2025-2026月考试卷8年级（数学）直角三角形压轴题（解析版）

1．已知Rt△ACB≌Rt△DEB，LACB=LDEB=90O．(1)将Rt△ACB和Rt△DEB按图①方式摆放，使BD经过点C，延长AC交线段DE于点F．试判断线段DF+CF=AC之间的数量关系，并证明你的结论；(2)将Rt△ACB和Rt△DEB按图②方式摆放，延AC交线段DE于点F．请直接写出DF，CF，AC之间的数(3)将Rt△ACB和Rt△DEB按图③方式摆放，延长AC交ED的延长线于点F．若DF=2，CF=8，则AC=．【答案】(1)【答案】(1)DF+CF=AC，理由见解析(2)DF+CF=AC，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的数量关系，（1）由全等三角形的判定和性质，得到BC=BE，AC=DE，再证明Rt△BCF≌Rt△BEF，即可得到结论成（3）连接BF，与（1）的证明过程一样，得到CF=EF，AC=DE，即可得到答案．【详解】（1）DF+CF=AC．证明：如图，连接BF，∴BC=BE，AC=DE．∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，∴DF+CF=AC；（2）DF+CF=AC；证明：如图，连接BF，与（1）同理，可得BC=BE，AC=DE，丫LACB=LDEB=90o，BC=BE，BF=BF，∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，∴DF+CF=AC；（3解：如图，连接BF，与（1）同理，则有CF=EF，AC=DE，六DF+AC=DF+DE=EF=CF；则AC=6．(1)将△ABC和△DBE按如图1所示位置摆放，点E落在AB上，DE的延长线交AC于点F，连接FB，且FB平分LCFE．①求证BC=BE；②猜想DE，EF与AF之间的数量关系是；(2)若将图1中的△DBE按如图2所示位置摆放，DE交AB于点P，DE的延长线交AC于点F，LEBP<60O，连接FB，且FB平分LCFE．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；(3)若将图1中的△DBE按如图3所示位置摆放，DE，DB分别交AC的延长线于点F，P，连接FB，且FB平分LCFE．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF，EF与DE之间的数量关系．【答案】【答案】(1)①证明见解析，②DE=AF+EF，证明见解析；(3)②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF，证明见解析【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明CF=EF，证明△ABC兰△DBE，可得AC=DE，从（2）证明BC=BE，再证明△BCF≌△BEF(HL)，可得CF=EF．证明△ABC兰△DBE，可得AC=DE，从（3）证明BE=BC，LBEF=90O=LBCF，可得BF=BF，证明△BCF≌△BEF(HL)，可得CF=EF．再证明△ABC兰△DBE，可得AC=DE，结合AF=AC+CF，而CF=EF，从而可得结论．∴LCFB=LEFB，BC=BE．②丫LBCF=LBEF=90O，LCFB=LEFB，BC=BE，∴△BCF≌△BEF，∴DE=AF+EF；∴BC=BE，LBEF=90O=LBCF，∴△BCF≌△BEF(HL)，∴DE=AF+EF；（3）②的结论不成立，结论为：AF=DE+EF，理由如下：∴BE=BC，LBEF=90O=LBCF，∴△BCF≌△BEF(HL)，丫AF=AC+CF，而CF=EF，∴AF=DE+EF； 3．已知Rt△ABC，7ACB=90o，AC=BC，点D、E分别在边BC、AB上，连接AD、CE．(1)如图1，若CETAD，7BADBCE，求证：AD=2CD；(2)如图2，连接DE，若DE丄AB，点F为AD的中点，连接CF、CE，求7ECF的大小．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）如图，设AD与CE相交于点F，由等腰直角三角形的性质可得7BAC=7B=45o，设7BAD=a，7BCE=2a，则7CAF=45o-a，7ACF=90o-2a，由7CAF+7ACF=90o可求得a=15o，进而可得7CAD=30o，由直角三角形的性质即可求证；（2）连接EF，由直角三角形的性质可得EF=CF=AFAD，进而可得7AEF=7EAF，7CAF=7ACF，7ECF=7CEF，得到7DFE=27EAF，7DFC=27CAF，可得7CFE=90o，进而即可∴7BAC=7B=45o，∴7AFC=90o，∴可设7BAD=a，7BCE=2a，则7CAF=45o-a，7ACF=90o-2a，丫7CAF+7ACF=90o，∴7CAF=45o-15o=30o，（2）解：连接EF，∴LAEF=LEAF，LCAF=LACF，LECF=LCEF，∴LDFE=2LEAF，LDFC=2LCAF，即LCFE=90o， 4．