2025-2026月考试卷8年级（数学）实数的概念与运算（解析版）

实数的概念与运算（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）有理数和无理数统称为实数.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【即时训练】7733【答案】【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数：﹣73【即时训练】224-25八年级上·上海嘉定·期末）写出一个有理数，写出一个无理数，其中是实数的有．【分析】实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，同时理解有理数的【点睛】本题考查了实数的定义，无理数的定义，有理数的定义，掌握以上定对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的【即时训练】12025·上海闵行·模拟预测）下列四个数中，最小的数是()【答案】【答案】A【分析】此题考查了实数的大小比较，正确掌握实数大小比较的法则是解题的关键．根据正数大于零，零【详解】解：_3<0<2<π,:最小的数是_3，【即时训练】【答案】【答案】_2::2>0，:_:_2<_3，故答案为：故答案为：_2．有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.及运算性质等同样适用.124-25八年级上·上海嘉定·单元测试）计算：的值为()A．4041B．4041_22021C．_1D．22021_1【答案】C【详解】解：原式=2020_2021_2021+2021=_1；【即时训练】223-24八年级上·上海徐汇·期中）为了积极响应我校的数学文化节活动，小温设计了一个简易的数值转化器，流程如下，如果小温输入的m是_2时，则输出的结果是．【答案】【答案】5【分析】本题考查实数的运算，根据题意列式计算后判断其算术平方根【详解】解：输入的m是_2时，2+3=5是无理数，输出结果；【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·课后作【答案】【答案】B【详解】解：__5=_5，故选：B．π33.14无理数个数()π【答案】【答案】A【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”进行解答即可．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练地掌握无理数的定义是解题的关键．常见的无理数有：无限【答案】【答案】1【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数3123-24八年级上·上海松江·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号7【分析】根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定【点睛】此题考查正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，解题关224-25八年级上·上海长宁·阶段练习）一组实数按如下规律排【答案】(1)132；212故答案为：892故答案为：892，1442．|2x_a|_|b_x|．【答案】当【答案】当x＜-2时，_x_5；当-2≤x≤1时，3x+3；当x＞1时，x+5|2x_a|_|b_x|=|2x+4|_|1_x|，当x＜-2时，|2x+4|_|1_x|=_2x_4_(1_x)=_x_5；当-2≤x≤1时，|2x+4|_|1_x|=2x+4_(1_x)=3x+3；当x＞1时，|2x+4|_|1_x|=2x+4+(1_x)=x+5．423-24八年级上·上海闵行·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自(1)当输入的实数x为_1时，求输出的值是多少．输出=(x+x2_8x+16_16+x2)÷x_2x=(2x2_7x)÷x_2x=2x_7_2x【例1】（2025·上海虹口·模拟预测）下列各数中，是负分数的是(【答案】A【答案】A根据负分数的定义，在正分数前面加负号的数叫【详解】解：A、_20%=_0.2是负分数，故本选项符合题意；73【答案】【答案】B20.1010010001等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．(4)0.3故答案为：_13，0，2，_22，0.3．（2）解：是无理数的有π,3，2.12112111（4）解：是分数的有0.3，故答案为：0.3．（每两个1之间的0个数逐次增加1)中正数有m个，非【答案】【答案】1【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意正数有20%0.3，217.010010001…（每两个1正分数有20%0.3，有3个，则k=3，7π0.9【答案】【答案】_π,_2025,3_4，_；3.14，250%，0.9；【分析】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握负实数，正有理数和无理数的定义．根据【详解】解：负实数：正有理数：3.14，250%，0.9；故答案为：_π,_2025,3_4，_2；3.14，250%，0.9；_（2）“*”表示一种新运算，它的意义是a*b=ab_(a+b)，在（1）的条件下，求：①*⑤.【答案】（【答案】（1）①_2.5；②1.5；③1；④π;⑤0；⑥_22）2.5：（7【分析】本题考查了无理数的识别及实数的分类，熟练掌握实数的分类是7.(2)①用圆规在数轴上精确地表示5提示：注意观察正方形EFGH的面积）②将上列五个数按从小到大的顺序用“<”连接．【答案】【答案】(1)-3.5；π；-52(2)①见解析；(3)π,5；-3.5，-52（2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以GF的长为半径画弧，则2故答案为：-3.5；π；-5．2:正方形的边长GF=5；②根据数轴可知，负数：-3.5，-5．2故答案为：π,5；-3.5，-5．2【点睛】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，利用数轴比较大小，实数的分类，解题的【答案】【答案】BB选项：B选项：2<5<3，:5在2和C选项：C选项：3<10<4，:10在3和4之间，故C选项不符合题意；D选项：D选项：3<13<4，:13在3和4之间，故D选项不符合题意．