创新思想-2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

创新思想—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题一、代数式中的创新思想1．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程x2A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．若一个点的坐标满足m,3m，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数y=xA．n<1 B．n<0 C．0<n<1 D．−1<n<03．我们知道”若ab=cA．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价B．配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间D．一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变4．在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将26个汉字依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（如下表），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号y=x+12;汉字山夏亲河盛故土国九心：州我炎序号12345678910111213汉字黄爱振系情祖牵繁中荣母华兴序号14151617181920212223242526根据上述规定，将明码“祖国母亲”译成密码为（）A．心系华夏 B．我爱中华 C．我爱华夏 D．心系中华5．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是．6．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：Mab7．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且∣x1∣+∣x28．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程x29．一个正整数x能写成x=a2−b2（a，b均为正整数），则称x为“美满数”，a，b为x的一个美满分解，并规定：F10．感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数y=−x2+2x+5的图象与其关于直线y=−x对称的图象所组成，若两图象相交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD11．先观察下列等式，再回答问题：①1+1②1+1③1+1（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想1+1（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．对任何实数a可a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1，计算：12．小吴利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为-1时，输出y的值为-3；输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为6时，输出y的值为3.（1）根据题意，填空：a=，b=，k=．（2）小吴在平面直角坐标系中画出了函数y关于x的大致图象，如图2所示.①若关于每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，求出所有符合要求的y的值.②若在函数图象上有P，Q两点(P在Q的左侧).P的横坐标为t，Q的横坐标为-t+4.小吴对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行了研究，当此函数的最大值m与最小值n的差是一个定值时，请直接写出t的取值范围.13．小强利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序图如图①所示，输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为−1时，输出y的值为1；输入x的值为−2时，输出y的值为2．根据以上信息解答下列问题．（1）求k，a，b的值．（2）图②中，根据程序图请你画出一次函数和二次函数的大致图象．（3）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．（4）当关于x的方程ax2+bx+2=t二、几何中的创新思想14．小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．15．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诚编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一，如图2是古人根据（营造法式》中的”五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：①作线段AB的垂直平分线MN.垂足为D；②在射线DM上截取DC=a③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O：④以点O为圆心，OC的长为半径作ACB.则ACB就是所要作的圆弧.请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）.16．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点A、点B，把河岸抽象为直线L，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．A．B．C．D．（2）如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，AC=10米，BD=20米，CD=40米，牧童从A处把牛牵到河边L饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．（3）已知a+b=8a>0,b>0，求a17．光的折射．物理常识光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即n=sinα【概念理解】（1）如图①，若入射角α的度数为60°，折射率n=3（2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率n=2，PA是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线AQ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）【深入思考】（3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率n=43，直线l上有一个位置固定的遮光板AB，且M是AB的中点；在直线l下方有一个圆形区域⊙O，且⊙O与AB相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板AB的遮挡，使得折射光线不能进入⊙O的内部．已知⊙O的半径为3，①点光源P到直线l的距离的最大值是_______；②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”）18．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式x2+4+8−x2+16的最小值”．小强同学发现x2（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a+b=12．求a2（3）方法应用：已知a，b均为正数，且4a2+b219．问题解决策略：归纳活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题．【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点．如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图2−4中作出第四种情况．【类比发现】请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中．长方形内直线的条数2345…最多的交点个数1…【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点；活动二：（1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于3×9=27，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“3×9”的结果．类似地，1×9=9，2×9=18，4×9=36，…，9×9=81也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：9n=10⋅(______)+(______)；（2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从1×8=8，2×8=16，3×8=24，…，8×8=64的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则3×8=2×9+6=24．20．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）请补全上表中的勾股数.（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花?三、统计概率中的创新思想21．如图，某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动.在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当成数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让小军从最外环任一个进口进入.（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少?请通过画树状图进行说明.（2）小组两名组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果定胜负.游戏规则如下：小军若能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军若不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环形路进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平.（3）在(2)的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问：小军至少几次进入迷宫中心?22．小蒙设计了一个抽奖游戏：如图，宝箱是由7×7的方格组成的，方格中随机放置着10个奖品，每个方格中最多能放一个奖品.（1）如果随机打开一个方格，那么获得奖品的概率是.（2）为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏.小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现出了数字2(如图).小蒙解释，这说明与这个方格相邻的8个方格(即区域A)中有2个放置了奖品.进行第二次抽奖，小雨将有两种选择：打开区域A中的方格或打开区域A外的方格.为了尽可能获得奖品，你会建议小雨如何选择?为什么?23．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：第一行：第二行：第三行：第四行：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定．（1）求第四行最后一张白色卡片上数字．（2）小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率．24．如图（1），线段AE和BD相交于点C，连接AB，（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率是_________；（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．25．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，测将这些人平均分成两组，每组例如，当待检测的总人数为4，且标记为“×”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图表示．从图中可以看出，需要经过3轮共n次检测后，才能确定标记为“×”的人是唯一感染者．（1）n=；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮7次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知，x2+4x+3=1x，那么设对于y=x2+4x+3=当y=0时，x1=−3，x2=−1，那么该抛物线过当x=1时，y=1+4+3=8，那么该抛物线过(1,8)，对于y=1x，x=1时，x=−1时，y=−1，x=−3时y=−1那么该双曲线过(1,1)，(−1,−1)，(−3,−1从图象可知，y=x2+4x+3和y=故答案为：D．