如图所示，已知：在△ABC中，AC=BC，LACB=90o，CD是边AB上的中线，点E是直线AC上任意一点，DF丄DE，交直线BC于点F．点G是EF中点，延长CG交直线AB于点H．(1)若点E在边ABC上，①证明：DE=DF；②证明：CG=GH；(2)若AE=3，CH=5，直接写出边AC的长．【答案】(1)①见解析；②见解析【分析】（1）①连接CD，推出CD=AD，LCDF=LADE，LA=LDCB，证△ADE≌△CDF即可；②连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出LGCD=LGDC，推出LGDH=LGHD，推出DG=GH即可；，，:CD=AD=BD，:CD丄AB，:LEDA+LEDC=90o，LDCF=LDAE=45o，:LEDF=LEDC+LCDF=90o，:LADE=LCDF，丫LA=LDCF，AD=CD，LADE=LCDF，:△ADE≌△CDF(ASA)，:DE=DF；②证明：连接DG，:CG=EG=FG，:DG=EG=FG，:CG=DG，:LGCD=LCDG．:LCDH=90o，:LGHD+LGCD=90o，LHDG+LGDC=90o，:LGHD=LHDG，:GH=GD，:CG=GH；:CH=EF=5，丫△ADE≌△CDF，:AE=CF=3，:在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE，AC=EC-AE=4-3=1，综合上述：AC=7或1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾5．已知在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，7CFA=7BAC=a．(1)如图1，当a=65o时，7ABE=15o时(2)当a=90o，AB=AC=8时，①如图2，连接BF，当BF=BA，求CF的长；②若AD=52，求AE的长．【答案】【答案】(1)7BAE=50o（2）①证明△BEF丝△AFC，可得FC=EF=AEAF，再利用勾股定理求解即可；②如图，过A作AM丄BC于M，当D在M的右边时，利用勾股定理求出DM，可得BD，用等面积法可得BE，可得DE，根据AE=AD-DE，从而可得答案；当D在M的左边时，如图，同理可得AM=42，DM=32，\LBED=65o，丫LBED=LABE+LBAE，LABE=15o，\LBAE=65o-15o=50o；（2）解：①丫BF=BA，AB=AC，\BF=AC，\BE丄AF，AE=EF，LABE=LFBE，LBEF=LAFC=90o，\LABE+LBAE=90o=LBAE+LCAF，\LABE=LCAF，\LCAF=LFBE，\EF=FC，②如图，过A作AM丄BC于M，当D在M的右边时，当D在M的左边时，如图，由（1）得：LABE=LCAF，而LAEB=LAFC=90O，AB=AC，综上：AE【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全6．如图所示，在Rt△ABC中，LB=90。，LC=30O，AB=1，BD是LABC的角平分线．(2)若点P在线段BC上，△DPC是直角三角形，求BP的长；(3)若点P在射线BC上，△DPC是等腰三角形，直接写出BP的长．【答案】【答案】(3)BP的长为23-3或1或3．【分析】(1)如下图所示，过点D作DE丄AB，DF丄BC，根据BD是LABC的角平分线，可知DE=DF，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC可得DEDE，根据等腰(2)△DPC是直角三角形，有两种情况，一种情况是DP丄BC时，另一种(3)△DPC是等腰三角形，有三种情况，第一种情况是当点P在线段BC上，CD=CP；第二种情况是PD=CP；第三种情况是当点P在线段BC丫BD是LABC的角平分线，:DE=DF，LABDLABC=45O，△ABC:AC=2AB=2，解得：DE:EB=DE，在Rt△BED中，BDDE丫BD是LABC的角平分线，:LDBP=45o，在△AED中LAED=90o，LA=60o，:LADE=30o，在Rt△DPC中，DP2+DC2=PC2，解得：x1=3-1，x2=1-3(舍:DP=3-1，:PC=2DP=23-2，:BP=BC-PC=3-(23-2)=2-3，综上所述，当BP时，△DPC是直角三角形；（3）解：如下图所示，当点P在线段BC上，CD=CP时，由(2)可知DC=3-3，如下图所示，当点P在线段BC上，PD=CP时，过点P作PM丄CD，则有CM=DMCD设PM=y，则PC=2PM=2y，在Rt△PMC中，PM2+CM2=PC2，\y解得：y，y(舍去)，综上所述，当△DPC是等腰三角形时，BP的长为23-3或1或3．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、分7．已知在Rt△ABC中，7ABC=90o，点P在边AC上，连接BP．