2023-2024学年陕西省汉中市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，1}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x≤1} B．{﹣2，﹣1，1} C．{﹣1，1} D．{x|﹣1≤x≤1}2．（5分）在复平面内，复数2−iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知向量a→=(λ，−3)，b→=(−3，1)，若A．﹣9 B．1 C．﹣1 D．94．（5分）函数f(x)=4x+A．2x﹣y+3＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x+2y﹣11＝0 D．x﹣2y+9＝05．（5分）设函数f(x)=|log2x|−1，x＞02A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝6，D为B1B的中点，则A1B与C1D所成角的余弦值为（）A．1313 B．136 C．130267．（5分）已知tanα＝2，则sinα+cosαsinα(1+sin2α)A．−56 B．−52 C．8．（5分）已知点P在抛物线M：y2＝8x上，过点P作圆C：（x﹣4）2+y2＝1的切线，若切线长为26，则点P到MA．7 B．6 C．5 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（）A．这30名学生测试得分的中位数为6 B．这30名学生测试得分的众数与中位数相等 C．这30名学生测试得分的极差为8 D．这30名学生测试得分的平均数比中位数大（多选）10．（6分）已知函数f(x)=3cos(2x−πA．π2是f（x）的一个周期B．f（x）的图象关于点(−π12C．f(x−π6D．f（x）在区间[−π（多选）11．（6分）若(2x−1)9A．a0＝1 B．|aC．a0，a1，a2，⋯，a9中，a5最大 D．a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝4，c＝6，A=π3，则△ABC外接圆的面积为13．（5分）椭圆C：x216+y27=1的两个焦点分别为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+50）+f（﹣x+50）＝2，若g（x）＝f（x）+sinπx，则i=199g(i)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知{ann2}是等比数列，且a1＝a（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和16．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+6lnx﹣m．（1）求f（x）的单调区间及极值点；（2）若方程f（x）＝0有三个不同的根，求整数m的值．（ln3≈1.09）17．（15分）某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是菱形，E是PA的中点．（1）证明：PC∥平面BDE．（2）若PA＝AB＝6，四棱锥P﹣ABCD的体积为72，且PF→=2FC→，求平面19．（17分）已知双曲线C：x2a2−y（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．

2023-2024学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，1}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x≤1} B．{﹣2，﹣1，1} C．{﹣1，1} D．{x|﹣1≤x≤1}【考点】求集合的交集．【答案】C【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，1}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，1}．故选：C．2．（5分）在复平面内，复数2−iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【答案】C【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数2−ii【解答】解：∵2−ii∴复数2−ii故选：C．3．（5分）已知向量a→=(λ，−3)，b→=(−3，1)，若A．﹣9 B．1 C．﹣1 D．9【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】D【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解，即得答案．【解答】解》因为向量a→=(λ，−3)，b→所以λ×1＝（﹣3）×（﹣3），解得λ＝9．故选：D．4．（5分）函数f(x)=4x+A．2x﹣y+3＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x+2y﹣11＝0 D．x﹣2y+9＝0【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】B【分析】利用导数的几何意义结合题意直接求解即可．【解答】解：因为f′(x)=−4x2因为f（1）＝5，所以所求切线方程为y﹣5＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣7＝0．故选：B．5．（5分）设函数f(x)=|log2x|−1，x＞02A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】D【分析】分别判断函数在x＞0时以及x≤0时的零点个数，即得答案．【解答】解：当x＞0时，令|log2x|﹣1＝0，解得x＝2或x=1所以此时f（x）有2个零点；当x≤0时，令2x+x＝0，即2x＝﹣x，结合函数y＝2x，y＝﹣x的图象可知二者在x≤0时有1个交点，即此时f（x）有1个零点．综合可知，f（x）的零点个数为3．故选：D．6．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝6，D为B1B的中点，则A1B与C1D所成角的余弦值为（）A．1313 B．136 C．13026【考点】异面直线及其所成的角．【答案】D【分析】以A为坐标原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC，AA1所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1B与C1D所成角的余弦值．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝6，D为B1B的中点，以A为坐标原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC，AA1所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，6），B（3，1，0），C1（0，2，6），D（3，1，3），A1B→=（3，1，﹣6），设A1B与C1D所成角为θ，则A1B与C1D所成角的余弦值为：cosθ=|故选：D．7．（5分）已知tanα＝2，则sinα+cosαsinα(1+sin2α)A．−56 B．−52 C．【考点】求二倍角的三角函数值．【答案】D【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得．【解答】解：因为tanα＝2，所以sinα+cosα=1=ta故选：D．8．（5分）已知点P在抛物线M：y2＝8x上，过点P作圆C：（x﹣4）2+y2＝1的切线，若切线长为26，则点P到MA．7 B．6 C．5 D．4【考点】直线与抛物线的综合．【答案】C【分析】由已知结合直线与圆相切的性质及抛物线的定义即可求解．【解答】解：因为切线长为26，圆C依题意可得|PC|=1设P（x，y），则(x−4)解得x＝±3，因为y2＝8x≥0，所以x＝3，因为M的准线方程为x＝﹣2，所以点P到M的准线的距离为3﹣（﹣2）＝5．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（）A．这30名学生测试得分的中位数为6 B．这30名学生测试得分的众数与中位数相等 C．这30名学生测试得分的极差为8 D．这30名学生测试得分的平均数比中位数大【考点】中位数；众数；极差．【答案】ABC【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的定义，分别求出对应的值即可得到答案．