A．2_2πB．π_2C．5_2πD．2_π【答案】【答案】D【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计得到滚动前点A对应的数．【详解】解：由题意可得圆的直径d=1，根据圆的周长公式C=πd，可得周长C=πx1=π.圆从点A滚动到A9，滚动的距离是圆的周长π,点A9对应数是2，那么滚动前点A对应的数是2_π,【例3】（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，【答案】【答案】25【详解】解：AC:数轴上点D表示的实数是25．故答案为：25．【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数 所以a所以a_10<0，2_a<0，则b=10_a+a_2=10_2．10_2+2设点B所表示的数为m．(2)求m_1+(m+2025)0的值．【答案】【答案】【分析】本题考查了实数与数轴、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识（2）由（1）得m=2_2，再代入式子求值即可．0_2_3，2【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数以及利用数轴比较实数的大小，解题的关【答案】【答案】(1)这个魔方的棱长为2cm；(2)正方形ABCD的边长为2cm，图见解析（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线O为圆心，斜边长为半径作弧交数轴于点E1或E2，点E1或E2即为所作．答：这个魔方的棱长为2cm；根据勾股定理得CD条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相 ::2<5<3，::5的整数部分为2，小数部分为5_2．依题意，设长方形纸片的长为依题意，设长方形纸片的长为2r，则r2=3，则长方形纸片的长为则长方形纸片的长为23，【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）若实数a的倒数是2025，则a的值为()20252025【答案】【答案】B【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可．【例2】（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如果a+3+(b_2)2=0，那么代数式(a+b)2023的值是()A．_2023B．2023【答案】【答案】C2023=(_3+2)2023=_1,【点睛】本题考查了实数的非负性，幂的运算，熟练掌握实数的非负【答案】2【答案】2_1/_1+2【详解】解：1【详解】解：1_2=2_1．【点睛】本题考查了利用平方根、立方根、绝对值的定义解方程，熟练掌握22【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的（1234）根据相反数和绝对值的定义求解即可．（4）解：1（4）解：1_2的绝对值是2_1，相反数是2_1224-25八年级上·上海虹口·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零3（2）整理(2+2)a_(1_2)b=5，得(a+b)2+(2a_b_5324-25八年级上·上海静安·阶段练习）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式【分析】本题主要考查二次根式的双重非负性，绝对值的化简，熟练（1）根据二次根式的双重非负性得到m_2026≥0即可得到答案；（2）根据题意得到2025_m=m_2025，解得，即可求出答案．解得：m≥2026，故m的取值范围为：m≥2026；：2025_m=m__2025，：原式可变形为：mm，：m_20252=2026，423-24八年级上·上海长宁·期中）阅读下列材料并解决有关问题．我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的①当x<_1时，原式=_(x+1)_(x_2)=_2x+1；【答案】(1)|x+2|和|x_3|的零点值分别为_2、3；（2）根据零点值分x<_2、_2≤x<3和x≥3三种情况解答即可求解；解得x=_2，x=3，|x+2|和|x_3|的零点值分别为_2、3；当x<_2时，x+2+x_3=_x_2+3_x=_2x+1；当x≥3时，|x+2|+|x_3|=x+2+x_3=2x_【例1】（2025·上海金山·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是()【答案】【答案】D :|a_1|>|b_1|，故B选项错误；D、_1<a<0，1<b<2，:a+b>0，故D选项正确．方形的边长最接近的整数是()【答案】【答案】D【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数25<32<36，:25<32<36:25<32<36，即5<32<6，:6_32<32_5，:与32最接近的整数是6，【答案】3_2/_2+3【分析】本题考查实数的运算，根据乘方和绝对值运算【分析】本题考查实数的运算，根据乘方和绝对值运算【详解】解：(_1)2025+3_1==_1+3_1值结果精确到0.001）【答案】4.060≈≈1.4142+2.6458故答案为：4.060．124-25八年级上·上海嘉定·期中）计算【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法【详解】解：原式=3_2+32_2+2=2a3)2+a8÷a2(3)2m(m_1)_(2m3_m)÷m(4)(x_2y+3)(x+2y+3)【答案】(1)15(2)_2a6(4)x2+6x+9_4y2【分析】本题主要考查了实数混合运算和整式混合运算，熟练掌握运算法则（2）解：a2.a4_(2a3)2+=a6_4a6+a6=_2a6；（（3）解：2m(m_1)_(2m3_m)÷m=2m2_2m_2m2+1=_2m+1；（4）解：(x_2y+3)(x+2y+3)=(x+3)_2y(x+3)+2y=(x+3)2_4y2=x2+6x+9_4y2．324-25八年级上·上海奉贤·期中）计算:(1)首先把二次根式化为最简二次根式，可得：原式=33_23+43，再根据合并同类二次根式的法则进(2)(2)根据二次根式的乘法法则，可得：原式=22_2(4)根据平方差公式，展开可得：原式，再根据运算法则进行计算\2)2-32:.