(1)如图1，如果点P在线段AB的垂直平分线上，求证：AP=PC；(2)过点P作PDTBP，交边BC于点D，①如图2，如果点P是线段AC的中点，且BD=2CD，求7C的度数；②填空：如果AB=6，BC=8，且△ABP是以BP为腰的等腰三角形，那么PD的长等于．【答案】(1)【答案】(1)见解析①30o【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得AP=BP，则7A=7ABP，再证7CBP=7C，得PC=BP，即可（2）①取BD的中点E，连接PE，由直角三角形斜边上的中线性质得PEBD=BE=DE，再证△BPE≌△CPD（SAS得7BPE=7CPD，则7EPD=7EDP=7C+7CPD=27C，即可解决问题；②分两种情况，a、BP=AP时，b、BP=AB=6时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出PD的长即∴AP=BP，∴7A=7ABP，∴7ABP+7CBP=90o，7A+7C=90o，∴7CBP=7C，（2）解：①如图2，取BD的中点E，连接PE，则BE=DE，BD=2BE=2DE，∴LBPE=LPBC，LEPD=LEDP，∴LPBE=LC，∴LBPE=LCPD，∴LBPE=LCPD=LPBC=LC，∴LEPD=LEDP=LC+LCPD=2LC，即LC+2LC=90o，即LC的度数为30o； 过点P作PM丄BC于点M，则BM=CMBC=4，在Rt△BPD和Rt△PDM中，由勾股定理得：PD2=BD2-BP2=PM2+DM2，22，解得：xb、如图4，BP=AB=6时，LA=LBPA，在Rt△BPD中，由勾股定理得：BP2+PD2=BD2，即6222，解得：m综上所述，PD的长等于，【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角8．在Rt△ABC中，已知LBAC=90o，AB>AC，点D在射线BC上，连接AD，LADB=2LB．(1)如图1，若AD的垂直平分线经过点B，求LC的度数；(2)如图2，当点D在边BC上时，求证：BC=2AD；(3)若AC=2，BD=5CD【答案】(1)54o【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出BA=BD，得到LBAD=LADB=得到5LB=180o，求出LB，最后由LC=90o-LB，即可得到答案；从而推出LBAE=LB，再由LAED=LB+LBAE=2LB，推出LADB=LAED，从而得到AE=ADBC，（3）①当D在边BC上时，作AG丄BC于G，由AE=AD，推出EG=DGED，设CD=x，用x表示出AG、AD、GD、AC、CG，然后在Rt△ADG中和在Rt△ACG中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当D在BC的延长线上时，连接AD，作AH丄BD于H，再取BC的中点E，连接AE，先证明AE=AD，同①,设CD=y，然后在Rt△ADH中和在Rt△ACH中利用勾股定理建立方程，求解即可．\BA=BD\LBAD=LADB=2LB又丫LBAD+LADB+LB=180o\5LB=180o:LC=90o-LB=90o-36o=54o1:AE=BC=BE=CE2:LBAE=LB:LAED=LB+LBAE=2LB又丫LADB=2LB:LADB=LAED:BC=2AD（3）解：如图2，当D在边BC上时，作AG丄BC于G，由（2）可知，AE=AD设CD=x，:BD=5CD=5x:BC=BD+CD=5x+x=6x丫在Rt△ADG中，AG2=AD2-GD2=9x2-x2在Rt△ACG中，AG2=AC2-CG2=22-4x2:9x2-x2=22-4x2解得：x，即CD如图3，当D在BC的延长线上时，连接AD，作AH丄BD于H，再取BC的中点E，连接AE．:LBAE=LB:LAED=LBAE+LB=2LB=LADB:AD=AE设CD=y，:BD=5CD=5y．:BC=BD-CD=5y-y=4y:DE=BD-BE=5y-2y=3y在Rt△ADH中，AH2=AD2-HD2=4yy2在Rt△ACH中，AH2=AC2-CHy2 339．在△ABC中，LACB=90O，AB于点E，点G是线段AD上一点．(1)如图1，连结CG，如果LACG=LB，求证：AG=CE；(2)如图2，连结BG交CE于点P，如果点P恰为BG的中点，求证：AG=2FP；【答案】【答案】(1)见解析【分析】（1）根据直角三角形的性质易证LCAD=LBCE，根据ASA证明△AGC≌△CEB，进而可证（2）延长CP至H，使FP=PH，连接BH，证明△GFP≌△BHP，得到GF=BH，LBHP=LGFP=90o，（3）延长CG交AB于点P，连接GE,DE，由题意易证△CDE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一易得LCDA=LEDA，CG=CE，证明△ADC≌△ADE(SAS)，得CDEG的面积为S梯形CPED-S△GPE=·PE-PE·PG，即可求解．