2025-2026学年湖南省株洲市石峰区九方中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省株洲市石峰区九方中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x2-4x+3≤0}，则A∩B=（）A.{x|1≤x≤2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|1≤x≤3} D.{x|-1≤x≤3}2.已知命题p：∀x＞0，ln（x+2）≥0，则￢p为（）A.∃x≤0，ln（x+2）＞0 B.∃x＞0，ln（x+2）＜0

C.∃x＞0，ln（x+2）＞0 D.∃x≤0，ln（x+2）≤03.已知复数，则复数z的模为（）A. B. C.2 D.44.已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数m=（）A. B. C.-1 D.15.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，b=，B=60°，则角A等于（）A.30° B.45° C.60° D.90°6.已知x∈（e-1，1），记a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系是（）A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a7.在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=PC=2，若AC=PB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.8.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（）A.这两个球体的半径之和的最大值为

B.这两个球体的半径之和的最大值为

C.这两个球体的表面积之和的最大值为

D.这两个球体的表面积之和的最大值为

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列命题正确的有（）A.若b=1，c=2，，则a=

B.若b=5，，，则

C.若sin2A+sin2B+cos2C＞1，则△ABC为锐角三角形

D.若A=60°，a=5，则△ABC面积的最大值为10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若（sinA+sinB）：（sinB+sinC）：（sinC+sinA）=9：11：10，则下列结论正确的的是（）A.a：b：c=3：4：5 B.△ABC是锐角三角形

C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若a=2，则△ABC的面积为11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱C1D1上的动点（不含端点），下列说法中正确的有（）A.DC∥平面BPD1 B.B1C⊥BP

C.四面体PAB1C的体积为定值 D.存在点P，使得平面BB1P⊥平面AA1P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥CC1，A1C1⊥CC1，，CC1=1，则异面直线A1B与CC1所成角的余弦值为

.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知sin（B+C）=sinBsinC，a=4，则△ABC的面积为

.14.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）≥f（x）+1与f（x+1013）≤f（x）+1013恒成立，若f（x）与任意定义域为R的奇函数均有交点，则f（2026）=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，

（1）求角A；

（2）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．16.(本小题15分)

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.

（1）求证：AC⊥平面BDE；

（2）设二面角F-BE-D为α，求sinα.17.(本小题15分)

如图，已知矩形ABCD中，AB=8，，M、N分别是边AD、BC上的动点（不含端点），Q为边AB的中点，且∠MQN=120°，设∠AQM=α.

（1）求的值

（2）记△MQA面积为S1，△NQB面积为S2，求的取值范围

（3）记△MQN面积为S（α），求的最小值

（提示：）18.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=BC=AD=2.

（1）若，记三棱锥P-ABC外接球的球心为O.

（i）求证：OD∥平面PAB；

（ii）求三棱锥P-ABC外接球的表面积.

（2）记，当时，求三棱锥P-BCD体积的最大值.19.(本小题17分)

三个互不相同的函数y=f（x），y=g（x）与y=h（x）在区间D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）或恒有f（x）≤h（x）≤g（x），则称y=h（x）为y=f（x）与y=g（x）在区间D上的“分割函数”.

（1）设h1（x）=4x,h2（x）=x+1，试分别判断y=h1（x）、y=h2（x）是否是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间上的“分割函数”，请说明理由；

（2）求所有的二次函数，使得该函数是y=2x2+2与y=4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”；

（3）若[m,n]⊆[-2，2]，且存在实数k,b,使得y=kx+b为y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函数”，求n-m的最大值.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】BC

11.【答案】AB

12.【答案】

13.【答案】8

14.【答案】2026

15.【答案】解：（1）在△ABC中，

∵，

∴sinAcosC+sinC=sinB，

又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴，

∵sinC＞0，∴，

又∵A∈(0，π)，∴；

（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60°，

又∵a=，∴b2+c2-bc=7，∴(b+c)2-3bc=7，

又​​​​​​​∵，

∴bc=6，∴(b+c)2-18=7，∴b+c=5，

∴△ABC的周长为．

16.【答案】证明：因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DE，

因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE

17.【答案】64

（1，+∞）

18.【答案】（i）证明见解析；

（ii）；

．

19.【答案】解：（1）因为2x2-4x+2=2（x-1）2≥0恒成立，且4x-（-x2+4x）=x2≥0恒成立，所以当x∈R时，2x2+2≥4x≥-x2+4x恒成立，

故y=h1（x）是y=2x2+2与y=-x2+4x在（-∞，+∞）上的“分割函数”；

又因为x+1-（-x2+4x）=x2-3x+1，当x=0与1时，其值分别为1与-1，

所以h2（x）≥-x2+4x与h2（x）≤-x2+4x在（-∞，+∞）上都不恒成立，

故h2（x）不是y=2x2+2与y=-x2+4x在（-∞，+∞）上的“分割函数”；

（2）设y=ax2+cx+d（a≠0）是y=2x2+2与y=4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”，

则2x2+2≥ax2+cx+d≥4x对一切实数x恒成立，

又因为（2x2+2）′=4x,当x=1时，它的值为4，

可知y=2x2+2的图象在x=1处的切线为直线y=4x,

它也是y=ax2+cx+d的图象在x=1处的切线，

所以，可得，

所以2x2+2≥ax2+（4-2a）x+a≥4x对一切实数x恒成立，

即（2-a）（x-1）2≥0且a（x-1）2≥0对一切实数x恒成立，

可得2-a≥0且a＞0，即0＜a≤2，

又a=2时，y=ax2+（4-2a）x+a与y=2x2+2为相同函数，不合题意，

故所求的函数为y=ax2+（4-2a）x+a（0＜a＜2）；

（3）关于函数y=x4-4x2，令y′=8x3-8x=0，可得x=0，，

当x∈（-∞，-）与x∈（0，）时，y′＜0；当x∈（-，0）与x∈（，+∞）时，y′＞0，

可知是函数y=x4-4x2极小值点，0是极大值点，

该函数与y=4x2-16的图象如图所示：

由y=kx+b为y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函数”，

故存在b0使得b≤b0且直线y=kx+b0与y=x4-4x2的图象相切，并且切点横坐标t∈[-2，-]∪[，2]，

此时切线方程为y=（4t3-8t）x+4t2-3t4，

即k=4t3-8t,b0=4t2-3t4，

设直线y=kx+b与y=4x2-16的图象交于点（x1，y1），（x2，y2）