2027届新高考数学热点精准复习导数的概念及运算

2027届新高考数学热点精准复习导数的概念及运算一、单项选择题1.

已知函数f(x)=x3-x,则f'(1)=(

)A.-1B.0

C.1

D.2基础过关由题,f'(x)=3x2-1,将x=1代入,可得f'(1)=3-1=2,故选D.解析2.某火箭发射离开发射架后,距离地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系式是h(t)=100+1.5t2+4t,设其在t=0s时的瞬时速度为v0,则当其瞬时速度为4v0时,t=(

)A.3s B.4s C.6s D.8s由h(t)=100+1.5t2+4t,得h'(t)=3t+4,则v0=h'(0)=4,令3t+4=4v0=16,得t=4.故选B.解析

解析

解析5.若直线y=x+3是曲线y=elnx-a的切线,则a=(

)A.-4B.-3 C.3

D.4

解析6.(2026·西安模拟)函数f(x)=x-alnx在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围是(

)A.(1,6)B.(1,3)C.(3,4) D.(4,6)

解析

由f(x)=xex得,f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=(x+1)ex=0,解得x=-1,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1)上单调递减;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)在(-1,+∞)上单解析

解析8.(2026·汕尾模拟)已知函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,且f(x)满足f'(x+1)+f'(-x+3)=0,g(2)=1.下列说法正确的是(

)A.f(x)的周期为4B.f(x)的图象关于x=6对称C.f(x)的图象关于(3,1)对称D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2029)=4058由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,得到g(x)=2-f(-x+2),g(x-1)=f(x+3)-2,将x替换为x+1,则有g(x)=f(x+4)-2,故f(x+4)-2=2-f(-x+2),则f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)关于(3,2)对称;由[f(x+1)-f(-x+3)]'=f'(x+1)+f'(-x+3)=0,故f(x+1)-f(-x+3)=C对任意x∈R成立,令x=1可得C=0,则f(x+1)=f(-x+3),将x替换为x+1,故f(x+2)=f(-x+2),所以f(x)关于x=2对称;对于选项A:f(x+2)=f(-x+2)=4-f(x+4),则f(x+2)+f(x+4)=4,将x替换为x-2,所以f(x)+f(x+2)=4,故f(x)=f(x+4),则f(x)的周期为4,故A正确;对于选项B:由f(x+解析2)=f(-x+2),将x替换为x+4,则f(x+6)=f(-x-2)=f(-x-2+8)=f(-x+6),故f(x)的图象关于x=6对称,故B正确;对于选项C:f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)关于(3,2)对称,故C错误;对于选项D:由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,g(2)=1,f(x)的周期为4,令x=2,f(0)+g(2)=2,f(0)=f(4)=1,令x=3,f(6)-g(2)=2,f(6)=f(2)=3,由f(x+4)+f(-x+2)=4,令x=-1,f(3)=2,又f(x)关于x=2对称,故f(3)=f(1)=2,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

029)=507×8+f(2

029)=4

056+f(1)=4

058,故D正确.故选ABD.解析三、填空题9.函数f(x)=aex+x2在x=1处的切线与直线2x+ey-1=0垂直,则实数a=

.

解析

解析2

解析e四、解答题12.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(1)因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.解(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.

解13.已知函数f(x)=(x-a)ex+b.(1)直线y=2x+1在x=0处与函数f(x)相切,求实数a,b的值;(1)因为函数f(x)=(x-a)ex+b,所以f'(x)=ex(x-a+1),所以f'(0)=e0(-a+1)=-a+1,所以函数f(x)在x=0处的切线的斜率为-a+1.由题可知:y=2x+1就是函数在x=0处的切线方程,所以-a+1=2,所以a=-1.又切线y=2x+1过点(0,f(0)),所以f(0)=1,即-a+b=1,所以b=0.所以a=-1,b=0.解(2)若f(x)在(0,4)上单调,求实数a的取值范围.(2)因为f(x)在(0,4)上单调,f'(x)≥0或f'(x)≤0在(0,4)上恒成立.因为f'(x)=ex(x-a+1),且ex>0恒成立,所以x-a+1≥0或x-a+1≤0在(0,4)上恒成立,所以a≤x+1或a≥x+1在(0,4)上恒成立,所以a≤1或a≥5.所以a的取值范围是(-∞,1]∪[5,+∞).解

素养提