【分析】在同一平面直角坐标系中画出y=x2+4x+32．【答案】A【解析】【解答】解：根据“倍数点”定义，设倍数点为m,3m，代入函数y=x2+x+n∴m2∵总有两个不同的倍数点，∴方程有两个不同的实根，∴Δ=−22−4n>0∴n<1，故答案为：A．【分析】根据倍数点的定义，点m,3m在二次函数上，代入得方程m2−2m+n=0，再根据总有两个不同的倍数点，该方程需有两个不同的实根，即可得Δ=−22−4n>03．【答案】B【解析】【解答】解：题中给出性质：若ab=c选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意；选项B中，设原盐水中盐质量为a，水质量为b，得ab=18，新加入盐c=1g，水d=8g，得cd选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意；选项D中，原长宽比32，增加的长和宽的比是23≠故答案为：B.【分析】结合各选项的实际场景，判断符合题中给出的性质的解答即可．4．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意得，祖对应的序号为19，则密码对应的序号是19+12=10，即为心

国对应的序号为8，则密码对应的序号是82+13=17，即为系

母对应的序号为24，则密码对应的序号是242故答案为：A【分析】根据题意，结合有理数的加法，除法即可求出答案.5．【答案】2024【解析】【解答】解：[x55y4z∴x5即“？”处的数字是2024，故答案为：2024．

【分析】先根据幂的乘方和多项式除以多项式，单项式乘单项式的运算法则化简，再找出规律，写出结果即可．6．【答案】﹣16【解析】【解答】根据新定义的运算规则Mab=a2b−b，

M37．【答案】74【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根，

所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。

由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论：

1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2，

所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立；

2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。

根据根与系数的关系，x1−x2=(x1+x2)2−4x1x2=(−3)2−4(−m)=9+4m。

故答案为：74【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。8．【答案】9【解析】【解答】解：设x1、x2是方程ax2+bx+1=0a>0的两根，

