甘肃嘉峪关市酒钢三中2026届高三下学期三模数学试卷（含解析）

甘肃嘉峪关市酒钢三中2026届高三第二学期模拟预测数学试题一、单选题1．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（

）A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ2．若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．设函数，则（

）A．3 B．4 C．5 D．4．如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（）

A． B． C． D．5．一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（

）．A． B． C． D．6．已知，，则（

）A．3 B． C． D．7．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．8．已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则（

）A．2022 B．2023 C．4048 D．4046二、多选题9．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式.并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是（

）

A．扇形统计图中D的占比最小 B．条形统计图中A和C一样高C．无法计算扇形统计图中A的占比 D．估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送10．关于x的方程的复数解为，，则（

）A．B．与互为共轭复数C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若，则的最小值是311．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则（

）A．当时，满足的点P有2个B．的周长一定小于C．的面积可以大于D．若恒成立，则C的离心率的取值范围是三、填空题12．定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为___________．13．已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是__________.14．，则__________.四、解答题15．已知函数．(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)若函数在存在零点，求实数a的取值范围．16．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．17．已知函数，其中.(1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围.(2)，若，求证：18．现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.(1)当时，①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；(2)记第三次取到白球的概率为，证明：.19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.

(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)如图，已知在三棱锥中，平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为.①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；②若点在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值.题号12345678910答案ACCBCDBCABDBD题号11答案ABD1．A根据补集的运算性质及维恩图得解.【详解】因为,由维恩图可知，表示的区域为I.故选：A2．C根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值，比较，根据指数,对数函数单调性，引入中间值，比较即可.【详解】根据函数在单调递增，知道，根据函数在单调递减，知道，根据函数在单调递减，知道，综上所得，.故选：C.3．C根据分段函数的解析式，将化为，利用解析式求得的值，即可得答案.【详解】由题意得，故选：C4．B由题可知，过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为菱形，利用菱形面积公式即可求得结果为.【详解】根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示：

易知，且，所以四边形是平行四边形；即，又平面，平面，所以平面；同理可得平面；，平面，所以平面平面平行，即过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面；显然，，且，；所以四边形是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形的面积；易知，所以其面积为.故选：B5．C根据给定条件，利用古典概率求出至少有两个球颜色相同的概率，再求出两球颜色相同、另外两球颜色不同的概率即可求解作答.【详解】记至少有两个球颜色相同的事件为，两球颜色不同的事件为，因此，，所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为.故选：C6．D利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果.【详解】因为，则，，又因为，则①，等式①的两边同时除以可得，解得.故选：D.7．B【详解】因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数.又，所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为.8．C根据等比数列定义，将代入计算可得，；可得，再由新的数列的性质求出其通项为即可得出结果.【详解】令数列的公比为，，因为，所以当时，，即，当时，，即，解得（舍去），所以，即，因为数列中的整数项组成新的数列，所以，此时，即，可得.故选：C9．ABD根据方式上学的学生占比即可求出总人数，则得到方式出行的人数，选项一一分析即可.【详解】由条形统计图知，自行乘车上学的有42人,家人接送上学的有30人,其他方式上学的有18人,采用三种方式上学的共90人,由扇形统计图知,其他方式上学的学生占,所以人，则结伴步行上学的有人，故条形图中一样高，故B正确，扇形图中类占比与一样都为，和共占,故C错误，D正确.因为其他方式上学的人数最少，故扇形统计图中D的占比最小，故A正确.故选：ABD.10．BD根据给定条件，求出，再逐项计算、判断作答.【详解】因为，因此不妨令方程的复数解，对于A，，A错误；对于B，与互为共轭复数，B正确；对于C，，由，得，则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；对于D，设，由，得，显然有，由选项A知，因此，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD11．ABD当点的坐标为或时，最大，计算得到A正确，的周长为，故B正确，面积为，C错误，根据计算离心率得到D正确，得到答案.【详解】对于选项A：当点的坐标为或时，最大，此时，若，则，所以，A正确；对于选项B：的周长为，故B正确；对于选项C：的面积为，故C错误；故于选项D：因为，所以，可得，得，得，又，所以，故D正确．故选：ABD．12．利用构造函数法，结合导数化简不等式，从而求得不等式的解集.【详解】构造函数，则，所以在区间上单调递减，由，得，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故答案为：13．4先根据可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可得到，结合可得，再结合基本不等式求解即可.【详解】由，得，两式相减得，而，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，因为，则，即，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以最小值是，故答案为：.14．【详解】对，两边求导得，令，可得.15．(1)，(2)（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程在上有解，以为整体，结合正弦函数图象运算求解.【详解】（1）对于函数，所以函数的最小正周期为，令，则，∴函数的单调递增区间为.（2）令，即，则，∵在存在零点，则方程在上有解，若时，则，可得，∴，得故实数的取值范围是．16．（1）；（2）.（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线方程为：，，由抛物线焦半径公式可知：

联立得：则

，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则

，

，

则17．(1)(2)函数的定义域为，，当时，，所以，所以单调递增；当时，，所以，所以单调递减.因为，所以可设，则.令，则，当，所以，，所以；当，所以，，所以，又，所以恒成立，所以函数是增函数.所以，所以，即.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，令，得.当时，，所以；当时，，所以.所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为.因为不等式对恒成立，所以.设，则恒成立，所以在上单调递增.因为，所以，解得，即.综上所述：的取值范围是.（2）略18．(1)①；②(2)证明见解析（1）①时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率；②先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，再结合条件概率即可得解；（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，进而得证．【详解】（1）①时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回），第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，∴第三次取出为白球的概率为；②设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），若则，取法数为，若或或，取法数为，也满足关系，故取（白，白，白）的取法可表示为，同理（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：，所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为；（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），取法数为，（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为，所以．19．(1)2(2)①；②【详解】（1）