解：根据题意可得所求平均数为：4×1+5×2+6×4+7×7+8×3+9×2+10×120故选：B．5．（5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥γ，则β∥γ D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【答案】D【分析】根据空间中各要素的位置关系逐一判断即可．【解答】解：若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，∴A选项错误；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ可以成任意角，∴B选项错误；若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥γ，但没说明m与n是否相交，则β∥γ不一定成立，∴C选项错误；若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，∴D选项正确．故选：D．6．（5分）某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据x1，x2，x3，⋯，x9，后来复查数据时，又将x3，x9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数【考点】极差．【答案】C【分析】根据题意，由平均数，中位数，极差以及众数的定义，即可判断．【解答】解：平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将x3，x9重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，所以极差一定不变，众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变．故选：C．7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，AD＝4，则该四棱锥外接球的表面积为（）A．34π B．234π C．34π【考点】球的表面积．【答案】C【分析】根据分割补形法可得该四棱锥外接球的球心直径2R即为补形后长宽高分别为3，4，3的长方体的体对角线，从而利用长方体的体对角线公式，即可求解．【解答】解：根据题意可得：该四棱锥外接球的球心直径2R即为补形后长宽高分别为3，4，3的长方体的体对角线，∴（2R）2＝32+42+32＝34，∴该四棱锥外接球的表面积为34π．故选：C．8．（5分）已知四边形ABCD的顶点都在半径为2的圆O上，且AD经过圆O的圆心，BC＝2，CD＜AB，四边形ABCD的面积为3+3，则ABA．2 B．3 C．22 D．【考点】解三角形．【答案】C【分析】连接OC、OB，可得△BCO是等边三角形，∠BOC＝60°，然后根据S四边形ABCD＝S△OCD+S△OBC+S△OAB，利用三角形面积公式与三角恒等变换公式，化简得到sin（∠AOB+30°）＝1，由此求出∠AOB，进而算出AB的值．【解答】解：连接OC、OB，因为OC＝OB＝r＝2，BC＝2，所以△BCO是等边三角形，∠BOC＝60°．设∠AOB＝α，则∠COD＝120°﹣α，S四边形ABCD＝S△OAB+S△OBC+S△OCD＝3+3即12OA•OBsinα+12OB•OCsin60°+12OC•OD结合OA＝OB＝OC＝OD＝2，可得2sinα+3+2sin（120°﹣α）＝3+3，即2sinα所以2sinα+2（32cosα+12sinα）＝3，整理得3sinα+3cosα＝3，可得2由此可得sin（α+30°）=32，结合60°＜α＜120°，可知α+30°＝120°，因此，∠AOB＝90°，可得Rt△ABO中，AB=2OA=2故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=1A．P(B)=13 B．C．P(B∪C)=712 D．P（B∩【考点】互斥事件的概率加法公式．【答案】ACD【分析】利用互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：事件A，B，C两两互斥，若P(A)=1∴P（B）＝P（A∪B）﹣P（A）=815−P（C）＝P（A∪C）﹣P（A）=920−P（B∪C）＝P（B）+P（C）=13+P（B∩C）＝0，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）已知复数z满足z2﹣z+1＝0，则（）A．|z|＝1 B．z=12−32i【考点】复数的相等．【答案】AD【分析】根据题意，由条件可得z=1【解答】解：∵z2﹣z+1＝0，则(z−12)则|z|=(12当z=12+当z=12−32z+1=32±32z−2=−32±32故选：AD．（多选）11．（6分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝32，AA1=7，点P在线段A1C1A．9740 B．54 C．2【考点】几何法求解直线与平面所成的角．【答案】AB【分析】根据线面角的定义，结合垂直关系，转化为求BP的最值，再结合选项判断．【解答】解：连接AC，因为CC1⊥平面ABCD，CC1⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面ABCD，且ACC1A1∩平面平面ABCD＝AC，过点P作PQ⊥AC，连接BQ，则PQ⊥平面ABCD，∠PBQ为PB与平面ABCD所成线面角，因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以A1C1∥AC，且A1C1⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，所以PQ=AA连接BA1，BC1，BA1=B因为BA1＝BC1，当点P是A1C1的中点时，BP⊥A1C1，此时BP最短，BP=B点P在A1或C1时，BP最长，最大值为5，所以sin∠PBQ=PBBP∈[所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值可能为9740或故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）复数z=2+2i1−i的虚部为【考点】复数的除法运算．【答案】2．【分析】直接利用复数的运算求出结果．【解答】解：由于z=2+2i1−i=2(故答案为：2．13．（5分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，A1B1【考点】棱台的体积．【答案】1123【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可．