:LCFD=90o，:LBCE+LCDA=LCAD+LCDA=90o，:LCAD=LBCE，丫AC=BC，LACG=LB，:△AGC≌△CEB(ASA)，:AG=CE；（2）证明：延长CP至H，使FP=PH，连接BH，（3）解：延长CG交AB于点P，连接GE,DE，丫LGDD=LACB-LACG=45o，六LGEC+LDEC=LGCE+LDCE=LGCD=45o，六LAPC=LBPC=90o，2+PG2=GE2=1，即PE=六四边形CDEG的面积为S梯形CPED-S△GPE·PEPE·PG，【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，正确的10．已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中LPCQ=90o，探究并解决下列问题：(1)如图①,若点P在线段AB上，且AC=5，PA=22，则：①线段AB=，PB=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；(2)如图②,若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；(3)若动点满足PA:PB=1:3，求PC:AC的值．【答案】【答案】(1)①52,32；②PA2+PB2=PQ2【分析】（1）①在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB，由PB=AB-PA可求得PB的长；②过C作CD丄AB于点D，则可求得AD=CDAB，把PA2和PB2都用PC和CD表示出来，在Rt△PCD中，由勾股定理得到PC和PD,CD的关系，从而可得到PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系；（（2）过C作CD丄AB于点D，把PA2和PB2都用PC和CD表示出来，在Rt△PCD中，由勾股定理得到PC（（3）分点P在线段AB上和线段BA的延长线上，分别利用得到PA和CD的关系，从而可得到PD和CD的关系，在Rt△CPD和Rt△ACD中，利用勾股定理可分别得到PC,AC和CD的关系，从而可求得PC的AC:PB=AB-PA=52-22=32；:CD=AD=DB，2PB22222:PA2+PB2=2CD2:PA2+PB2=2PC2，:2PC2=PQ2，:PA2+PB2=PQ2，（2）证明：如图2，过C作CD丄AB于点D，:CD=AD=DB，2222PB2:PA2+PB2=2CD2+2P在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，:PA2+PB2=2PC2，:2PC2=PQ2，:PA2+PB2=PQ2．∴点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，PAPAPB13在Rt△CPD中，由勾股定理可得PCCD，PAPAPB13在在Rt△CPD中，由勾股定理可得PCCD，并涉及分类讨论的思想．在（2）中注意分别用CD和PD表示出PA和PB是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置，再结合条件找到PC,AC与CD的关系是解题的关键．本题涉及内容不多，但综合性很强．11．已知在△OAB中，7OAB=90o，AO=AB，OB=4，过点O作直线lTOB，点P为直线OA上一点，连接BP，作PDTPB交直线l于点D．(1)如图，当P在线段OA上时．①设7ABP=a，那么7PDO=（用含a的代数式表示②求证：PD=PB；(2)设点P到直线OB的距离为m，当△OPD的面积为4时，请直接写出m的值．【答案】(1)【答案】(1)①45o-a；②见解析(2)1+5或-1+5【分析】（1）①根据等边对等角可求出7AOB=7B=45o，根据余角的性质可得出7OPD=7ABP=α,然②在AB上取点R，使AR=AP，联结PR，根据ASA证明△OPD≌△RBP，即可得证；（2）分P在线段OA上，在点A的右侧，在点O的左侧讨论，根据△OPD的面积为4列出关于m的方程，∴7AOB=7B=45o，∴7OPD=90o-7APB=7ABP=α,∴7PDO=180o-7DOP-7OPD=180o-90o-45o-a=45o-a，故答案为：45o-a；②在AB上取点R，使AR=AP，联结PR，又LDOP=LDOB+LAOB=135o，由①知：LOPD=LABP，又△OPD的面积为4，2-2m+4=0，-2)2-4´4=-12<0，点P在点A的右侧，过P作PQ于Q，在BA的延长线上取点R，使AR=AP，联结PR，又LAOD=90o-45o=45o，六LDOP=LR，又LDPO=LAOP=90o-LAPB，同理可求AP=AR=OP-AO=2m-22，点P在点O的左侧，过P作PQ于Q，在AB的延长线上取点R，使AR=AP，联结PR，△RBP沿着三角形的边AB→BC→CA运动，回到点A停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒．