2023-2024学年陕西省渭南市富平县高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省渭南市富平县高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知复数z＝3﹣4i，则|z|＝（）A．7 B．7 C．5 D．252．（5分）cos69°cos24°﹣cos159°sin24°＝（）A．22 B．2 C．5 D．3．（5分）若向量AB→=(−5，1)，BC→=(2，2)，CD→A．−13 B．13 4．（5分）若函数y＝tan（x+φ）（φ≥0）的图象与直线x＝2π没有交点，则φ的最小值为（）A．π B．π2 C．π45．（5分）如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．2+22 B．1+22 C．26．（5分）如图，在△ABC中，已知BD→=12DC→，P为AD上一点，且满足CPA．23 B．13 C．597．（5分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊄α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β8．（5分）若函数y＝2cosωx在区间[0，2π3]A．1 B．12 C．2 D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)（多选）9．（6分）下列化简正确的是（）A．tan（π+1）＝tan1 B．sin(−α)tan(2π−α)C．cos(πD．cos(π−α)tan(−π−α)（多选）10．（6分）已知a→，bA．a→与b→B．如果a→与b→平行，那么a→与C．a→与b→D．如果a→与b→平行，那么a（多选）11．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在线段B1C上运动（包含端点），则（）A．直线BD1⊥平面A1B1CD B．正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积为3π C．三棱锥C1﹣MA1D的体积为定值 D．直线AM与平面ADD1A1的夹角可能为π三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）复数z=2−3ii的虚部为13．（5分）已知一圆锥的底半径为2，侧视图为等边三角形，则此圆锥的体积为．14．（5分）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm2．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知平面向量a→，b→，a→=(1，3)，（1）求a→（2）若a→+2b→与16．（15分）已知sinα+2cosα＝0．（Ⅰ）求tan(α+π（Ⅱ）求sin2α﹣2cos2α的值．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c•cosC＝b•cosA+a•cosB．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a+b＝4，求△ABC面积的最大值．18．（17分）已知函数f(x)=sin2x−2cos（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）若方程f（x）＝﹣1在区间[0，m]上恰有两个解，求m的取值范围．19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝BC＝CD=DA2=2，M为PC上一点，且PM（1）求证：PA∥平面DMB；（2）若△PAD为正三角形，PC＝PD，求异面直线PC与AB所成角的余弦值；（3）若点P到底面ABCD的距离为3，求三棱锥P﹣DMB的体积．

2023-2024学年陕西省渭南市富平县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知复数z＝3﹣4i，则|z|＝（）A．7 B．7 C．5 D．25【考点】复数的模．【答案】C【分析】结合复数模公式，即可求解．【解答】解：z＝3﹣4i，则|z|=3故选：C．2．（5分）cos69°cos24°﹣cos159°sin24°＝（）A．22 B．2 C．5 D．【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】A【分析】利用诱导公式，两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：cos69°cos24°﹣cos159°sin24°＝cos69°cos24°﹣cos（90°+69°）sin24°＝cos69°cos24°+sin69°sin24°＝cos（69°﹣24°）＝cos45°=2故选：A．3．（5分）若向量AB→=(−5，1)，BC→=(2，2)，CD→A．−13 B．13 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】A【分析】利用向量的坐标运算与平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值．【解答】解：AC→因为AC→所以﹣3（2m+1）＝3m，解得m=−1故选：A．4．（5分）若函数y＝tan（x+φ）（φ≥0）的图象与直线x＝2π没有交点，则φ的最小值为（）A．π B．π2 C．π4【考点】正切函数的图象．【答案】B【分析】根据正切函数的性质即可得．【解答】解：函数y＝tanx的图象与直线x=π若函数y＝tan（x+φ）（φ≥0）的图象与直线x＝2π没有交点，则2π+φ=π2+kπ(k∈Z)，φ=−3π2故选：B．5．（5分）如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．2+22 B．1+22 C．2【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图．【答案】C【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+2S=12（1+2故选：C．6．（5分）如图，在△ABC中，已知BD→=12DC→，P为AD上一点，且满足CPA．23 B．13 C．59【考点】平面向量的基本定理．【答案】B【分析】由题设，可将CP→用两向量CA→，CB→表示出来，已知中已有足CP→=【解答】解：如图，CP又BD→=又CP→=mCA→+4故选：B．7．（5分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊄α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β【考点】平面与平面垂直．【答案】C【分析】根据面面垂直的判定定理结合选项可得正确结论．【解答】解：A中，两个平面可能平行或相交，错误；B中，两平面相交，但不一定垂直，错误；C中，可判定两个平面垂直，正确；D中，可判定两个平面平行，故错误；选C．故选：C．8．（5分）若函数y＝2cosωx在区间[0，2π3]A．1 B．12 C．2 D．【考点】余弦函数的图象；余弦函数的单调性．【答案】A【分析】分ω＜0和ω＞0两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出ω的范围，即可求解．【解答】解：当ω＜0时，y＝2cosωx＝2cos（﹣ωx），由x∈[0，2π3]因为函数y＝2cosωx在区间[0，2π所以π2＜−2π当ω＞0时，由x∈[0，2π3]因为函数y＝2cosωx在区间[0，2π所以π2＜2π综上所述ω∈[−3故选：A．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)（多选）9．（6分）下列化简正确的是（）A．tan（π+1）＝tan1 B．sin(−α)tan(2π−α)C．cos(πD．cos(π−α)tan(−π−α)【考点】诱导公式．【答案】ABD【分析】利用诱导公式求解．