(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的nn(2)_12753_1._38=_2,3_8=_2,3_8.__327=_3，3_27=_3，3273_27．==_1_2_3__50【答案】【答案】A好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是()【答案】【答案】C再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小【详解】解：由题意得，正方形的面积为4×8=32，【答案】【答案】_2【分析】本题主要考查实数的大小比较；先比较两个负数的大故答案为：_2．【答案】2【答案】2_1>±2::1<2<2，::1_2<0，::1<3<2，::0<3_1<1，::4的平方根是±2；实数的大小比较，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握实数的大小比较，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握 2 2）_ 2 2）_5+1<_22所以所以_3<_5<_2，所以所以_2<_5+1<_1，22025·上海嘉定·模拟预测）已知实数_【答案】【答案】(1)8(2)_5<_22<_2【分析】本题考查实数比较大小，实数的减法，掌握实数比较大小的方（1）当m=3时，最大数是3，最小数是(2)请根据上述方法解答以下问题：比较3_30与_2的大小．【答案】【答案】(1)5(2)(2)3_30<_2【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估（2）作差可得3_30_(_2)=5_30，根据无理（2）解：3_（2）解：3_30_(_2)=5_30，材料二：比较28和82的大小．2．(1)比较81314161【分析】本题考查了幂的乘方，幂的乘方的逆用，有理数的大小比较61；2知7*2=1,3*5=1_2m，若4*(_3)=2，则m的值是()【答案】【答案】D【分析】本题主要考查新定义运算，二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题中所给新定义运算；由题中所给新定义运算可得，求出，然后再根据3x+5y=13*5=1_2m，【例2】（24-25八年级上·上海虹口·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b,则13*(7*2)的运算结果为()【答案】【答案】D【答案】【答案】4【分析】本题考查了新定义运算.根据定义先求出a※b=1，再计算a※(a※b)即可.【答案】1【分析】本题主要考查了新定义，零指数幂，负整数指数幂，根据可得,据此计算求解即可．【详解】解；丫2_ (2)(2)x=_3或x=7【分析】本考查主要考查了新定义运算、平方根的性质等知识点，理解新定义运222=25∴x=_3或x=7224-25八年级上·上海虹口·期中）定义一种新运算：规定a⊗b=a2_ab，如3⊗5=32__3×5=_6．【答案】【答案】(1)32_ab，2_（2）[_3.2]⊗[π]=(_4)⊗3=(_4)2_(_4)×3=16+12=28．【解答问题】2【答案】【答案】(1)6【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运（（2）由数的新定义可得5≤1_x<_4，求出不等式的解集进而即可求解；2（3）根据实数的新定义分别求出{x},{y}和[x]的值，进而代入计算即可求解；2：原式=[5：原式=[5_2_(5_2)]2+[10_(5_2)+5]424-25八年级上·上海闵行·期中）若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍， (2)已知一个五位正整数13m45(0≤m≤9)能被1【答案】(1)不能；能【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定（2）先求出13m4+5×4=1326+10m_2，再证明1326能被13整除，那么10m_2能被13整除，即5m_1能被13整除，据此求出5m_1的范围进而确定5m_1的值，解方程即可得到答案．（2）解：13m4+5×4=1300+10132+6×4=156，15+6×4=39，39=13×3，解得m=2.8或m=5.4或m=8， ×,÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是()【答案】【答案】A【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答(2_3_3_3_3【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，正方形ABCD中，点E、F在AB上，点E是AF的中点，以BF为边长向正方形ABCD形内作正方形BFGH，以BE、AE为长和宽向正方形ABCD形内作长方形BEMN，已知正方形ABCD的面积为70，正方形BFGH的面积为40，则长方形BEMN的面积为()【答案】【答案】B【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与由正方形的面积可求得由正方形的面积可求得AB，BF的长度，可求得AF，再由点E是AF的中点，则有AE=EF，表示出长方【详解】解：正方形ABCD的面积为70，正方形BFGH的面积为40，:AB2=70，BF2=40，解得：AB=70，BF=210，点E是AF的中点，:S长方形BEMN=BE.EM=17.5_10故选：B．通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v，【答案】【答案】>【详解】解：vx7.75≈124千米/时，a≠0【点睛】本题为材料理解题，理解十进制和二进制的相互转化的法 ②丫2_(4_x)=x_2：﹣）﹣b＝2x﹣[3x4x+x22]＝x2+3x+2，a+b=(﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）=﹣2≠2．【点睛】本题为材料理解题，理解平衡数的意 324-25八年级上·上海嘉定·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务．设a,b是有理数，且满足a+2b=3_22，求ba的值．所以ba=(_2)3=_8．设x,y都是有理数，且满足x2_2y+5y=10+35，求x+y的值．