(1)如图①当t=时，△APC的面积等于48cm2；(2)如图①,当△ABP是等腰三角形时，则符合条件的P有个，并求出t的值求出3个即可）(3)如图②,点D在BC边上CDBC，点E在AC边上CEAC，ED丄BC，在△ABC的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，回到点某一时刻，恰好△APQ与△EDC全等，求点Q的运动速度． 845【分析】（1）由题意知，AP=2t，分当P在AB上，点P在BC上，两种情况求解：情况一、当P在AB上（2）由△ABP是等腰三角形，可知分当AB=BP，AB=AP，BP=AP，三种情况求解：情况1：当AB=BP，且点P在BC上时，BP=2t-12，则2t-12=12，计算求解即可；当AB=BP，且点P在AC上时，AP=12+16+20-2t=48-2t，如图①,作BH丄AC于H，则AP=2AH，由S△ABCAB×BCAC×BH，求得BH，由勾股据48-2t，计算求解即可；情况2：当AB=AP，则48-2t=12，计算求解即可；情况3：当BP=AP可得LPBC=LC，则PC=PB=PA，APAC=10，根据48-2t=10，计算求解即可；△APQ≌△EDC，△APQ≌△ECD，两种情况求解：情况①：当△APQ≌△EDC且P在AB上，Q在AC上时，上，P在AC上时，AP=48-2t，AQ=48-xt，则AP=DE，AQ=CE，即48-2t=3，48-xt=5，计算求解即可；情况②：当△APQ≌△ECD且P在AB上，Q在AC上时，AP=2t，AQ=xt，则AP=CE，AQ=DE，即2t=5，xt=3，计算求解即可；当△APQ≌△EDC且Q在AB上，P在AC上时，AP=48-2t，AQ=48-xt，则AP=CE，AQ=DE，即48-2t=5，48-xt=3，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，AP=2t，分当P在AB情况二、当点P在BC上，PC=AB+BC-2t=28-2t，∴分当AB=BP，AB=AP，BP=AP，三种情况求解：当AB=BP，且点P在BC上时，BP=2t-12，当AB=BP，且点P在AC上时，AP=12+16+20-2t=48-2t，如图①,作BH丄AC于H，∴AP=2AH，△ABCAB´BCAC´BH，BH，解得BH，由勾股定理得，AH解得，t84∴当AB=BP时，t的值为12或；5当BP=AP时，如图②,过P作PF丄AB于F，∴7PBA=7A，AF=BFAB，∴7PBC=7C，845丫CDBC，CE=AC，BC=16cm，AC=20cm，由勾股定理得，DE情况①:当△APQ≌△EDC且P在AB上，Q在AC上时，AP=2t，AQ=xt，∴AP=DE，AQ=CE，即2t=3，xt=5，解得，t当△APQ≌△EDC且Q在AB上，P在AC上时，AP=48-2t，AQ=48-xt，∴AP=DE，AQ=CE，即48-2t=3，48-xt=5，解得，x，情况②:当△APQ≌△ECD且P在AB上，Q在AC上时，AP=2t，AQ=xt，∴AP=CE，AQ=DE，即2t=5，xt=3，解得，解得，t当△APQ≌△EDC且Q在AB上，P在AC上时，AP=48-2t，AQ=48-xt，六AP=CE，AQ=DE，即48-2t=5，48-xt=3，解得，x综上所述，点Q的运动速度为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方13．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，Rt△ABC中，LB=90。，LA=30o，重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在AC边上．(1)当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、(2)当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长为三边长的三角形是直角三(3)在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得LFCD=15o？如果存在，求出AD的长；如果不存在，【答案】(1)【答案】(1)12-43【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用（1）因为LB=90。，LA=30oBC=6，所以AC=12，又因为LD=90。，LE=45o，DE=4，所以DF=4，连接FC，设FC∥AB，则可求证LFCD=LA=30o，故AD的长可求；（2）设AD=x，则FC2=DC2+FD2=(12-x)2+16，再分情况讨论:FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边，（3）假设LFCD=15o，因为LEFC=30o，作LEFC的平分线，交AC于点P，则LEFP=LCFP=15o，LDFE+LEFP=60O所以PD=43，PC=FP=8，则PC+PD的值大于边长12，故不存在．