2023-2024学年内蒙古呼和浩特十四中高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年内蒙古呼和浩特十四中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）在等差数列{an}中，a3＝13，a9＝1，则a4＝（）A．8 B．9 C．10 D．112．（5分）设两个正态分布N(μ1，A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ23．（5分）设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B（2，p），若P（X≥1）=59，则D（A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11＝12，则2a9﹣a11的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．125．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4﹣a2＝12，a3﹣a1＝6，则S6A．665 B．2 C．9 D．6．（5分）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）＝（）A．23 B．59 C．127．（5分）设点P是函数f（x）＝2ex﹣f'（0）x+1图像上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，3π4) C．(π2，8．（5分）小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款．已知月利率为1%，按复利计算，则小华每期付款金额约为（）（参考数据：1.015≈1.05，1.016≈1.06，1.017≈1.07）A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（多选）9．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．x＝c时，f（x）取得极大值 B．x＝d时，f（x）取得最小值 C．f（a）＜f（b）＜f（c） D．f（e）＜f（d）＜f（c）（多选）10．（5分）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法（多选）11．（5分）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+P（χ2≥xα）0.100.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.828A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20，b的值为45 C．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级有关系” D．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系”（多选）12．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a4＝12，S14＞0，S15＜0，则下列结论正确的是（）A．a7＜0 B．−24C．S7＝84 D．设{Snn}的前n项和为Tn，则T三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）在数列{an}中，a1=−14，an=1−1a14．（5分）(x2−15．（5分）一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X，则E（X）＝．16．（5分）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f（x）＝2x3﹣9x2+12x．（1）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，3]上的值域．18．（12分）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病．已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立．现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：方案甲：逐个检查每位体检人的血液；方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束．（1）哪种化验方案更好？（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用．19．（12分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，a2是a1，a5的等比中项，b3﹣a3＝3，b1＝2a1．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．20．（12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x（单位：℃）与反应结果y之间的关系如下表所示：x2468y30405070（1）求化学反应结果y与温度x之间的相关系数r（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10℃时反应结果大约为多少．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线y=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为b参考数据：7≈2.64621．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1（1）证明数列{1an}（2）若数列{bn}满足bn=(2n+1)2⋅an⋅a22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：f(x)≤−3

2023-2024学年内蒙古呼和浩特十四中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）在等差数列{an}中，a3＝13，a9＝1，则a4＝（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】等差数列的通项公式．【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合a4＝a3+d，即可求解．【解答】解：因为等差数列{an}中，a3＝13，a9＝1，所以公差d=a所以a4＝a3+d＝11．故选：D．2．（5分）设两个正态分布N(μ1，A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】A【分析】根据正态分布的性质即可得解．【解答】解：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：x＝μ是正态分布曲线的对称轴；σ反应的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图象可得μ1＜μ2，σ1＜σ2．故选：A．3．（5分）设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B（2，p），若P（X≥1）=59，则D（A．4 B．5 C．6 D．7【考点】n重伯努利试验与二项分布．【答案】A【分析】由X～B（2，p），P（X≥1）=59，求出p=13，从而X～B（2，13），由此能求出D（X），利用D（Y【解答】解：∵随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B（2，p），P（X≥1）=5∴P（X＝0）＝1﹣P（X≥1）=C解得p=13，∴X～B（2，∴D（X）＝2×1∴D（Y）＝9D（X）＝9×4故选：A．