2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知Cn+1n−1=28A．5 B．6 C．7 D．82．（5分）某学校5个班分别从3个景点中选择一处游览，则不同选法的种数是（）A．35 B．53 C．A53 3．（5分）若随机变量X的分布列为X012P13ab且E（X）＝1，则b的值为（）A．13 B．0 C．12 4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2xf′（2）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．05．（5分）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同﹣部影片的选择共有（）A．9种 B．36种 C．38种 D．45种6．（5分）已知f(x)=14x2+cosx−1，f′(x)为f（xA． B． C． D．7．（5分）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”．后人称其为“赵爽弦图”．如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同．记事件A：“区域2和区域4颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则P（B|A）＝（）A．27 B．23 C．128．（5分）设a＝ln2，b＝1.09，c＝e0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在(2x−1A．常数项是﹣8064 B．第四项和第八项的系数相等 C．各项的二项式系数之和为1024 D．各项的系数之和为1024（多选）10．（6分）下列说法正确的是（）A．设A⊆B，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.8，则P（B|A）＝0.5 B．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%，第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则该件产品是合格品的概率是95.6% C．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，则E（2X﹣1）＝6 D．D（aX+b）＝a2D（x）+b（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有一个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）在（2x﹣y）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数是．13．（5分）某中学元旦晚会共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有种．（用数字作答）14．（5分）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34．在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求16．（15分）若(1−3x)（1）a0；（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|；（3）a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8．17．（15分）现有大小相同的8个球，其中2个标号不同的红球，3个标号不同的白球，3个标号不同的黑球．（结果用数字作答）（1）将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（2）将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？（3）若从8个球中任取4个球，则各种颜色的球都被取到的概率为多少？18．（17分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．19．（17分）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f（x）在x＝0处的[m，n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f（0）＝R（0），f′（0）＝R′（0），f″（0）＝R″（0），⋯，f（m+n）（0）＝R（m+n）（0）．（注：f″（x）＝[f′（x）]′，f′′′（x）＝[f″（x）]′，f（4）（x）＝[f′′′（x）]′，f（5）（x）＝[f（4）（x）]′，⋯；f（n）（x）为f（1）求实数a，b的值；（2）比较f（x）与R（x）的大小；（3）证明：∀n∈N

2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知Cn+1n−1=28A．5 B．6 C．7 D．8【考点】组合及组合数公式．【答案】C【分析】根据组合数的性质和计算公式，直接计算即可求解．【解答】解：由Cn+1n−1=28，得C整理得n2+n﹣56＝0，解得n＝7或n＝﹣8（舍去）．故选：C．2．（5分）某学校5个班分别从3个景点中选择一处游览，则不同选法的种数是（）A．35 B．53 C．A53 【考点】排列组合的综合应用．【答案】A【分析】根据题意，分析可得每个班都有3种选择，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，每个班都有3种选择，则5个班共有3×3×3×3×3＝35种不同选法．故选：A．3．（5分）若随机变量X的分布列为X012P13ab且E（X）＝1，则b的值为（）A．13 B．0 C．12 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】A【分析】由随机变量X的分布列的性质和数学期望公式得出答案．【解答】解：根据所给的分布列，可得13由E（X）＝1，可得E(X)=0×1解得a=b=1故选：A．4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2xf′（2）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．0【考点】基本初等函数的导数．【答案】D【分析】求导可得f′(x)=2f′(2)+1x(x＞0)，令x＝2求得f′(2)=−【解答】解：由f（x）＝2xf′（2）+lnx，得f′(x)=2f′(2)+1则f′(2)=2f′(2)+12，解得所以f′(x)=−1+1x，得故选：D．5．（5分）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同﹣部影片的选择共有（）A．9种 B．36种 C．38种 D．45种【考点】排列组合的综合应用．【答案】B【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解．【解答】解：从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，2部影片进行全排列，故共有C4故选：B．6．（5分）已知f(x)=14x2+cosx−1，f′(x)为f（xA． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象的变换；基本初等函数的导数．