2027届新高考数学热点精准复习函数的奇偶性与周期性

2027届新高考数学热点精准复习函数的奇偶性与周期性

基础过关

解析

解析

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解析5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,对于任意的x1>x2,都有f(x1)-f(x2)>4(x1-x2),且f(2)=16,则不等式4x-8<f(x)<4x的解集为(

)A.(0,2) B.(-2,0)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)因为f(x1)-f(x2)>4(x1-x2),所以f(x1)-4x1>f(x2)-4x2,设g(x)=f(x)-4x,因为x1>x2,g(x1)>g(x2),则g(x)=f(x)-4x在R上是增函数,因f(2)=16,故g(2)=f(2)-8=8,因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以g(x)=f(x)-4x为奇函数,所以g(-2)=-8,g(0)=0,不等式4x-8<f(x)<4x可转化为-8<f(x)-4x<0,即g(-2)<g(x)<g(0),所以-2<x<0,即4x-8<f(x)<4x的解集为(-2,0).故选B.解析6.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)-1为奇函数,f(x+2)为偶函数,则f(1)+f(2)+…+f(16)=(

)A.0B.16 C.22 D.32因为f(x)-1为奇函数,则f(0)=1,且函数f(x)的图象关于(0,1)中心对称,即f(x)+f(-x)=2,因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(2-x),则f(x+4)=f(-x),所以f(x)+f(x+4)=2,f(x+4)+f(x+8)=2,所以f(x)=f(x+8),故f(x)的周期为8,因为f(1)+f(5)=2,f(2)+f(6)=2,f(3)+f(7)=2,f(4)+f(8)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(16)=2[f(1)+f(2)+…+f(8)]=16,故选B.解析

对于A选项,函数y=x3是定义域为R的奇函数,且为增函数,A满足条件;对于B选项,设f(x)=ex+e-x,该函数的定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),故解析

解析

解析三、填空题9.写出一个同时满足下列3个性质的函数f(x)=

.

①f(x)是偶函数;②f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;③f(x)的最小值为2.考虑为偶函数的二次函数,设f(x)=ax2+b,a≠0,因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,则a>0,故f(0)=2,解得b=2,所以a>0时满足题意,取a=1,则f(x)=x2+2.解析x2+2(答案不唯一)10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log212)=

.

解析

解析0

(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x2-2x,因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x(x<0),所以m=2;解(2)作y=f(x)的图象;(2)当x>0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,当x=0时,f(x)=0,当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,故函数f(x)图象如图所示.解(3)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求a的取值范围.(不必写出演算过程)(3)要使f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,结合图象可知,-1<a-2≤1,解得1<a≤3,所以实数a的取值范围是(1,3].解13.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=2×4x.(1)求f(x),g(x)的解析式;(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=2×4x

①,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).所以f(-x)+g(-x)=2×4-x,即f(x)-g(x)=2×4-x

②.由①②解得f(x)=4x+4-x,g(x)=4x-4-x.解(2)若方程mf(x)=(g(x))2+2m+9有解,求实数m的取值范围.

解14.定义在R上的不恒为零的偶函数f(x)满足xf(x+2)=(x+2)f(x),且f(2)=4.则[f(2k)+f(-2k)]=(

)A.30B.60 C.