中科大机械振动理论及其应用课件第6章 非线性振动

第6章非线性振动振动理论及其应用6.1非线性振动概述6.2非线性振动的定性分析方法6.3非线性振动的近似解析方法6.4非线性振动的数值分析方法

6.5分叉与混沌的概念6.1非线性振动概述第6章非线性振动非线性特性

材料非线性振幅过大超出材料线弹性范围几何非线性位移或变形过大使结构几何形状显著变化非线性阻尼材料内摩擦阻尼、流体阻尼等都是非线性阻尼负刚度负阻尼有些情况下会存在负刚度和负阻尼非线性系统

当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。第6章非线性振动

6.1非线性振动概述非线性振动的研究方法非线性振动研究的方法有：定性分析、定量分析和数值分析方法。非线性振动研究的内容非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。定性法研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时间历程。通常采用几何方法描述系统的运动特征。定量法

通过一些渐近的解析方法研究系统运动的时间历程。数值法通过数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。第6章单非线性振动

6.1非线性振动概述线性振动非线性振动与线性振动的区别非线性振动

自由振动频率与初始条件无关自由振动频率与振幅有关

强迫振动频率与激励力频率相等强迫振动频率成分复杂，有时与激励频率不相等的频率成分突出稳定平衡位置附近的运动是稳定的稳定平衡位置附近具有多种稳定和不稳定运动强迫振动中每个激励频率有一个对应的振幅强迫振动中幅频与相频曲线发生弯曲，产生多值性

叠加原理成立叠加原理不成立6.2非线性振动的定性分析方法

第6章非线性振动

设n自由度系统的运动微分方程为位形空间相空间其中，qi是广义坐标，fi是广义坐标和广义速度的非线性函数。

由变量qi规定的n维笛卡儿空间称为位形空间。方程的解qi(t)可用位形空间的n维矢量表示。

由变量qi和规定的2n维空间称为状态空间或相空间。

设，和，则矢量{x}可唯一表示系统在任一时刻t的状态。方程可写为或第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

自治系统和非自治系统

Xi中没有一个显含时间t时，系统称为自治系统，Xi中至少有一个显含时间t时，系统称为非自治系统。普通点和奇异点

凡是的点称为普通点、相点或正则点；而{X}

＝{

0}的点称为奇异点或平衡点。

从状态方程可以看出平衡点的速度与加速度为零。未扰解和被扰解

xi=

fi(t)为方程的一个已知解，称为未扰解。研究系统在fi(t)领域中的运动xi

(t)称为被扰运动。特别有意义的两类未扰解是对应于平衡点的常数解和对应于封闭轨线的周期解。第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

Lyapunov稳定性定义稳定性的几何解释

设由

xi

规定的相空间的原点与平衡点重合，则系统的运动幅度定义为原点到扰动解积分曲线上任何一点的距离：

若给定任意小的正数e，存在正数d，对于一切受扰运动，只要其初始扰动满足，对于所有的均满足，则称平凡解是稳定的。

若这个平凡解是Lyapunov稳定的，而且，则解是渐近稳定的。不稳定渐近稳定稳定第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

相平面

讨论一单自由度自治系统的自由振动，其动力学方程的一般形式为：

对于单自由度系统，相空间缩减为以x1和x2为直角坐标系的（x1，x2）平面，称为系统的相平面。

设，和，，上式可以写为状态变量的一阶微分方程组：

第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点。相轨迹不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。

系统的运动过程可用相点在相平面上的移动过程来描述。相点移动的轨迹称为相轨迹，或相迹。第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

奇点

相平面内能使状态方程右端等于零的特殊点称为相轨迹的奇点。表明系统的速度和加速度均等于零，奇点的物理意义即系统的平衡状态，因此也可将奇点称为平衡点。

对单自由度自治系统的自由振动，状态方程为：相平面上个别的平衡点就是以下方程的解：第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

记系数矩阵

不失一般性，将坐标原点移至奇点处，并将函数在奇点（0，0）附近展开为泰勒级数，得到：其中第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

