2023-2024学年山西省大同一中高二(上)第一次月考数学试卷(9月份)

2023-2024学年山西省大同一中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．经过两点的直线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知向量＝（1，2，﹣1），＝（2，m，n），且，则m+n＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．43．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0，则“l1∥l2”是“a＝3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是（）A．5x+y﹣2＝0 B．x﹣5y﹣16＝0 C．5x﹣y﹣8＝0 D．x+5y+14＝05．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且AA1＝3，则A1C的长为（）A． B． C． D．6．已知直线：l1：y＝ax+3与l2关于直线y＝x对称，l2与l3：x+2y﹣1＝0平行，则a＝（）A． B． C．﹣2 D．27．过定点A的直线（a+1）x﹣y+2＝0与过定点B的直线x+（a+1）y﹣4a﹣2＝0交于点P（P与A、B不重合），则△PAB面积的最大值为（）A． B． C．2 D．48．已知四面体ABCD中，AD＝2，，∠BCD＝120°，直线AD与BC所成的角为60°，且二面角A﹣CD﹣B为锐二面角．当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．8π二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．下列说法正确的有（）A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则（k，b）在第二象限 B．直线kx﹣y﹣2k+3＝0必过定点 C．过点（2，﹣1），且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为﹣2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝﹣2x±3（多选）10．已知第一象限内的点P（a，b）在直线2x+2y﹣1＝0上，则（）A． B． C． D．lna+lnb≥﹣4ln2（多选）11．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的球心为O，E、F分别为棱AB、CC1的中点，G在棱BC上，则（）A．对于任意点G，OA∥平面EFG B．存在点G，使得平面OAD⊥平面EFG C．直线EF被球O截得的弦长为 D．过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为（多选）12．“奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（）A．直线AD与平面DEF所成的角为 B．直线CF∥平面ADE C．异面直线AD与CF所成的角的余弦值为 D．球上的点离球托底面DEF的最大距离为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点P（2，﹣3），且横、纵截距互为相反数的直线方程是．14．已知，空间直角坐标系xOy中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0．经过点P（x0，y0，z0）且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x﹣2y+2z+1＝0，直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．16．将一张坐标纸折叠一次，使得点（﹣3，4）与点（﹣4，a）重合，点（﹣1，2）与点重合，则a﹣b＝．四、解答题（本题共6小题，共70分）17．求经过直线l1：2x﹣y+4＝0和直线l2：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程．（1）与直线x﹣4y+4＝0垂直；（2）到原点的距离等于1．18．已知空间中的三点P（﹣2，0，2），M（﹣1，1，2），N（﹣3，0，4），设，．（1）若与互相垂直，求k的值；（2）求点N到直线PM的距离．19．过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．（1）求|OA|•|OB|的最小值，及此时直线l的截距式方程；（2）求|PA|•|PB|的最小值，及此时直线l的截距式方程．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠ABC＝，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点（1）若G是线段PC的中点，试证明EG∥平面PAD；（2）已知直线AG与平面AEF所成角为45°．①若△PEG和△PBC的面积分别记为S1，S2，试求的值；②求三棱锥的P﹣EFG体积．21．如图，MON是某景区的瀑布群，已知tan∠MON＝﹣，点Q到直线OM，ON的距离均为2，现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸交道路ON于点B．（1）求|OQ|；（2）当|OA|+|OB|取得最小值时，求tan∠BAO．22．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，现将△ADC