解得x1=−b+b2−4a2a，x2=−b−b2−4a2a，

∵原方程是“邻根方程”，

∴−b+b2−4a2a9．【答案】7117或7【解析】【解答】解：设原两位正整数的十位数字为m，个位数字为n(m>n,m,n均为正整数），则原数为10m+n，新数为10n+m，∵新数与原数是4752的一个美满分解，a=10m+n，b=10n+m又∵a将a=10m+n，b=10n+m代入a2a=11可得：m+nm−n=48（此方程有两组符合题意的解，分别为：m=7n=1或当m=7n=1时，a=71∴F4752当m=8n=4时，a=84∴F4752综上，F4752的值为7117或故答案为：7117或7【分析】本题以新定义“美满数”为背景，考查了因式分解与不定方程在数论问题中的应用。设原两位数的十位数字为m、个位数字为n（m>n），则原数为10m+n，新数为10n+m，且a=10m+n，b=10n+m是4752的一个美满分解，由a2-b2=4752得99(m+n)(m-n)=4752，即(m+n)(m-n)=48。解此不定方程得两组正整数解：(m，n)=(7，1)或(8，4)，分别代入得F(4752)=7117或710．【答案】5【解析】【解答】解：设任意点Em,n关于直线y=−x对称的点F，EF交y=−x于G，过E作EM⊥y轴于M，过F作EN⊥x轴于N，连接OE，OF，则OE=OF，∠ONF=∠OME=90°∴∠EOG=∠GOF，∵∠NOG=∠GOM=45°，∴∠NOF=∠EOM，∴△OME≌△ONFAAS∴OM=ON，ME=NF，∵Em,n∴OM=ON=−n，ME=NF=m，∴F−n,−m设二次函数y=−x2+2x+5的图象上有任意一点x,y，则点x,y与关于直线y=−x对称的点为−y,−x，若两图象相交于A，B，C∴二次函数y=−x2+2x+5的图象与关于直线y=−x对称的图象解析式为−x=−联立y=−x2+2x+5∴y=−x或y=x−1，当y=−x时，联立y=−x2+2x+5y=−x，解得∴C3+292∴AC=3−当y=x−1时，联立y=−x2+2x+5y=x−1，解得∴B−2,−3，D∴BD=−2−3∴四边形ABCD的面积为12故答案为：529【分析】本题考查二次函数的综合，轴对称的性质，先求出任意一点x,y关于直线y=−x对称的点坐标为−y,−x，得到对称后的解析式为−x=−−y2+2−y+5，再解方程求出A，B，C，D四点坐标，求出AC和BD，最后根据AC⊥BD11．【答案】（1）1（2）1+1【解析】【解答】解：（1）1+1（2）由题干信息归纳可得：1+1∴1+====49．

【分析】本题考查二次根式的规律探究、取整函数（高斯函数）的应用.（1）观察已知等式，发现1+1n2+1（2）先将每一项二次根式按规律拆分为1+1nn+1（1）解：1+1（2）由题干信息归纳可得：1+1∴1+====49．12．【答案】（1）−1；2；−9（2）解：①由（1）得y=−当x<3时，y=−(x−1)2+1当x=3时，y=2×3−9=−3，即点坐标为(3,如图，当经过点(1,1)或∴所有符合要求的y的值为1或−3；

②−1≤t≤1【解析】【解答】解：（1）解：∵x=−1<3，x=1<3，∴将x=−1，y=−3和x=1，y=1分别代入y=ax得：a−b=−3a+b=1解得：a=−1b=2∵x=6>3，∴将x=6，y=3代入y=2x+k，得12+k=3，解得：k=−9，故答案为：−1，2，−9；

（2）②∵xP=t，xQ=−t+4，且∴t<−t+4，解得t<2，解方程−(x−1)2+1=0得x=0解方程−(x−1)2+1=−3得x=−1解方程2x−9=0得x=9解方程2x−9=1得x=5，∵t<2，∴−t+4>2，分情况讨论，当1<t<2时，则−2<−t<−1，∴2<−t+4<3，由图象得，当x=t时取得最大值，为m=−t当x=−t+4时取得最小值，为n=−(−t+4)∴m−n=−=−=−=−4t+8，不是定值，不符合题意；当−1≤t≤1时，则−1≤−t≤1，∴3≤−t+4≤5，由图象得，当x=1时取得最大值，为m=1，当x=3时取得最小值，为n=−3，∴m−n=1−(−3)=4，是定值，符合题意；当t<−1时，则−t>1，∴−t+4>5，由图象得，当x=−t+4时取得最大值，为m=2(−t+4)−9，当x=t时取得最小值，为n=−t∴m−n=2(−t+4)−(−t综上，−1≤t≤1．【分析】（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式中解方程或方程组即可；（2）①把问题转化为经过点(1,1)或(3,②可求t<2，分1<t<2，−1≤t≤1，t<−1三种情况根据函数的增减性得到最大值和最小值解答即可．13．【答案】（1）解：∵输入x的值为1时，输出y的值为1，且1＞0，

∴1=k+2，

∴k=−1；

∵输入x的值为−1时，输出y的值为1；输入x的值为−2时，输出y的值为2，−1<0，−2<0，

∴1=a−b+22=4a−2b+2，

∴a=1（2）解：∵k=−1，a=1，b=2，

∴一次函数解析式为y=−x+2，二次函数解析式为y=x2+2x+2=x+12+1，

令一次函数y=−x+2中x=2，则y=−2+2=0，x…−3−2−101…y…52125…函数图象如下：

（3）解：当x≤0时，y=x2+2x+2=x+12+1的对称轴为直线x=−1，开口向上，

∴当x≤−1时，y随x的增大而减小；

当x>0时，y=−x+2，k=−1<0，

∴x>0时，y随x的增大而减小；（4）解：t=−12+410或t>2【解析】【解答】（4）解：∵关于x的方程ax2+bx+2=t−12x+1（x≤0，t为实数）只有一个实数解，