4．（5分）已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11＝12，则2a9﹣a11的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12【考点】等差数列的性质．【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a3+a6+a8+a11＝12，∴4a7＝12，解得a7＝3．设等差数列{an}的公差为d，则2a9﹣a11＝a7＝3．故选：B．5．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4﹣a2＝12，a3﹣a1＝6，则S6A．665 B．2 C．9 D．【考点】等比数列的前n项和．【答案】C【分析】由已知结合等比数列的性质先求出公比q，然后结合等比数列的求和公式可求．【解答】解：因为等比数列{an}中，a3﹣a1＝6，a4﹣a2＝（a3﹣a1）q＝12，所以q＝2，则S6故选：C．6．（5分）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）＝（）A．23 B．59 C．12【考点】条件概率．【答案】B【分析】确定基本事件的个数，即可求出P（N|M）．【解答】解：事件M为“两次所得点数均为奇数”，则事件为（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）；N为“至少有一次点数是5”，则事件为（1，5），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），所以P（N|M）=5故选：B．7．（5分）设点P是函数f（x）＝2ex﹣f'（0）x+1图像上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，3π4) C．(π2，【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】B【分析】在f′（x）中令x＝0后可求f′（0）＝1，再根据导数的取值范围可得tanα的范围，从而可得α的取值范围．【解答】解析：∵f（x）＝2ex﹣f'（0）x+1，∴f'（x）＝2ex﹣f'（0），∴f'（0）＝2﹣f'（0），f'（0）＝1，∴f（x）＝2ex﹣x+1，∴f'（x）＝2ex﹣1＞﹣1，∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，∴tanα＞﹣1，∵α∈[0，π），∴α∈[0，π故选：B．8．（5分）小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款．已知月利率为1%，按复利计算，则小华每期付款金额约为（）（参考数据：1.015≈1.05，1.016≈1.06，1.017≈1.07）A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】C【分析】设小华每期付款金额为x元，第n期付款后欠款为An（n＝1，2，3，4，5，6）元，根据已知条件，依次写出A1，A2，A3，⋯，A6，结合A6＝0及等比数列的前n项和公式即可求解．【解答】解：设小华每期付款金额为x元，第n期付款后欠款为An（n＝1，2，3，4，5，6）元，则A1＝5000×（1+1%）﹣x＝5000×1.01﹣x，A2A3⋯A6因为A6＝0，所以5000×1.016﹣（1.015+1.014+1.013+1.012+1.01+1）x＝0，即x=5000×1.0所以小华每期付款金额约为883元．故选：C．二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（多选）9．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．x＝c时，f（x）取得极大值 B．x＝d时，f（x）取得最小值 C．f（a）＜f（b）＜f（c） D．f（e）＜f（d）＜f（c）【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】ACD【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，再由极值和最值的含义进行判断即可．【解答】解：结合导函数的图像可知，f（x）在（a，c）上单增，则f（a）＜f（b）＜f（c），C正确；在（c，e）上单减，则f（e）＜f（d）＜f（c），D正确；由于f（e）＜f（d），显然f（d）不是最小值，B错误；又f（x）在（a，c）上单增，（c，e）上单减，则x＝c时，f（x）取得极大值，A正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【考点】排列组合的综合应用．【答案】CD【分析】根据排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．【解答】解：A中A4B中A3C中A4D中A4综上可得：CD正确．故选：CD．（多选）11．（5分）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+P（χ2≥xα）0.100.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.828A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20，b的值为45 C．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级有关系” D．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系”【考点】独立性检验．【答案】BC【分析】由成绩优秀的概率求出成绩优秀的人数和非优秀人数，即可得出b，c的值，根据χ2≈6.109与附表中的数据对比，即可得解．【解答】解：因为在105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27所以成绩优秀的人数为105×2非优秀人数为105﹣30＝75，所以c＝30﹣10＝20，b＝75﹣30＝45，A错，B正确；因为χ2≈6.109＞3.841＝x0.05，所以依据α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”，故C正确，D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a4＝12，S14＞0，S15＜0，则下列结论正确的是（）A．a7＜0 B．−24C．S7＝84 D．设{Snn}的前n项和为Tn，则T【考点】等差数列的前n项和．【答案】BC【分析】由已知求得a8＜0，a7＞0，解公差为d的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可．【解答】解：∵S14＞0，S15＜0，∴14(a1+∴a7+a8＞0，a8＜0，∴a7＞0，故A错误，又∵a4＝12，即a1＝12﹣3d，∴a7+a8=S7=7(∵等差数列{an}的前n项和为Sn，∴Sn=na由Sn∴数列{Snn∵当n≤14时，Sn＞0，当n＞15时，Sn＜0，∴当n≤14时，bn＞0，当n＞15时，bn＜0，∴T27=b∵−24∴T28可能为正数，也可能为负数，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）在数列{an}中，a1=−14，an=1−1a【考点】数列递推式．【答案】见试题解答内容【分析】根据a1及递推公式计算可得结果．【解答】解：因为a1=−14，所以a2=1−1a1=1−1故答案为：5．14．（5分）(x2−12x【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】1516【分析】求出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：(x2−12x)6展开式的通项公式Tr+1=C6r（x2）令12﹣3r＝0，可得r＝4，所以(x2−12x)6故答案为：151615．