2027届新高考数学热点精准复习导数中的函数构造问题

2027届新高考数学热点精准复习导数中的函数构造问题

解析

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解析4.(2026·南京模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则(

)A.f(ln3)>3f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)

解析5.设x>0,y>0,若ex+lny>x+y,则下列选项正确的是(

)A.x>y B.x>lnyC.x<y D.x<lny不等式ex+ln

y>x+y等价于ex-x>y-ln

y,令f(x)=ex-x,则f(ln

y)=eln

y-ln

y=y-ln

y,所以不等式ex-x>y-ln

y等价于f(x)>f(ln

y),因为f'(x)=ex-1,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以若y∈(1,+∞),则ln

y∈(0,+∞),由f(x)>f(ln

y)有x>ln

y;若y∈(0,1],则ln

y≤0,由x>0,有x>ln

y.综上所述,x>ln

y.解析6.定义域为R的函数y=f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+2)f(x)=-1,且当x∈(0,4]时,xf'(x)-f(x)>0,则4f(2025),2f(2026),f(2024)的大小关系是(

)A.4f(2025)<2f(2026)<f(2024)B.2f(2026)<4f(2025)<f(2024)C.f(2024)<2f(2026)<4f(2025)D.4f(2025)<f(2024)<2f(2026)

解析7.设函数f(x)=sinx+ex-e-x-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(3,+∞) D.(-∞,3)f(x)=sin

x+ex-e-x-x+3,设g(x)=f(x)-3=sin

x+ex-e-x-x,又易知g(-x)=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数,又g'(x)=cos

x+ex+e-x-1≥cos

x+2-1=1+cos

x≥0,所以g(x)在R上是增函数,又f(x)+f(3-2x)<6,所以[f(x)-3]+[f(3-2x)-3]<0,所以g(x)+g(3-2x)<0,所以g(x)<-g(3-2x),又g(x)为R上的奇函数,所以g(x)<g(2x-3),又g(x)在R上是增函数,所以x<2x-3,所以x>3,故满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(3,+∞).解析

解析二、多项选择题9.(2026·邯郸模拟)已知a>0,b∈R,e是自然对数的底数,若b+eb=a+lna,则a-b的值可以是(

)A.-1 B.1

C.2 D.3设函数f(x)=x+ex,则f(x)在R上是增函数,所以b+eb-(a+ln

a)=b+eb-(ln

a+eln

a)=f(b)-f(ln

a)=0,所以b=ln

a,即a=eb,所以a-b=eb-b,令g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=1,从而a-b≥1,结合选项,选项BCD符合题意.解析

解析

解析

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解析[-e,0)

解析

解析413.设f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cosx<0,则不等式f(x)<sinx的解集为

.

令φ(x)=f(x)-sin

x,所以当x≥0时,φ'(x)=f'(x)-cos

x<0,所以φ(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为R上的奇函数,所以φ(x)为R上的奇函数,所以φ(x)在(-∞,0]上单调递减,故φ(x)在R上单调递减且φ(0)=0,不等式f(x)<sin

x

可化为f(x)-sin

x<0,即φ(x)<0,即φ(x)<φ