∴抛物线y=ax2+bx+2x≤0与直线y=t−12x+1只有一个交点，

由（1）知a=1，b=2，则y=x2+2x+2，

当抛物线y=x2+2x+2与直线y=t−12x+1只有一个交点时，

联立y=x2+2x+2y=t−12x+1得x2+4+t2x+2−t=0，即方程有两等根，

∴Δ=4+t22−42−t=0，

解得t=−12+410或t=−12−410，

当t=−12+410时，则x=−4+−12+4104=2−10<0（2）由（1）可知一次函数解析式为：y=−x+2，二次函数解析式为：y=x（3）根据（2）中函数图象找出图象从左至右依次下降部分对应的自变量的取值范围即可；（4）方程ax2+bx+2=t−12x+114．【答案】解：作法：(1)作AB的垂直平分线CD交AB于点O；(2)分别以A、B为圆心，以AO(或BO)的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；(3)连接OM、ON即可.【解析】【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是6015．【答案】解：如图，即为所求.【解析】【分析】直接根据作图步骤进行尺规作图即可.16．【答案】（1）D（2）解：如图，延长AC至点A'，使得AC=A'C，连接过点A'作A'P∥CD，与BD则A'在Rt△A'BP中，BP=AC+BD=30∴A（3）解：如图，设线段DE=a+b=8=DM+EM，作AD⊥DE，BE⊥DE，取AD=2，BE=4，

a2+16+b2+4的值可看作AM+BM的值．

当A，M，B三点共线时，AM+BM的值最小，

即AM+BM的最小值为AB的长．

作AC⊥BE于点C，

∴【解析】【解答】（1）解：选：D，理由：如图，作点A关于直线L的对应点A'，连接A'B交直线L于点C，则点C就是所要求作点．在直线L在任取另一点D由轴对称的性质可得：AC=AAC+BC=A'C+BC=在△A'BD∴AC+BC<AD+DB，故选：D．【分析】（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与b的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得AM=a17．【答案】解：（1）∵α=60°，∴sinα=sin60°=32，

∵n=sinαsinβ=3，

∴sinα=3sinβ=32，

∴sinβ=12，

∴β=30°；

（2）过点P作PM⊥法线，作线段PM的中垂线，以A为圆心，AP为半径画弧，交PM的中垂线于点N，连接NA并延长，即可得到折射光线AQ，如图：

由作图可知：【解析】【解答】（3）①过点A，B作直线l的垂线，当折射光线过点A,B且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，如图：∵入射角相等，∴∠PAB=∠PBA=90°−入射角，∴PA=PB，连接PM,OM,OB，设折射光线BC与圆相切于点C，连接OC，∵M为AB的中点，∴PM⊥AB，AM=BM，∵M,C为⊙O的切点，∴OM⊥AB,OC⊥BC，OM=OC,BM=BC，∴O,M,P三点共线，OP∥BE，∵OB=OB，∴△OBM≌△OBC，∴∠OBC=∠OBM，∵⊙O的半径为3，AB=2，∴OM=3∴tan∠MOB=∴∠MOB=30°，∴∠OBC=∠OBM=60°，∵OP∥BE，∴∠OBE=∠MOB=30°，∴∠EBC=∠OBC−∠OBE=30°，即折射角β=30°，∵n=4∴sinα=∵OP∥BE，∴∠MPB=α，∴sin∠MPB=sinα=∴BP=3∴PM=BP2②由①可知，满足条件的点光源P所形成的区域面积为△ABP的面积，sinα=n⋅∴S△ABP∴当折射率变大，α变大，PM的值变小，∴△ABP的面积变小，即：满足条件的点光源P所形成的区域面积变小；故答案为：①52；②【分析】（1）根据折射率的定义和特殊角三角函数值即可解答；（2）结合新定义，与尺规作图作垂线，先过点P作PM⊥法线，作线段PM的中垂线，以A为圆心，AP为半径画弧，交PM的中垂线于点N，连接NA并延长，即可得到折射光线AQ；（3）①过点A，B作直线l的垂线，当折射光线过点A,B且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，为PM的值，利用切线长定理结合新定义，进行求解即可；②根据题意，得到满足条件的点光源P所形成的区域面积为△ABP的面积，随着入射角的增大，折射率变大，得到PM逐渐减小，进而面积逐渐减小即可．18．【答案】解：（2）如图所示，AC=2，CD=a，DE=b，BE=3，