当FC∥AB时，（2）设AD=x，在Rt△FDC中，FC2=DC2+FD2=(12-x)2+16由AD2+BC2=FC2得x2+62=(12-x)2+16，解得：x当AD为斜边时，由FC2+BC2=AD2得(12-x)2+16+62=x2，解得：x惠AD=AC-DE=12-4=8，当BC为斜边时，由AD2+FC2=BC2得，x2+(12-x)2+16=36，整理得出:x2-12x+62=0.综上所述：当x时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下:丫LEFC=180o-LD-LFC作LEFC的平分线，交AC于点P，则LEFP=LCFP=15o，LDFE+LEFP=60o，【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应14．等腰直角三角形OAB中，LOAB=90o，OA=AB，点D为OA中点，DC丄OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM，CM，如图①.(1)求证：AM=CM；(2)将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90o，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM，CM，OM，如图②.①求证：AM=CM，AMTCM；②若AB=4，求△AOM的面积．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②S△AOM=2（2）①根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质可得△OCD是等腰直角三角形，如图所示，延于T，连接AT，可证△CDM丝△TBM)ASA(，△OAC丝△BAT)SAS(，可得△CAT是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；②根据上述证明，分别求出OC,BT,OT,CT,AM,CM的值，如图所示，过点M作MNTOA于N，根据勾股定理可求出MN的值，由此即可求解．∴AM=CM．（2）解：①根据题意可知，在图①中，∴7ABO=7AOB=45o，∴7OCD=90o，∴7ODC=7AOB，如图所示，延长CM交OB于T，连接AT，由旋转知，7COB=90o，DC∥OB，∴LCDM=LTBM，∴DM=BM，丫LCMD=LTMB，丫LAOC=LBOC-LAOB=45o=LABO，∴△OAC≌△BAT(SAS)，∴AC=AT，LOAC=LBAT，∴LCAT=LOAC+LOAT=LBAT+LOAT=LOAB=90o，∴AM丄CM，AM=CM；②在Rt△AOB中，AB=4，在图①中，点D是OA的中点， 由①知，BT=CD，在Rt△OTC中，CT如图所示，过点M作MN丄OA于N，在Rt△OMN中，根据勾股定理得，MN△AOMOA.MN【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质三角形中斜边中线等于斜边一半等知识的综合运用，掌握以上知识的灵15．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC,LBAC=β,点D是直线BC上一点，连接AD，将线段绕点A顺时针旋转β得到线段AE，连接DE，BE．(1)当β=60o，且点D在线段BC上时，线段BE与CD之间的数量关系是．(2)如图2，当β=90o，且点D在线段BC上时，猜想线段BD，CD，DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)【答案】(1)BE=CD(2)BD2+CD2=DE2，理由见解析【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾（2）同理可证△ABE≌△ACD(SAS)，那么LABE=LACB=45o，BE=CD，得到LEBD=90o，然后根据（3）由勾股定理求出BC，然后分当点D在线段BC上时，当点D在线段BC的延长线上时，当点D在线段丫将线段AD绕点A顺时针旋转60o得到线段AE，\AE=AD，LEAD=60o，\LEAD-LBAD=LBAC-LBAD，\LEAB=LDAC，\BE=CD；故答案为：BE=CD；（2）解：BD2+CD2=DE2，理由如下：∴LACB=LABC=45o．由题意可知，AE=AD，LBAE=LCAD，∴LABE=LACB=45o，BE=CD．∴LEBD=LABC+LABE=90o．在Rt△BED中，BD2+BE2=DE2,\BD2+CD2=DE2.∴AB=AC=4．∴在Rt△BAC中，由勾股定理，得①当点D在线段BC上时，\BD=BC-CD=32.由(2)，得在Rt△BED中，由勾股定理，得BD2+BE2=DE2，②当点D在线段BC的延长线上时，如图．