【答案】A【分析】求导可得f′(x)=12x−sinx，则f′（x【解答】解：由题意知，f′(x)=12x−sinx又f′(−x)=−12x+sinx=−f′(x)，所以f′（x又f′(π2)=结合选项，A符合题意．故选：A．7．（5分）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”．后人称其为“赵爽弦图”．如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同．记事件A：“区域2和区域4颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则P（B|A）＝（）A．27 B．23 C．12【考点】条件概率．【答案】C【分析】由已知，结合条件概率公式求解即可．【解答】解：事件A：“区域2和区域4颜色不同”即从5种颜色选出两种放入区域2和区域4，再从剩余的3种颜色选出一种放入区域5，剩余的区域1和区域3分别都有两种选择，即有A5AB事件有A5所以P(B|A)=P(AB)故选：C．8．（5分）设a＝ln2，b＝1.09，c＝e0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】A【分析】易得a＜b，a＜c，构造函数f（x）＝ex﹣x2﹣1，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可比较b，c的大小关系，即可得解．【解答】解：a＝ln2＜lne＝1＜b，c＝e0.3＞e0＝1＞a，令f（x）＝ex﹣x2﹣1，则f′（x）＝ex﹣2x，令g（x）＝ex﹣2x，则g′（x）＝ex﹣2，当x∈（﹣∞，ln2）时，g′（x）＜0，f′（x）单调递减，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，所以f′（x）≥f′（ln2）＝2（1﹣ln2）＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（0.3）＞f（0）＝0，即e0.3＞1.09，所以c＞b．综上，a＜b＜c．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在(2x−1A．常数项是﹣8064 B．第四项和第八项的系数相等 C．各项的二项式系数之和为1024 D．各项的系数之和为1024【考点】二项式定理．【答案】AC【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可判断AB；根据各项的二项式系数之和为2n，即可判断C；利用赋值法即可判断D．【解答】解：(2x−1x)A：令10﹣2k＝0，解得k＝5，所以常数项为(−1)52B：第四项为(−1)第八项为(−1)7210−7CC：C100+D：设f(x)=(2x−1x)10，则故选：AC．（多选）10．（6分）下列说法正确的是（）A．设A⊆B，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.8，则P（B|A）＝0.5 B．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%，第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则该件产品是合格品的概率是95.6% C．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，则E（2X﹣1）＝6 D．D（aX+b）＝a2D（x）+b【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；条件概率．【答案】BC【分析】根据事件包含关系及条件概率可判定A；根据全概率公式可判定B；求出随机变量X的分布列及数学期望，利用数学期望的性质可判定C；根据方差的性质可判定D．【解答】解：对于选项A，因为A⊆B，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.8，则AB＝A，即P（AB）＝0.4，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1对于选项B，设“B＝从混合产品中任取1件是合格品”，“A1＝从混合产品中任取1件是第一批产品“，“A2＝从混合产品中任取1件是第二批产品”，则P（A1）＝40%，P（B|A1）＝95%，P（A2）＝60%，P（B|A2）＝96%，所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝40%×95%+60%×96%＝95.6%，故B正确；对于选项C，抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，则X的可能取值为1，2，3，4，5，6，且P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝P（X＝4）＝P（X＝5）＝P（X＝6）=1所以E（X）＝（1+2+3+4+5+6）×1所以E(2X−1)=2E(X)−1=2×72−1=6对于选项D，D（aX+b）＝a2D（X），故D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有一个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】ABC【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D．【解答】解：A：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0得x＞33或x＜−33，令f′（所以f（x）在(−∞，−33)，(所以x=±33时取得极值，故B：因为f(−33)=1+23所以函数f（x）只在(−∞，−33)上有一个零点，即函数f（xC：令h（x）＝x3﹣x，该函数的定义域为R，h（﹣x）＝（﹣x）3﹣（﹣x）＝﹣x3+x＝﹣h（x），则h（x）是奇函数，（0，0）是h（x）的对称中心，将h（x）的图象向上移动一个单位得到f（x）的图象，所以点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C正确；D：令f′（x）＝3x2﹣1＝2，可得x＝±1，又f（1）＝f（﹣1）＝1，当切点为（1，1）时，切线方程为y＝2x﹣1，当切点为（﹣1，1）时，切线方程为y＝2x+3，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）在（2x﹣y）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数是10．【考点】二项式定理．【答案】10．【分析】利用二项式展开式定理把（x+y）5展开，再由所求的对象可判断含x3y3项，从而可计算出系数．【解答】解：由二项式展开式定理可得：(2x−y)(x+y)所以含x3y3项的一定是：2x⋅C故答案为：10．13．（5分）某中学元旦晚会共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有2160种．（用数字作答）【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】2160．【分析】先排丙不能排在最后一位的可能性结果，结合对称性分析求解．【解答】解：因为丙不能排在最后一位，则编排方案共有A6又因为甲、乙处于对称位置，即节目甲排在乙的前面与节目乙排在甲的前面数量相等，所以该晚会节目演出顺序的编排方案共有43202故答案为：2160．