在Rt△ACD中，AD=AC2+CD2=a2+4，

在Rt△BED中，BD=DE2+BE2=b2+9，

∴a2+4+b2+9=AD+BD，

∴要想a2+4+b2+9的值最小，则AD+BD的值最小，

∴当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，

过点B作BF⊥AC交AC延长线于F，

∵EC⊥AF，BF⊥AC，BE⊥AC，

∴四边形BECF是矩形，

∴BF=CE=CD+DE=a+b=12，CF=BE=3，

∴AF=AC+CF=5，

∴AB=AF2+BF2=13，

【解析】【解答】解：（1）如图所示，AC=2，CD=x，DE=8−x，BE=4，

在Rt△ACD中，AD=AC2+CD2=x2+4，在Rt△BED中，BD=DE2+BE2=8−x2+16，

∴x2+4+8−x2+16=AD+BD，

∴要想x2+4+8−x2+16的值最小，则AD+BD的值最小，

∴当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB，

过点B作BF⊥AC交AC延长线于F，

∵EC⊥AF，BF⊥AC（2）如图，把a2+4看成直角边分别为a和2的直角三角形的斜边长，（3）如图，把a2+b2看成两直角边分别为a和b的直角三角形斜边长，把4a2+b2看成两直角边分别为2a和b的直角三角形斜边长，把a19．【答案】解：【特例研究】：根据题意得：

第四种情况如图：

【类比发现】：

2条直线最多只有1个交点，

3条直线最多有1+2=3个交点，

4条直线最多有1+2+3=6个交点，

以此类推可知，5条直线最多有1+2+3+4=10个交点，

补全表格如图，长方形内直线的条数2345…最多的交点个数13610…【猜想分析】：45.

【活动二】：（1）n−1；10−n.

（2）从左数起，往下移动的为第x根小棒；8x=9x−1【解析】【解答】解：【猜想分析】：由类比发现的结论可知：n条直线最多有1+2+3+⋯+n−1∴10条直线最多有10×92故答案为：45.【活动二】：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩n−1根手指，即十位是n−1，右边还剩10−n根手指，即个位是10−n，∴9n=10n−1故答案为：n−1，10−n.（2）设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩x−1木棒，右边还剩9−x木棒，根据规律得：8x=9故答案为：从左数起，往下移动的为第x根小棒；8x=9x−1+9−x．【类比发现】：分别求出2条直线最多只有1个交点，3条直线最多有1+2=3个交点，4条直线最多有1+2+3=6个交点，据此得n条直线最多有n条直线最多有1+2+3+⋯n−1个交点，即可补全表格.【猜想分析】：根据【类比发现】得n条直线最多有n条直线最多有1+2+3+⋯n−1个交点，即可得10条直线最多有10×92【活动二】：（1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩n−1根手指，即十位是n−1，右边还剩10−n根手指，即个位是10−n，进一步得9n=10n−1（2）设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩x−1木棒，右边还剩9−x木棒，根据规律得：8x=9x−120．【答案】（1）24（2）解：若任取两个正整数m和n(m>n)，则a=∵a2+=∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)（3）解：最短边种21株，边长20m，对应勾股数20，21，29每三角形种花：21+22+30−3=70(株)四块绿地一共：70×4=280(株)【解析】【分析】（1）x=262−102=2421．【答案】（1）解：画树状图如图所示.由图，可知共有12种等可能的结果，其中乘积是5的倍数的结果有4种，∴P(进入迷宫中心)=（2）解：不公平.由树状图可知，P(5的倍数)=13，P(非5的倍数的奇数)∵∴不公平.可将第二道环形路进口处的数4改为任意一个奇数（3）解：设小军x次进入迷宫中心，则2x+3(10-x)≤28，解得x≥2.∴小军至少2次进入迷宫中心【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小军能进入迷宫中心的情况，再利用概率公式即可求得答案；

(2)利用(1)中列树状图得到的概率，进而分析得出答案.22．【答案】（1）10（2）解：我会建议小雨打开区域A中的方格.∵P(打开区域A中