（5分）一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X，则E（X）＝98【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】见试题解答内容【分析】利用超几何分布的期望公式求解．【解答】解：由题意可知，黑球数X服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布，则E（X）=nM故答案为：9816．（5分）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为0.014．【考点】全概率公式；古典概型及其概率计算公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】见试题解答内容【分析】记事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi（i＝1，2）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，利用全概率公式可求得结果；【解答】解：设事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi（i＝1，2）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，则P（B1）＝0.8，P（B2）＝0.2，P（A|B1）＝0.01，P（A|B2）＝0.03，由全概率公式可得：P（A）＝P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）＝0.01×0.8+0.03×0.2＝0.014，即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为0.014．故答案为：0.014．四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f（x）＝2x3﹣9x2+12x．（1）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，3]上的值域．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）y＝12x．（2）[0，9]．【分析】（1）求导得f′（x）＝6（x﹣2）（x﹣1），由导数的几何意义可得切线的斜率为f′（0）＝12，又f（0）＝0，由点斜式，即可得出切线的方程．（2）求导并令f′（x）＝0，分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，进而可得函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x2﹣3x+2）＝6（x﹣2）（x﹣1），f′（0）＝12，又f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣f（0）＝f′（0）（x﹣0），即y＝12x．（2）f′（x）＝6（x﹣2）（x﹣1），令f′（x）＝0得x＝1或2，所以在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（2，3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（0）＝0，f（1）＝5，f（2）＝4，f（3）＝9，所以f（x）值域为[0，9]．18．（12分）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病．已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立．现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：方案甲：逐个检查每位体检人的血液；方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束．（1）哪种化验方案更好？（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，求得X的取值，且5人都不患病的概率为（1﹣0.1）5＝0.59049，由P（X＝5）+P（X＝6）＝1，即可求得E（X），可得乙的平均检查次数不到5次，方案乙更好；（2）由方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，因此E（Y）＝100E（X），即可求得方案乙的平均化验费用．【解答】解：（1）方案甲中，化验的次数一多为5次．方案乙中，若记化验次数为X，则X的可能取值为1，6．因为5人都不患病的概率为（1﹣0.1）5＝0.59049，所以P（x＝1）＝0.59049，P（X＝6）＝1﹣0.59049＝0.40951，从而E（X）＝1×0.59049+6×0.40951＝3.04755，这也就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好；（2）若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E（Y）＝100E（X）＝304.755，即方案乙的平均化验费用为304.755元．19．（12分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，a2是a1，a5的等比中项，b3﹣a3＝3，b1＝2a1．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．【考点】错位相减法．【答案】（1）an＝2n﹣1，bn=2n；（2）Sn＝（2n【分析】（1）先根据题意建立方程组，从而解得a1，d，b1，再根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解；（2）根据错位相减法即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得a2∴(a1+d∴an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，bn（2）由（1）知anbn＝（2n﹣1）2n，∴Sn＝1•2+3•22+…+（2n﹣1）•2n，∴2Sn＝1•22+3•23+••+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，两式相减可得−S∴−Sn=2+2[22(1−∴Sn＝（2n﹣3）•2n+1+6．20．（12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x（单位：℃）与反应结果y之间的关系如下表所示：x2468y30405070（1）求化学反应结果y与温度x之间的相关系数r（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10℃时反应结果大约为多少．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线y=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为b参考数据：7≈2.646【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】（1）0.98；（2）y＝6.5x+15；（3）x与y之间是正相关，当温度达到10°C时反应结果大约为80．【分析】（1）根据表中数据，利用相关系数公式求解；（2）利用最小二乘法求解；（2）根据b的正负判断，再将x＝10代入回归直线方程求解．【解答】解：（1）由题意可得x=2+4+6+84=5，y=30+40+50+704因为相关系数r=i=1所以相关系数r=130根据参考数据7≈2.646可得是：r（2）根据（1）数据得b̂=i=1因此，回归直线方程为y＝6.5x+15；（3）∵b̂=6.5＞0，∴x与当x＝10时，ŷ