引入向量

设e1和e2是在原点的领域中小到可以忽略，则可以用下列线性化方程讨论非线性方程在原点附近的稳定性：作非奇异线性变换则方程可以写为其中第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

选择合适的B，可使变换后的矩阵J为若当标准型，可以证明，矩阵J与矩阵A有相同的特征值。下面讨论矩阵J的特征值与奇点特性的关系。

J有不相等的实特征值l1和l2，则有线性变换后的方程上式的解为解的两边分别对时间求导，并消去时间t，可以得到其中第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

则有或设a=l2/l1

，则有或把解改写成和或第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

相轨迹为指数曲线族。当

l1>0>l2

，即两个本征值异号时，a<0，除了u1=0的相迹趋向于原点外，其余相迹都远离原点，根据稳定性的定义，平衡点为不稳定奇点，称为鞍点。对应于负刚度的情况。鞍点从式可得到相轨迹方程第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

当a>0，即两个特征值同号时，奇点为结点。当

两个特征值都为负时，当t→∞时，所有的轨线趋向于原点，因此，奇点是稳定结点，系统的运动是渐近稳定的。而当特征值同为正时，奇点是不稳定结点。稳定结点第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

J有相同的特征值l1=l2

一种情况为方程可以写为：方程的解为第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

相轨迹方程为

相轨迹为直线族。当

两个特征值小于零时相迹的方向指向原点，奇点为稳定节点；当

两个特征值大于零时相迹的方向远离原点，奇点为不稳定节点。稳定结点第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

J有相同的本征值l1=l2

此时方程可以写为：此方程的解为另一种情况为第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

上述两式相除，并消去时间t可得（x<0）

当特征值l1<0时，

u2与u1相比是无穷大量。相迹在原点与u2轴相切，所有相迹的方向都指向原点，因此，奇点是稳定结点。稳定结点（x>0）

当l1>0时，奇点是不稳定结点。

第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

若J有共轭复根

则有将直角坐标变换成极坐标方程可写为因而两边对时间求导第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

此方程的通解为

此时的相轨迹为围绕奇点的螺旋线，奇点为焦点。

当a

<0时为稳定焦点，运动是渐近稳定的，a

>0时是不稳定焦点。

稳定焦点第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

当a

＝0时，相轨迹转化为圆，奇点为中心。中心第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

奇点的分类准则

线性变换后的变量u与变换前的变量x是线性同构的，它们的奇点类型也完全相同。根据以上分析结果，奇点的类型取决于矩阵A的特征值。将A的特征方程展开，得到：

其中特征值为其中第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

奇点类型和这两个参数的关系可以归纳如下：

由上面的分析可以看出，奇点的不同类型由参数p和D完全确定，只要这两个参数确定了，则系统奇点的类型就确定。第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

参数平面上的奇点类型第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

例题6－1判断单摆的奇点类型

设单摆相对垂直轴的偏角j为广义坐标，其动力学方程为

或

设：

方程式可以写为状态变量的一阶微分方程组：

第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

得到单摆的奇点为其中，

令：

把原点移至单摆的奇点，则在原点附近线性化的方程为：所以有：第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

根据前面的分析，由p、q和D来判断系统的奇点类型:(0,0)第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

单摆的相轨迹图

从单摆相轨图上可以清楚看到系统奇点的性质。单摆的相轨迹图状态方程改写成消去dt：整理：积分：或：第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

极限环

相平面内的封闭轨线是对系统周期运动的定性描述。稳定的中心周围密集的封闭轨线对应于单自由度保守系统的自由振动，振幅取决于初始条件。孤立的封闭轨线称作极限环，振幅取决于系统参数。极限环稳定性的几何解释第6章非线性振动

6.2非线性振动的定性分析方法

极限环存在的充分性条件由Poincare－Bendixon(庞卡莱－本狄克生)定理给出：

设D域是由两条无切点环线C1和C2包围的环域，D域内无奇点。当时间t增加时，从C1和C2出发的相迹都进入（或离开）D域，则D域内至少存在一个极限环。第6章非线性振动