∴LDAC=LEAB．又AB=AC，AE=AD，又LADE=LAED=45o，\LBED+LBDE=LAEB+LAED+LBDE=LADC+LBDE+LAED=LADE+LAED\LEBD=90o．\CD2+BD2=DE2，DE2.\DE=213，③当点D在线段CB的延长线上时，CD>CB，不满足条件．综上所述，DE的长为25或213．16．如图，已知在直角△ABC中，LABC=90o，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED丄AC，交BC边(2)如图2，作7ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若LBDE=LCDF，求证：AE+DE=2BE；(3)如图3，若LC=30o，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点EDF在AC边上运动的过程中，当BFTAC时，直接写出的值．DA【答案】(1)8【答案】(1)8【分析】（1）根据ED丄AC，LC=4△ABE丝△DBT(ASA)，由此将AE+DE转换为TE，再证明△BET是等腰直角三角形，由（3）根据含特殊角的直角三角形的性质可证△AD=2BDa，如图所示，连接AF，可得△AFE是等边三角形，DFa，由此即∴LEDC=LC=45。，（2）证明：如图2中，过点B作BT丄BE交ED的延长线于点T，丫LBDE=LCDF，∴LCDE=LBDF，∴LEDC=LA，丫LABC=LEBT=90o，六LABE=LDBT，丫LBDT=LCDE=LA，六BE=BT，AE=DT，当BF丄AC时，LABG=30o，六LFBE=LCBE=30o，又丫LC=LEBC=30o，六LABE=LBAE=LAEB=60o，在Rt△ABD中，AD=2BDa，如图所示，连接AF，丫GETBF，EF=EB，∴7AEF=7AEB=60o，∴AF=AE=AB，∴7FAD=7FAE+7EAD=60o+30o=90o，【点睛】本题主要考查含特殊角的直角三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和的运用，等腰三角形、等边三角形的判定和性质等知识的综合，掌握勾股定理，添17．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合把△ABC沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为PQ．(1)若点D恰好在AC边上．①如图1，当PQ∥AC时，连接AQ，求证：AQTBC．②如图2，当DPTAB，且BP=3，CD=2，求△ABC与△CDQ的周长差．(2)如图3，点P在AB边上运动时，若直线l始终垂直于AC，△ACD的面积是否变化？请说明理由．【答案】(1)①证明见解析；②12【分析】（1）①如图1中，连接AQ，BD．BD交PQ于O．证明点Q是BC的中点PA=x，则AB=AC=x+3，AD=AC-CD=x+1，在Rt△APD中，利用勾股定理构建方\PQ垂直平分线段BD，\LC=LPQB，LQDC=LPQD，\LC=LQDC，\DQ=QC，\BQ=QC，\LAPD=90o，\AD2=PA2+PD2，解得x=4，理由：连接BD，\BD丄PQ，\BD∥AC，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻折变换，平行线的性质，勾股定理等知识（3）如图2所示，在△ABC中，7B＝27A，②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BGAG=(a+c)，两个直角三【详解】解1）如图1，假设Rt△ABC:ab+a2=c2，在Rt△ABC中，LC=90o，根据勾股定理得，a2+b2=c2，:ab+b2=a2+b2，:ab=a2，:a=b，:ΔABC是等腰直角三角形，:等腰直角三角形是类勾股三角形，（2）丫AB=BC，AC>AB，:a=c，b>c，:ac+a2=b2，:c2+a2=b2，:ΔABC是等腰直角三角形，:LA=45o，（3）①在ΔABC中，LABC=2LBAC，LBAC=28o，:LABC=56o，根据三角形的内角和定理得，LACB=180o-LBAC-LABC=96o，:Ⅰ、分割线分LACB，(Ⅰ)、当LBCD=LBDC时，:LBCD=LBDC=62o，:LACD=LACB-LBCD=96o-62o=34o，:ΔACD不是等腰三角形，此种情况不成立；:LBDC=68o，:LACD=40o，:ΔACD是等腰三角形，此种情况不成立；:ΔACD是等腰三角形，Ⅱ、分割线分LABC，同(Ⅰ)的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分割线分LBAC，同(Ⅱ)的方法，判断此种情况不成立；②如图，在AB边上取点D，连接CD，使LACD=LA，作CG丄AB于G，\LCDB=LACD+LA=2LA，丫LB=2LA，\LCDB=LB，\CD=CB=a，丫L