14．（5分）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是(1e【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】(1【分析】由已知分析函数f′（x）＝2（axlna﹣ex）至少应该两个变号零点，对其再求导f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，分类讨论0＜a＜1和a＞1时两种情况即可得出结果．【解答】解：对原函数求导f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，当a＞1时，易知f″（x）在R上单调递增，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1＞x2，不满足题意；当0＜a＜1时，易知f″（x）在R上单调递减，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且x0此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1＜x2，故仅需满足f′（x0）＞0，即：elna＞elogae(lna)2⇒解得：1e＜a＜e，又因为0＜a综上所述：a的取值范围是(1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34．在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】分布列详见解析，2518，149【分析】由题意可得，乙投篮的次数ξ所有可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列，并结合期望和方差公式，即可求解．【解答】解：由题意可得，乙投篮的次数ξ所有可能的取值为0，1，2，P（ξ＝0）=13×13=19，P（ξ＝1）ξ012P1712E（ξ）=0×1D（ξ）=(0−2516．（15分）若(1−3x)（1）a0；（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|；（3）a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8．【考点】二项式定理．【答案】（1）1；（2）65536；（3）3072．【分析】（1）利用赋值法，令x＝0即可求解，（2）在（1+3x）8中令x＝1即可求解，（3）求导后赋值即可求解．【解答】解：（1）令x＝0得a0＝1；（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|等于（1+3x）8的展开式的各个项系数的和，令x＝1代入（1+3x）8，则|a（3）令f(x)=(1−3x)则f′（x）＝8×（1﹣3x）7×（﹣3）＝﹣24×（1﹣3x）7，且f′(x)=a令x＝1，则f′（1）＝﹣24×（1﹣3×1）7＝3072，且f′（1）＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8，所以a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8＝3072．17．（15分）现有大小相同的8个球，其中2个标号不同的红球，3个标号不同的白球，3个标号不同的黑球．（结果用数字作答）（1）将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（2）将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？（3）若从8个球中任取4个球，则各种颜色的球都被取到的概率为多少？【考点】古典概型及其概率计算公式；排列组合的综合应用．【答案】（1）432；（2）2880；（3）914【分析】（1）先把相同颜色的球看成一个整体，排3种不同的颜色的球，再各自排红色、白色、黑色的球；（2）先把除黑球外的5只球，结合插空法即可求解；（3）满足要求的事件为必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个，结合古典概型的概率公式计算即可求解．【解答】解：（1）把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色的排法有A32只不同的红球的排列有A22，3只不同的白球的排列有A故不同的排列的总数为A2（2）先把除黑球外的5只球全排列，共有A5再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡，有A4故共有A5（3）从8个球中任取4个球共有C8取4只球，若各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个，故不同的取法总数为C2所以各种颜色的球都被取到的概率为P=4518．（17分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）＝alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min＝g（e﹣2）＝e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=−1e2−1，（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，∵e2x＞0，ex＞0∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex+12）（ex令f′（x）＝0，解得：x＝ln1a当f′（x）＞0，解得：x＞ln1a当f′（x）＜0，解得：x＜ln1a∴x∈（﹣∞，ln1a）时，f（x）单调递减，x∈（ln1综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln1a）是减函数，在（ln1（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于ex和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln1a）是减函数，在（ln1∴f（x）min＝f（ln1a）＝a×（1a2）+（a﹣2）×∴1−1a−ln1a设t=1a，则g（t）＝lnt+t﹣1，（求导g′（t）=1t+∴t=1a＞∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，∵e2x＞0，ex＞0∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex+12）（ex令f′（x）＝0，解得：x＝﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x＝﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（﹣lna）＝1−1a−当a＝1，时，f（﹣lna）＝0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1−1a−ln1a＞故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1−1a−ln1a＜由f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e