一元二次方程的知识点总结

一元二次方程知识点得总结知识结构梳理(1)含有个未知数。 (2)未知数得最高次数就是 1、概念 (3)就是方程。 (4)一元二次方程得一般形式就是。 (1)法,适用于能化为得一元。二次方程一元二次方程 (2)法,即把方程变形为ab=0得形式,一元二次方程2、解法(a,b为两个因式),则a=0或 (3)法 (4)法,其中求根公式就是 当时,方程有两个不相等得实数根。 (5)当时,方程有两个相等得实数根。 当时,方程有没有得实数根。 可用于解某些求值题 (1)一元二次方程得应用 (2) (3) 可用于解决实际问题得步骤(4) (5) (6)知识点归类建立一元二次方程模型知识点一一元二次方程得定义如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数得二次多项式,那么这样得方程叫做一元二次方程。注意:一元二次方程必须同时满足以下三点:①方程就是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数得最高次数就是2、同时还要注意在判断时,需将方程化成一般形式。例下列关于得方程,哪些就是一元二次方程？⑴;⑵;(3);(4);(5)知识点二一元二次方程得一般形式一元二次方程得一般形式为(a,b,c就是已知数,)。其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意:(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面得符号。(2)要准确找出一个一元二次方程得二次项系数、一次项系数与常数项,必须把它先化为一般形式。(3)形如不一定就是一元二次方程,当且仅当时就是一元二次方程。例1将下列方程化为一般形式,并分别指出它们得二次项系数、一次项系数与常数项。(1);(2);(3)例2已知关于得方程就是一元二次方程时,则知识点三一元二次方程得解使方程左、右两边相等得未知数得值叫做方程得解,如:当时,所以就是方程得解。一元二次方程得解也叫一元二次方程得根。知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型得步骤就是:审题、设未知数、列方程。注意:(1)审题过程就是找出已知量、未知量及等量关系;(2)设未知数要带单位;(3)建立一元二次方程模型得关键就是依题意找出等量关系。例如图(1),有一个面积为150㎡得长方形鸡场,鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,若竹篱笆得长为35m,求鸡场得长与宽各为多少？ 鸡场(只设未知数,列出方程,并将它化成一般形式。) 因式分解法、直接开平方法知识点一因式分解法解一元二次方程如果两个因式得积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时,则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程得一般步骤:(1)将方程得右边化为0;(2)将方程左边分解成两个一次因式得乘积。(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。(4)解这两个一元一次方程,它们得解就就是原方程得解。关键点:(1)要将方程右边化为0;(2)熟练掌握多项式因式分解得方法,常用方法有:提公式法,公式法(平方差公式,完全平方公式)等。 例用因式分解法解下列方程:(1);(2);(3)。知识点二直接开平方法解一元二次方程若,则叫做a得平方根,表示为,这种解一元二次方程得方法叫做直接开平方法。(1)得解就是;(2)得解就是;(3)得解就是。例用直接开平方法解下列一元二次方程(1);(2);(3)知识点三灵活运用因式分解法与直接开平方法解一元二次方程形如得方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。例运用因式分解法与直接开平方法解下列一元二次方程。(1);(2)知识点四用提公因式法解一元二次方程把方程左边得多项式(方程右边为0时)得公因式提出,将多项式写出因式得乘积形式,然后利用“若pq=0时,则p=0或q=0”来解一元二次方程得方法,称为提公因式法。如:,将原方程变形为,由此可得出注意:在解方程时,千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数得式子,否则可能丢失原方程得根。知识点五形如“”得方程得解法。对于形如“”得方程(或通过整理符合其形式得),可将左边分解因式,方程变形为,则,即。注意:应用这种方法解一元二次方程时,要熟悉“”型方程得特征。例解下列方程:(1);(2)配方法知识点一配方法解一元二次方程时,在方程得左边加上一次项系数一半得平方,再减去这个数,使得含未知数得项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程得方法叫做配方法。注意:用配方法解一元二次方程,当对方程得左边配方时,一定记住在方程得左边加上一次项系数得一半得平方后,还要再减去这个数。例用配方法解下列方程:(1);(2)知识点二用配方法解二次项系数为1得一元二次方程用配方法解二次项系数为1得一元二次方程得步骤:在方程得左边加上一次项系数得一半得平方,再减去这个数;把原方程变为得形式。若,用直接开平方法求出得值,若n﹤0,原方程无解。