【解答】解：在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，R，Q分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，RQ四棱台的高，过点D1作D1P∥RQ与BD交于点P，则RQ＝PD1，因为四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，且A1则BD=42+则PD=BD2−所以PD即四棱台的高h＝4，又上底面积S＝2×2＝4，下底面积S'＝4×4＝16，则该四棱台的体积为V=1故答案为：112314．（5分）已知O是△ABC的外心，若AO→⋅BC→=【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】π3【分析】取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的定义将AO→⋅BC【解答】解：取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，如图：因为O是△ABC的外心，所以OD⊥AB，OE⊥AC，设△ABC中∠A，∠B，∠C对应边分别为a，b，c，则AO=(AE=AE同理可得CO→因为AO→所以12根据余弦定理得：cosB=a当且仅当a＝c时等号成立，因为函数y＝cosx在（0，π）为减函数，且B∈（0，π），所以内角B的最大值是π3故答案为：π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量a→（1）若a→⊥(a（2）若向量c→=(−3，−2)，a→∥(b【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．【答案】（1）52（2）55【分析】（1）根据题意，先求出a→−b→的坐标，由向量垂直的判断方法可得a→•（a→−b→（2）设a→与b→夹角为θ，由向量平行的判断方法求出x的值，可得【解答】解：（1）根据题意，向量a→则a→−b若a→⊥(a→−b→)，则解可得x=3则b→=（2，32），故|b（2）根据题意，设a→与b→夹角为若向量c→=（﹣3，﹣2），则b→若a→∥（b→+c→），则1×（x则b→故cosθ=a即a→与b→夹角的余弦值为16．（15分）某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105]六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[85，95），[95，105]内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[95，105]内的概率；（3）若规定质量在[95，105]内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．【考点】频率分布直方图的应用；百分位数．【答案】（1）73.75g；（2）35（3）0.1164．【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的60%分位数．（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率．（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，样本数据在[45，65）的频率为0.18+0.21＝0.39，在[45，75）的频率为0.63，则样本数据的60%分位数x∈（65，75），于是0.39+（x﹣65）×0.024＝0.6，解得x＝73.75，所以样本数据的60%分位数约为73.75g．（2）样本数据在[85，95）内的产品被抽取的件数为0.090.06+0.09×5=3，记为A，B，样本数据在[95，105]内的产品被抽取的件数为0.060.06+0.09×5=2，记为a，则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），共10种，其中标准样例中恰有1件产品的质量在[95，105]内的情况有6种．所以标准样例中恰有1件产品的质量在[95，105]内的概率为610（3）依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为0.006×10＝0.06，则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为1﹣0.94×0.94＝0.1164．17．（15分）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完．已知甲、乙、丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是12（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；（2）求乙通过初赛的概率；（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】（1）14；（2）78；（3）【分析】（1）根据题意，甲第二次答题通过初赛，即甲第一次没有通过初赛，根据相互独立事件的概率知识可解；（2）利用对立事件知识可解；（3）计算出甲、乙、丙每人通过初赛的概率为78，未通过的概率为1【解答】解：（1）根据题意，甲第二次答题通过初赛，即甲第一次没有通过初赛，则P（A）＝（1−12）（2）设乙通过初赛为事件B，对立事件为乙最终没有通过初赛，即乙连续三次答题错误，则P（B）＝（1−12）×（1−12）×（1则P（B）＝1﹣P（B）＝1−1（3）因为甲、乙、丙每人通过初赛的概率为78，未通过的概率为1则可设甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件C，则P（C）=718．（17分）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由点A对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记（P，Q；M）=|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记（P，Q；M）=−|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（1）若AD是角A的平分线，且b＝3c，由点A对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；（2）若A＝60°，a＝4，AB⊥AD，由点A对BC施以视角运算，（B，C；D）＝2﹣23，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【答案】（1）13；（2）4+2【分析】（1）依题意可得∠BAD＝∠DAC，再结合新定义的运算法则，求解即可；（2）根据所给定义及条件得到b=3+12c，再在△ABC中，利用余弦定理求出【解答】解：（1）因为AD是角A的平分线，所以∠BAD＝∠CAD，且D在线段BC上，所以（B，C；D）=|AB|sin∠BAD又b＝3c，所以（B，C；D）=1（2）由题意知，D在线段BC外，且∠BAC=60°，∠DAC=30°，所以（B，C；D）=−|AB|sin∠BAD|AC|sin∠CA