【解答】解：这30名学生测试得分的中位数为5+62=5.5，故这30名学生测试得分的众数为5，故B错误；分数最高为10，最低为3，所以极差为7，故C错误；这30名学生测试得分的平均数为：2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×1030=179故选：ABC．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=3cos(2x−πA．π2是f（x）的一个周期B．f（x）的图象关于点(−π12C．f(x−π6D．f（x）在区间[−π【考点】余弦函数的对称性；余弦函数的单调性．【答案】BD【分析】直接根据余弦函数的性质一一判断即可．【解答】解：对于A：函数f（x）的最小正周期为2π2=π，故对于B：因为f(−π12)=3cos[2×(−π12)−π3]=0对于C：由于g（x）=f(x−π6)=3cos[2(x−π6)−π3]=3cos(2x−2π3对于D：当x∈[−π3，所以当2x−π3=0，即x=π6时，f故选：BD．（多选）11．（6分）若(2x−1)9A．a0＝1 B．|aC．a0，a1，a2，⋯，a9中，a5最大 D．a【考点】二项式系数的性质．【答案】BD【分析】利用赋值法计算判断ABD；求出偶数项的系数判断C．【解答】解：对于A，令x＝0，得a0=(−1)对于B，显然a1，a3，a5，a7，a9均为正数，a0，a2，a4，a6，a8均为负数，取x＝﹣1，得a0因此|a0|+|对于C，a1=C98a7=C92×27对于D，由x=12，得a0因此a1+a故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝4，c＝6，A=π3，则△ABC外接圆的面积为【考点】余弦定理；利用正弦定理解三角形．【答案】283【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出边a，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可求解．【解答】解：依题意，a2=b设△ABC外接圆的半径为R=2所以△ABC外接圆的面积为πR故答案为：28313．（5分）椭圆C：x216+y27=1的两个焦点分别为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△【考点】求椭圆的焦点和焦距．【答案】14．【分析】根据椭圆的方程求出a，b，c，然后根据椭圆的定义可求出△PF1F2的周长．【解答】解：由题意得：a＝4，b=7所以c=a所以|F1F2|＝2c＝6，由椭圆的定义得：|PF1|+|PF2|＝2a＝8，故△PF1F2的周长为：|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6＝14．故答案为：14．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+50）+f（﹣x+50）＝2，若g（x）＝f（x）+sinπx，则i=199g(i)【考点】抽象函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性．【答案】99．【分析】根据题意，分析可得g（100﹣x）+g（x）＝2，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+50）+f（﹣x+50）＝2，则有f（x）+f（100﹣x）＝2，而sin[π（100﹣x）]+sinπx＝sin（100π﹣πx）+sinπx＝0，故g（100﹣x）+g（x）＝f（x）+f（100﹣x）+sin[π（100﹣x）]+sinπx＝2+0＝2，令x＝50，可得g（50）+g（50）＝2，即g（50）＝1，故i=199g(i)=g（1）+g（2）+g（3）+……+g（99）＝g（1）+g（99）+g（2）+g故答案为：99．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知{ann2}是等比数列，且a1＝a（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【答案】（1）an＝n2•（14）n；（2）Sn＝2﹣（n+2）•（12）【分析】（1）由等比数列的定义，求得首项和公比，可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）由{ann2}是等比数列，且a1＝aa11=可得{ann2即有ann2=（即an＝n2•（14）n（2）an=n•（12可得Sn＝1•12+2•（12）2+3•（12）3+...+n•（12Sn＝1•（12）2+2•（12）3+3•（12）4+...+n•（1上面两式相减可得12Sn=12+（12）2+（12）3+...+（12）n=12(1−12n)1−12−n•（1即有Sn＝2﹣（n+2）•（12）n16．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+6lnx﹣m．（1）求f（x）的单调区间及极值点；（2）若方程f（x）＝0有三个不同的根，求整数m的值．（ln3≈1.09）【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值．【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3），极大值点为1，极小值点为3．（2）﹣8．【分析】（1）对已知函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间与极值点；（2）利用（1）中结论，方程f（x）＝0有三个不同的根，满足f(1)＞0，f(3)＜0，【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣8x+6lnx﹣m，所以f′(x)=2x−8+6令f′（x）＞0，得x＞3或0＜x＜1，令f′（x）＜0，得1＜x＜3，所以f（x）在（0，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．所以f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3），极大值点为1，极小值点为3．（2）由（1）知f（x）在（0，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．因为f（1）＝﹣7﹣m，f（3）＝6ln3﹣15﹣m，当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，且方程f（x）＝0有三个不同的根，所以f(1)=−7−m＞0，所以m的取值范围是（6ln3﹣15，﹣7），因为ln3≈1.09，所以6ln3﹣15≈﹣8.46，所以整数m的值为﹣8．17．（15分）某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；（2）记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【答案】（1）1724（2）分布列见解析，期望34【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得．（2）由（1）中信息，求出X的可能值，利用二项分布求出分布列及期望．【解答】解：（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率P1甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，概率P2所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为P1（2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为14X的可能取0，1，2，3，显然X～B(3，1则P(X=0)=(34)P(X=2)=C32所以X的分布列为：X0123P27642764964164期望E(X)=3×118．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是菱形，E是PA的中点．（1）证明：PC∥平面BDE．（2）若PA＝AB＝6，四棱锥P﹣ABCD的体积为72，且PF→=2FC→，求平面【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）90°．【分析】（1）连接AC，交BD于点O，利用线面平行的判定推理即得．（2）利用锥体体积计算判断菱形ABCD的形状，再建立空间直角坐标系，求出平面BDF与平面PCD的法向量，进而求出面面夹角．【解答】解：（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，由ABCD是菱形，得O为AC的中点，而E为AP的中点，则OE∥PC，OE⊂