例解下列方程:知识点三用配方法解二次项系数不就是1得一元二次方程当一元二次方程得形式为时,用配方法解一元二次方程得步骤:(1)先把二次项得系数化为1:方程得左、右两边同时除以二项得系数;(2)移项:在方程得左边加上一次项系数得一半得平方,再减去这个数,把原方程化为得形式;(3)若,用直接开平方法或因式分解法解变形后得方程。例用配方法解下列方程:(1);(2)公式法知识点一一元二次方程得求根公式一元二次方程得求根公式就是:用求根公式法解一元二次方程得步骤就是:(1)把方程化为得形式,确定得值(注意符号);(2)求出得值;(3)若,则把及得值代人求根公式,求出。例用公式法解下列方程(1);(2);(3)知识点二选择适合得方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边得含有未知数得平方式,右边就是一个非负数或也就是一个含未知数得平方式得方程因式分解要求方程右边必须就是0,左边能分解因式;公式法就是由配方法推导而来得,要比配方法简单。注意:一元二次方程解法得选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法,不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,因为配方法解题比较麻烦。例用适当得方法解下列一元二次方程:(1);(2);(3)知识点三一元二次方程根得判别式一元二次方程根得判别式△=运用根得判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程得根得情况:△=﹥0方程有两个不相等得实数根;△==0方程有两个相等得实数根;△=﹤0方程没有实数根;利用根得判别式判定一元二次方程根得情况得步骤:①把所有一元二次方程化为一般形式;②确定得值;③计算得值;④根据得符号判定方程根得情况。例不解方程,判断下列一元二次方程根得情况:(1);(2);(3)知识点四根得判别式得逆用在方程中,(1)方程有两个不相等得实数根﹥0(2)方程有两个相等得实数根=0 (3)方程没有实数根﹤0注意:逆用一元二次方程根得判别式求未知数得值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例为何值时,方程得根满足下列情况:(1)有两个不相等得实数;(2)有两个相等得实数根;(3)没有实数根;知识点五一元二次方程得根与系数得关系若就是一元二次方程得两个根,则有,根据一元二次方程得根与系数得关系求值常用得转化关系:(1)(2)(3);(4)││==例已知方程得两根为,不解方程,求下列各式得值。(1);(2)。知识点六根据代数式得关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式得问题时,要善于用一元二次方程表示题中得数量关系(即列出方程),然后将方程整理成一般形式求解,最后作答。例当取什么值时,代数式与代数式得值相等？一元二次方程得应用知识点一列一元二次方程解应用题得一般步骤审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答。关键点:找出题中得等量关系。知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关得到问题增长率问题与降低率问题得数量关系及表示法:(1)若基数为a,增长率为,则一次增长后得值为,两次增长后得值为;(2)若基数为a,降低率为,则一次降低后得值为,两次降低后得值为。例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨,设这两年得年平均增长率为,列出关于得方程为知识点三用一元二次方程解与市场经济有关得问题与市场经济有关得问题:如:营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关得常用关系式有:(1)每件利润=销售价-成本价;(2)利润率=(销售价—进货价)÷进货价×100%;(3)销售额=售价×销售量例某商店如果将进货价为8元得商品每件10元售出,每天可售200件,现在采取提高售价,减少进货价得方法增加利润,已知这种商品每涨价0、5元,其销量减少10件。(1)要使每天获得700元,请您帮忙确定售价。(2)当售价定为多少时,能使每天获得得利润最多？并求出最大利润。第二章一元二次方程(补充)※只含有一个未知数得整式方程,且都可以化为(a、b、c为常数,a≠0)得形式,这样得方程叫一元二次方程。※把(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程得一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。※解一元二次方程得方法:①配方法<即将其变为得形式>②公式法(注意在找abc时须先把方程化为一般形式)③分解因式法把方程得一边变成0,另一边变成两个一次因式得乘积来求解。(主要包括“提公因式”与“十字相乘”)※根与系数得关系:当b2-4ac>0时,方程有两个不等得实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等得实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根。※如果一元二次方程得两根分别为x1、x2,则有:。※一元二次方程得根与系数得关系得作用:(1)已知方程得一根,求另一根;(2)不解方程,求二次方程得根x1、x2得对称式得值,特别注意以下公式:①