【答案】x+y的值为7或_1从而得出x2_2y_10=0,y_3=0，求出y=3,x=±4，最后代入求值即可．【详解】解：因为x2_2y+5y=10+35，所以(x2_2y_10)+5(y_3)=0．因为x,y都是有理数，所以x2_2y_10,y_3也是有理数．所以x2_2y_10=0,y_3=0，解得y=3,x=±4，当x=4,y=3时，x+y=7，当x=_4,y=3时，x+y=_1．综上所述，x+y的值为7或_1．424-25八年级上·上海松江·期中）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．），；（（（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据面积相等得到方程，即可求解．（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据题意得x2=1×2=2，【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的【答案】【答案】A【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是() -4076361【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察前几个数可知，被开方数的数【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察前几个数可知，被开方数的数【详解】解：第【详解】解：第1个数为3-1=-1，-32-20192=3-4076361【答案】【答案】(6,2)而可以得出最大的有理数而可以得出最大的有理数9=81所在的位置，即可得出答案．3030÷5=6，故最大的有理数9=81=3×27位于第6行第2个数，记为(6,2)．①1=1②1+3=2③1+3+5=3(2)利用规律计算：1+3+5++19． ②1+3=2224-25八年级上·上海杨浦·期末）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22++22024+22025的值，采用设S=1+2+22++22024+22025①则2S=2+22++22025+22026②②-①得，2S_S=S=22026_1【答案】【答案】(1)2100_1(3)当a=1时，n+1；当a≠1时见解析a_1【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依【详解】（1）解：令S=1+2+22++299①,则2S=2+22++2an+1_1②②_①得，2S_S=2100_1，解得：S=2100_1．（2）解：令S=3+32++3100①,则3S=32+33++3101②,②_①得，3S_S=3101_3，解得：S．（3）解：当a=1时，1+a+a2++ann+1；当a≠1时，令S=1+a+a2++an①,则aS=a+a2++an+1②,②_①得，aS_S=an+1_1，综上所述：当a=1时，1+a+a2++an=n+1；当a≠1时，1+a+a2++an32024·上海杨浦·模拟预测）如图，将形状大小完全相同【答案】【答案】(1)2，n(n+1)（1）根据图形即可得到a1，观察图形可知第n幅图中★的个数为an…,…,将边长分别为a,a+b,a+2b,a+3b的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4．则S2_S1=b+2a(1)当a=1,b=3时，S3_S2=；【答案】【答案】(1)23+9(2)猜想结论：Sn+1_Sn=6n_3+23，证明见解析(3)403+1200SSn+1_Sn=6n_3+23是解题的关键．（3（3）T=S2_S1+S3_S2+S4_S3++S21_S20=S21_S1，据此代值计算即可．a+2b_a_b)当当a=1，b=3时，原式=232_1+(n_1)32==6n_3+23；=S=S2_S1+S3_S2+S4_S3++S21_S20==S21_S122=403+1200．有()【答案】【答案】A【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的3π224-25八年级上·上海静安·期中）已知2(a+b)+2a_5=0，其中a,b为有理数，则a_b的值为()【答案】【答案】A【分析】考查了实数的性质，根据题意确定出a与b的值，代入计算即可求出a_b的值．得到aa_b=5；【答案】【答案】B【分析】本题考查了实数与数轴，先根据数轴图得出a,b的取值范围，再取a，即可得出,进而得出，再据此一一判断四个选项即可；【详解】解：由数轴可知，b<_1<0<a<1，不妨取a，则类推，那么a1_a2+a3_a4++a2023_a2024+a2025的值是()【答案】【答案】D表达式为a1_a2+a3_a4++a2023_a2024+a2025，符号按+,_,+,_,交替。每三个项为一组，符号模式依第二组：_a4+a5_a总组数2025÷3=675组，奇数组（338组）和为_，偶数组（337组）和为，总和为：2323524-25八年级上·上海松江·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为()A．22-2B．22+2【答案】【答案】A【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.62024八年级上·上海·专题练习）有下列各数：①1，②__1;③5；④0；⑤_0.3；⑥_25；⑦【答案】【答案】④⑥②⑤③⑦【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键．根据实数的分类及定义即可【详解】解：__=_，_25=_5，（1）属于整数的有④⑥,故答案为：④⑥;故答案为：②⑤;故答案为：③⑦.724-25八年级上·上海闵行·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．【答案】【答案】3824-25八年级上·上海虹口·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示_1的点纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是．【答案】【答案】_1_π/_π_1解题关键．首先确定点B的位置表示的实数，然后计算线段AB的中点表示的数即可．【详解】解：圆滚动一周，点A到达了点B的位置，则AB即为圆周长2π,故答案为：_1_π.是整数，且也是整数，则满足以上条件的“升数”N的最大值是．