2026学年八年级数学北师大版下学期期末测试卷（含答案）

2026学年八年级数学下学期期末测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．2．下列图形中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．下列变形中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则4．2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种．如图为展会上一种三角形花架，D，E分别是的中点，若，则的长为（

）A． B．7 C．14 D．215．下列说法错误的是（

）A．当时，分式无意义B．当时，分式的值为正数C．当分式时，D．无论x取何值，的值总为正数6．如图，在∆ABC中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（

）①平分；②作图依据是；③；④点在的垂直平分线上．A．个 B．个 C．个 D．个7．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论：①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（

）．A．2 B．3 C．4 D．58．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（

）A．方程的解是B．方程的解是C．关于x，y的方程组y=x+1y=kx+b的解是D．不等式的解集是9．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（

）A．12 B．11 C．10 D．910．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（

）个A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可）12．已知点与点关于原点对称，则的值是______．13．若多项式可因式分解为，则的值为________．14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________．15．对于，，我们定义两种运算：，．则__________．16．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图，在∆ABC中，，，，是∆ABC所在平面内任意一点，若四边形是“准筝形”，则四边形的面积为_________．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．18．先化简，再求值：，其中满足．19．如图，已知：∆ABC是等边三角形，，，且．(1)求证：(2)判断∆BDE的形状？并说明理由．20．如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”．(1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）；(2)说明16是一个“智慧数”；(3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除．21．在如图所示的平面直角坐标系中，有∆ABC．点，，．(1)将∆ABC向x轴负方向平移4个单位得到，画出图形并写出点的坐标；(2)以原点O为旋转中心，将∆ABC顺时针旋转后得到，画出图形并写出点的坐标；(3)可以看作是由先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转得到的．除此之外，还可以由经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心．并写出其旋转中心的坐标．22．把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等．(1)求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？(2)若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍．①B型号帐篷至少要买多少顶？②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？23．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．(1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号）①；②，③．(2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．(3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围．24．【阅读】三角形中位线定义：在∆ABC中，若点D、E分别是与的中点，则是∆ABC的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(1)【定理证明】证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长至F，使得，连接，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明．已知：在∆ABC中，点D，E分别是，的中点．求证：，且．(2)【定理应用】如图3，在∆ABC中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，，求的长．25．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．(1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则．(2)如图，在∆ABC中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形．(3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，，①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论．②如图2，当，时，直接写出CD的长．参考答案一、选择题1．B解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求；B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义；C、x2−1=xx−D、，原式a2b+a2．B解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．3．C解：A．方程两边同除以得，与选项中结果不符，故A错误；B．不等式两边同乘，不等号方向改变，得，与选项中结果不符，故B错误；C．给两边同时加c可得又，则，，即，故C正确；D．举反例：若，满足，但，，不满足，故D错误．4．C解：D，E分别是的中点，是∆ABC的中位线，．5．C对于A:当时，分母，分式无意义，选项A正确，不符合题意；对于B:当时，分母，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意；对于选项C:∵分式，需分子为0且分母不为0，即且，∴或，但时，，分式无意义，∴只有成立，选项C错误，符合题意；对于D:分母，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意．故选：C．6．C解：①如图所示，连接，由尺规作图可知，，且，∴，∴，即平分，故①正确；②由①可得作图依据是,故②错误；③∵，，∴，∴，∴，故③正确；④由③可得，∴，∴点在的垂直平分线上，故④正确；综上，正确的选项有①③④，共3个．7．C解：由平移可知，在上，因此，①正确；平移距离相等，即，②正确；平移∵BC=EF=4,CH=43,后对应角相等，故，③正确；四边形的周长，周长为12，，周长，④正确；，阴影面积梯形的面积⑤错误，综上，正确的个数为4．8．D解：∵一次函数的图象经过点，∴当时，，所以方程的解是，则A正确；∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点，∴当时，两个函数值相等，即方程的解是，则B正确；方程组的解是，则C正确；不等式的解集是，则D错误．9．A解：解①得，解②得，∵不等式组的解集为∴，解得；解分式方程，得∵分式方程的解为正整数，，是整数且∴是正整数，且，∴∴或或∴或4或1∴满足条件的的值之和为．10．B解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，故①正确；∵点M，N分别是的中点，∴，，∴，，∵，，，∴，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，故②正确；∵，，，故③正确；∵四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故④错误；∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，故⑤正确，综上所述：结论正确的有①②③⑤．二、填空题11．（答案不唯一）解：有意义，解得，又为正整数，∴m的值可以是5．12．解：点与点关于原点对称，，，，．13．解：由题意知，．，．，．14．4解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，由作图可知：平分，，∴，∴，∵平行四边形的周长为48，∴，∴，∴．15．解：根据新定义运算：，，则，∴．16．或或解：过点作交的延长线于点，，，，在中，，，，在中，，，，，，四边形是“准筝形”，分三种情况讨论：若，，如图，过点作于，是等边三角形，，，，，．若，，如图，连接，作于点，于，是等边三角形，，，，，，，，，，，；若，，如图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，在中，，，，，综上，四边形的面积为或或．三、解答题17．解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以原不等式组的解集是；在数轴上表示为：．18．解：原式．因为，所以，．所以，．所以，原式．19．（1）解：∵∆ABC是等边三角形，∴，∵，，∴在和中，∴，∴．（2）解：∆BDE是等边三角形，理由如下：∵∆ABC是等边三角形，∴，∴，∵，∴∆BDE是等边三角形．20．（1）解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则，展开整理得，解得，∵不是奇数，∴28不是“智慧数”（2）解：∵，且和是两个连续奇数，∴16符合“智慧数”的定义，∴16是一个“智慧数”；（3）解：，∵是8的倍数，∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除．21．（1）解：如图所示，点的坐标为；；（2）解：如图所示，点的坐标为；（3）解：连接，并分别作的垂直平分线，相交于点P，所以，点就是所求的旋转中心．22．（1）解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有：3200x+300解得．经检验，是原方程的解．∴x+300=800．故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元．（2）解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有：，解得：．故：型号帐篷至少要买10顶．②设总费用为元，则有：w=80030−m+500m∴w=−300m+24000．，随的增大而减小．又，∴当时，w最大=−300×10+24000=21000<22000故：此计划资金一定够用．23．（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”，解②得：，故不是②的“梦想解”，解③得：，故是③的“梦想解”，是方程和不等式③的“梦想解”；（2）解方程组，得，，方程组的解是不等式组的“梦想解”，，解不等式组得：，为整数，∴m=-5或；（3）解方程：，得：，解不等式组，得：，关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”，，解不等式组得：，因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4，∴n−1≤1，解得：，综上：−124．（1）证明：延长至，使，连接．是的中点，．在∆ADE和中，，∴∆ADE≌∆CFE(SAS)．，．．是的中点，．．又，四边形是平行四边形．，．．（2）解：延长交于点．