2025-2026学年江苏省无锡市锡山区怀仁中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省无锡市锡山区怀仁中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若，则f'（2）=（）A. B.6 C.3 D.-32.由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为（）A.36 B.24 C.12 D.63.（1+2x）4的展开式中含x3项的系数为（）A.8 B.16 C.32 D.644.已知随机变量X满足E（2-2X）=4，D（2-2X）=4，下列说法正确的是（）A.E（X）=-1，D（X）=-1 B.E（X）=1，D（X）=1

C.E（X）=-1，D（X）=4 D.E（X）=-1，D（X）=15.如果f（x）=ax-ex在区间（-1，0）上不单调，那么实数a的取值范围为（）A. B.

C. D.6.全民奔跑展风采，策马奔腾启新程.3月，2026无锡马拉松赛事顺利举行，赛道某路段设置甲、乙、丙三个服务站，怀仁中学5名同学前往这三个服务站参与志愿服务，每名同学只去1个服务站，每个服务站至少安排1人，则不同的安排方法共有（）A.25种 B.150种 C.300种 D.50种7.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（）A. B. C. D.8.已知曲线y=x2与y=e2x+a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围（）A.（-2，+∞） B.[-2，+∞） C.（-∞，-2] D.（-∞，-2）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A.f（-1）＜f（1）

B.f（2）＜f（3）

C.f（x）有2个极大值点，1个极小值点

D.f（x）的单调递减区间为（-2，2），（4，+∞）

10.在高二元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.以下有关排列组合问题中正确的是（）A.有种不同的节目演出顺序

B.当4个舞蹈节目接在一起时，有种不同的节目演出顺序

C.当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有种不同的演出顺序

D.若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序11.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），则下列说法正确的是（）A.若c=f′（1），则3a+2b=0

B.若b=-3，且曲线y=f（x）的对称中心为（1，-2），则c=-1

C.若b=-3，函数f（x）在R上单调递增，则ac≤3

D.若bc＞0，且，则存在实数m,n（m≠n），使得f（m）=f（n）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=______．

13.已知a∈R，对任意t∈R，关于x的方程x2-aetx+t=0有实数解，则a2的最小值为

.14.若的展开式中的常数项为1，则a=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=x3-x2+ax-1.

（1）若函数的极大值点是-1，求a的值；

（2）若函数f（x）有一正一负两个极值点，求a的取值范围.16.(本小题15分)

甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球，其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球.

（1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从甲箱中任取2个球，设取出的2个球的得分的和为X，求随机变量X的分布列；

（2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球黑球的概率.17.(本小题15分)

已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大.

（1）求奇数项的二项式系数和；

（2）a∈Z，且0≤a＜20，若f（-10）+a能被20整除，求a的值；

（3）求a0+2a1+3a2+…+（n+1）an的值.18.(本小题17分)

已知函数.

（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；

（2）当a=1时，x∈[1，3]，证明不等式f（x）＞-4lnx；

（3）当a∈R时，求函数f（x）的单调区间.19.(本小题17分)

已知函数，曲线y=f（x）在点A（a,f（a））处的切线方程为l1.

（1）求函数f（x）的极值点的个数及极值；

（2）当-1＜a＜0时，证明：除切点A外，直线l1在曲线y=f（x）的下方.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】2．

15.【答案】a=-3

（-∞，0）

16.【答案】（1）根据题意，X可取的值为2，3，4，

X=2，即从甲箱中取出两个黑球，则P（X=2）==，

X=2，即从甲箱中取出一个黑球和一个白球，P（X=3）==，

X=4，即从甲箱中取出两个白球，P（X=4）==，

则X的分布列为：X

2

3

4

P

（2）根据题意，设A=“从甲箱中取出两个黑球”，B=“从甲箱中取出一个黑球和一个白球”，C=“从甲箱中取出两个白球”，

事件D=“从乙箱中取出的这个球是黑球”，

则P（A）=，P（B）=，P（C）=，

P（D|A）=，P（D|B）=，P（D|C）=，

则P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=×+×+×=．

17.【答案】2048

19

25

18.【答案】解：（1）因为f（x）的定义域为（0，+∞），

当a=0时，则f（x）=x-lnx,且，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；

可知f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，

所以函数f（x）的最小值为f（1）=1．

（2）证明：当a=1时，则，

构建，

则在[1，3]内恒成立，

可知g（x）在[1，3]内单调递增，则，

所以当x∈[1，3]，f（x）＞-4lnx；

（3）因为f（x）的定义域为（0，+∞），且，

（i）若a≤0，可知1-ax＞0，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；

可知f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；

（ⅱ）若a＞0，令f′（x）=0，解得x=1或，

①当，即a＞1时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；

②当，即a=1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；

③当，即0＜a＜1时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；

综上所述：a≤0，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为；

a＞1，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；

a=1，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；

0＜a＜1，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．

19.【答案】函数f（x）有一个极值点，极小值为0，无极大值

根据（1）知，，因此．

因此l1的方程为y-f（a）=f′（a）（x-a），即，

即．

令．

那么导函数．

令t（x）=f′（x），那么．

令t′（x）＜0，则1-ln（x+1）＜0，即x+1＞e，即x＞e-1．

令t′（x）＞0，则1-ln（x+1）＞0，即x+1＜e，即-1＜x＜e-1，

所以f′（x）=t（x）在（-1，e-1）上单调递增，在（e-1，+∞）上单调递减．

由于-1＜a＜0＜e-1，

所以当a＜x＜0时，h′（x）=f′（x）-f′（a）＞0，h（x）单调递增；当-1＜x＜a时，