习题6－1分析单摆在有阻尼和无阻尼两种情况下奇点的性质。无阻尼有阻尼6－2求出下列方程的奇点，并指出其类型第6章非线性振动振动理论及其应用6.1非线性振动概述6.2非线性振动的定性分析方法6.3非线性振动的近似解析方法6.4非线性振动的数值分析方法

6.5分叉与混沌的概念第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法

定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置）附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，不能获得系统的频率、振幅等基本参数。

只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法谐波平衡法

谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数相等，得到未知系数的线性代数方程组，解方程组，得到振动系统微分方程傅立叶级数形式的解。

讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动：设方程的解可以用周期为T的傅立叶级数表示

第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法其中,将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：

将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力一起代入动力学方程中，整理各阶谐波的系数，令相同谐波分量的系数相等，就可以得到级数形式解中各个待定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组：

解线性代数方程组，得到方程级数解的系数。第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法摄动法

讨论带小参数的单自由度非自治系统：其中，e为与变量x，t无关的常数。当e充分小时，系统为弱非线性系统，e称作小参数。当e

=0

时，上述系统退化为一个派生系统

设派生系统的周期解为x0

(t)

，当观测到原系统也存在周期解时，可以在派生系统周期解的基础上加以修正构成原系统的周期解x

(t，e)

，并展开为e的幂级数

第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法

将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x,

)在基本解(x0,)的领域内展开成泰勒级数:

第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法

按e幂次整理方程，由于方程对e的任意值均成立，并要求方程两边e的同次幂的系数相等，因此可以导出方程各阶近似解的线性微分方程：

由方程的第一式解出派生系统的解，依次代入下一式求出各阶近似解，就可得到原系统的解。这种将弱非线性系统的解按小参数的幂次展开，以求渐近解的方法称为正规摄动法或直接展开法。

第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法例题6－2

用直接展开法求解杜芬(Duffing)方程给定初始条件将方程右端直接展开为级数的形式代入方程第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法按同次幂相等的条件得到

第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法由式获得基本解为将基本解代入得解关于x1的线性微分方程得第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法由可以写出精确到0（e）的一阶渐近解为：

可以看出方程的一阶渐近解中含有与时间t成正比的项tsint，称为永年项。而事实上，例题中系统为保守系统，方程的解应该是有界的。因此，通过正规摄动法或直接展开法得到的响应只在时间t<1的量级中有效，称为非一致有效解。为了获得系统的一致有效解，发展了各种渐近解法，构成了摄动法的各种分支，统称为奇异摄动。如尺度法、平均法、KBM法等，可从参考书中查阅。第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法讨论受简谐激励作用的准谐波系统，其微分方程为：方程为无阻尼系统的杜芬方程，其中e<<1。

当方程有周期解时w=W。通过摄动法，并利用周期性条件，获得方程的解为：第6章非线性振动

6.3非线性振动的近似解析方法

设w0为相关线性系统的固有圆频率，则得到A0与w的关系：对不同的eb值，|A0|随激励频率变化的规律如下图所示。可以看出其特性与线性系统有很大的差别。质量－软刚度系统质量－硬刚度系统第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。

数值分析方法得到广泛应用的原因

一个原因是因为非线性分析理论发展的不完善性，对很多问题无法进行理论上的分析；另一个原因是数值分析理论的发展和计算工具性能的提高使得数值分析成为可能。

第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

常用的数值分析方法

非线性振动的数值方法是把非线性方程化为对每一时间步长Dt内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克（Newmark）法、威尔逊（Wilson）

法、Runge－Kutta法等。纽马克（Newmark）法梯形法

最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响应展成泰勒级数，并只保留一阶导数。即关于

t＋Dt瞬时的速度和位移均可由前一步t瞬时的速度和位移来表示：或第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