【解答】解：对于A，tan（π+1）＝tan1，故A正确；对于B，sin(−α)tan(2π−α)=−sinα−tanα=对于C，cos(π2−α)cos(π+α)=对于D，cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=(−cosα)(−tanα)故选：ABD．（多选）10．（6分）已知a→，bA．a→与b→B．如果a→与b→平行，那么a→与C．a→与b→D．如果a→与b→平行，那么a【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【答案】ABC【分析】根据单位向量以及向量平行，共线相等的定义分别进行判断即可．【解答】解：A．因为a→，b→为两个单位向量，当两个向量方向不相同时，两个向量不相等，故B．如果a→与b→平行，则两个向量方向相同时，a→与b→相等，方向相反时，则a→C．当两个向量方向不相同时，两个向量不共线，故C错误；D．如果a→与b→平行，则两个向量方向相同或相反，那么a→=b故选：ABC．（多选）11．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在线段B1C上运动（包含端点），则（）A．直线BD1⊥平面A1B1CD B．正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积为3π C．三棱锥C1﹣MA1D的体积为定值 D．直线AM与平面ADD1A1的夹角可能为π【考点】几何法求解直线与平面所成的角；棱锥的体积；直线与平面垂直．【答案】BCD【分析】对于A：分析可得C1D1⊥BC1，进而可得BD1，CD不相互垂直，即可得判断；对于B：分析可得BD1为正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径，进而可求表面积；对于C：可证B1C∥平面A1C1D，根据平行的性质结合棱锥的体积分析判断：对于D：取点M与点C重合，结合线面夹角的定义分析判断．【解答】解：对于A：连接BC1，因为C1D1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以C1D1⊥BC1，在△BC1D1中，BD1，C1D1不相互垂直，因为C1D1∥CD，所以BD1，CD不相互垂直，则直线BD1与平面A1B1CD不垂直，故A错误；对于B：由题意得：BD1为正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径，且BD所以正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积为S＝4πR2＝π•（BD1）2=π(3)2对于C：因为A1B1∥CD，且A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形，则A1D∥B1C，因为A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，所以B1C∥平面A1C1D，因为点M在线段B1C上运动，所以点M到平面A1C1D的距离为定值，即三棱锥M﹣A1C1D的高为定值，且△A1C1D的面积为定值，所以三棱锥C1﹣MA1D的体积VC1−M对于D：例如取点M与点C重合，因为CD⊥平面ADD1A1，所以直线AM与平面ADD1A1的夹角为∠CAD，因为四边形ABCD为正方形，所以∠CAD=π所以直线AM与平面ADD1A1的夹角可能为π4，故D故选：BCD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）复数z=2−3ii的虚部为【考点】复数的实部与虚部．【答案】﹣2．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的概念，即可求解．【解答】解：z=2−3ii=−故答案为：﹣2．13．（5分）已知一圆锥的底半径为2，侧视图为等边三角形，则此圆锥的体积为．【考点】圆锥的体积．【答案】833【分析】由题意可求出圆锥的高，由圆锥的体积公式即可得解．【解答】解：因为圆锥的底半径为2，侧视图为等边三角形，所以圆锥的高为23，所以圆锥的体积V=13Sh=13×π故答案为：83314．（5分）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm2．【考点】扇形面积公式．【答案】见试题解答内容【分析】设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ，解得r【解答】解：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ解得：r=48所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB=12×64×（485+16）−1故答案为：704．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知平面向量a→，b→，a→=(1，3)，（1）求a→（2）若a→+2b→与【考点】平面向量数量积的坐标运算．【答案】（1）1；（2）﹣4．【分析】（1）根据数量积得定义计算即可；（2）由a→+2b→与【解答】解：（1）∵a→=(1，3)，|b→|=1∴a→（2）若a→+2b则(a即2a∴8+2λ+4+λ＝0，∴λ＝﹣4．16．（15分）已知sinα+2cosα＝0．（Ⅰ）求tan(α+π（Ⅱ）求sin2α﹣2cos2α的值．【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】（Ⅰ）−1（Ⅱ）25【分析】（Ⅰ）根据三角函数的同角关系及两角和的正切公式，即可求解；（Ⅱ）根据同角关系，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα+2cosα＝0，∴tanα=sinα∴tan(α+π（Ⅱ）sin2α﹣2cos2α=si17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c•cosC＝b•cosA+a•cosB．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a+b＝4，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【答案】（Ⅰ）π3（Ⅱ）3．【分析】（Ⅰ）由题意及正弦定理可得cosC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；（Ⅱ）由基本不等式可得ab的最大值，进而可得该三角形面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为2c•cosC＝b•cosA+a•cosB，由正弦定理可得：2sinCcosC＝sinBcosA+sinAcosB＝sin（A+B）＝sinC，在△ABC中，C∈（0，π），sinC＞0，可得cosC=1所以C=π（Ⅱ）a+b＝4，因为a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，即4≥2ab，可得ab≤4，所以S△ABC=12absinC≤118．（17分）已知函数f(x)=sin2x−2cos（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）若方程f（x）＝﹣1在区间[0，m]上恰有两个解，求m的取值范围．【考点】诱导公式；正弦函数的图象．【答案】（Ⅰ）x=kπ2+π3（Ⅱ）[7π12，13π【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简计算，得到f（x）=3sin（2x−π6）﹣1，结合整体代换法计算能求出函数f（Ⅱ）由3sin(2x−π6)=0，−π6≤2x−【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣2cos2（x+π＝sin2x﹣[2cos2（x+π＝sin2x﹣cos（2x+π=3（3=3由2x−π6=kπ+π2（k∈Z），可得x=（Ⅱ）由f（x）=3sin（2x−π6当x∈[0，m]时，−π∵方程f（x）＝﹣1在区间[0，m]上恰有两个解，∴π≤2m−π2＜解得7π12∴m的取值范围是[7π12，13π19．（17分）如图，在四棱锥P﹣