在有了t瞬时的位移和速度后，由满足t瞬时的微分方程得到

t瞬时的加速度：由以下两式得到

t＋Dt瞬时的速度和位移：

依此类推，给定初值和后，就可以获得任何

瞬时系统的运动速度和位移。位移截断误差为0(Dt2

)。第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

欧拉法的几何意义是用折线代替曲线，计算精度较低，一般只用于起步或与其它方法配合使用。

高斯对欧拉法进行了改进，用t瞬时和

t＋Dt瞬时的平均速度代替欧拉法中t瞬时的速度，即：

这里用导数的平均代替t瞬时的导数值，称为梯形法，它采用

t＋Dt瞬时的微分方程，因此，为隐式格式。

xn+1的表达式也可以写成如下的形式：

用平均加速度代替t瞬时的导数值是纽马克法的一个特例。第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

纽马克法的积分格式：

纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留到二阶导数加速度项，并引入两个参数g和b对截去的高阶小量作修正。

通常，取g<1/2会产生负阻尼，即积分计算中导致振幅的增长，因此，最常用的参数为g＝1/2，而变动b。这种方法又称为纽马克b法。当g＝1/2，b＝1/2时方法是无条件稳定的。第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

纽马克法每步积分满足t＋Dt时的末端方程：由积分格式解出末端速度与加速度矢量得：代入末端方程，得：第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

其中：从第一式可解出t＋Dt时的位移。第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

威尔逊（Wilson）法以线性加速度法为基础，引入参数，在时域范围内，假设加速度按线性规律变化，在数学上先得到瞬时的一组方程，称为预报方程，然后再求出瞬时的位移、速度和加速度。

设t为自t开始的时间变量，适用于，根据线性加速度的假设可得在此时间域内的加速度为积分后得第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

当t=qDt时，可得到t+qDt

瞬时的速度和位移解出得到的表达式：第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

取t+qDt

瞬时的方程

由于加速度按线性变化，因此，外力fn+q也可以近似取为线性变化：综合以上各式，便可以得到求解位移xn+q的方程式：：其中，第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

有了t+qDt

瞬时的位移可依次求出t+Dt

瞬时的加速度、速度和位移：当时，方法无条件稳定。

Runge－Kutta法对常微分方程进行数值求解的有力工具，它可以有效地解决常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程，其初值问题一般表达为：第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

RungeKutta法的公式：

第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

例题6－3

用Runge－Kutta法求解常微分方程的初值问题积分时的时间步长为各时间步长的积分结果与误差见下表：第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

Runge－Kutta法的求解结果第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

高阶问题的求解

前面所述的Runge－Kutta方法可以求解一阶的常微分方程，但实际的振动系统大多是二阶系统。对于高阶系统可以引入变量转化为一阶常微分方程组，然后就可以用Runge－Kutta方法进行求解了。

对于二阶方程：引入变量：则上述二阶方程可以化为一阶方程组：第6章非线性振动

6.4非线性振动的数值分析方法

RungeKutta法的计算公式：

设h为积分的步长，则有：

第6章非线性振动

6.5分叉与混沌的基本概念

非线性振动的分叉与混沌简介

分叉与混沌是非线性系统最有趣的现象，也是目前研究的一个热点。下面简单介绍一下分叉和混沌的简单概念和示例

。

分叉问题起源于力学失稳现象的研究。若任意小的参数变化会使结构不稳定的动力学系统的相轨迹发生突然变化，则称这种变化为分叉。第6章非线性振动

6.5分叉与混沌的基本概念

研究一个含参数的动力学系统：

其中，x为状态变量，m

为分叉参数或称控制变量。当参数m连续变化时，若系统的相迹结构在处发生突然变化，则称系统发生分叉。平衡点和极限环随参数m

变化的图形称为分叉图。

Hopf分叉研究一个平面动力系统:第6章非线性振动

6.5分叉与混沌的基本概念

该系统相轨迹随参数m

的变化而变化的情形如下图所示：

从图上可以清晰地看出，当参数m由负数