【奥数培优】第2讲：数的整除特征（五年级）教学设计

【奥数培优】第2讲：数的整除特征（五年级）教学设计一、基本信息与设计理念【课题名称】第2讲因数和倍数（数的整除特征）【适用学段】小学五年级（奥数培优）【课时安排】3课时（每课时40分钟）【课程类型】竞赛拓展课/专题复习课【设计理念】本讲设计遵循“从生活实例抽象数学模型——探究规律本质——构建知识网络——灵活迁移应用”的认知路径。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“数与运算”领域的要求，不仅要求学生掌握数的整除特征这一基础知识和基本技能，更强调在探究过程中发展学生的抽象能力、推理意识和模型意识，尤其是通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，深刻理解整除特征背后的算理（如位值原理），培养数感和逻辑推理能力，为后续学习分数运算、数论初步（如质数、合数、最大公因数、最小公倍数）奠定坚实的基础。作为培优课程，本设计特别注重引导学生从“知其然”走向“知其所以然”，并能综合运用所学特征解决较复杂的、具有挑战性的实际问题，感受数学的严谨性与趣味性。二、教学目标（一）【基础】知识与技能1.进一步理解和掌握整除的意义，能清晰地表述因数和倍数的概念及其相互依存的关系。【基础】2.熟练掌握并灵活运用能被2、3、5、4、25、8、125、9、11等数整除的数的特征。【重要】【高频考点】3.能运用数的整除特征解决简单的实际问题，如判断一个数能否被某个数整除、在数位中填数等。【基础】（二）【重要】过程与方法1.经历观察、比较、猜想、验证和归纳的数学活动过程，探索并发现数的整除特征，积累数学活动经验。【重要】2.通过借助位值原理图（如小棒、计数器）分析，理解整除特征的本质，培养数形结合与逻辑推理能力。【难点】3.能够运用分类讨论、有序思考的策略解决稍复杂的整除问题，提升思维的条理性和严密性。【难点】（三）【非常重要】情感态度与价值观1.在探究活动中感受数学的神奇与规律之美，激发对数学（特别是数论）的学习兴趣和好奇心。【非常重要】2.通过解决具有挑战性的问题，培养迎难而上的意志品质和严谨求实的科学态度。3.体会数学内部知识之间的联系（如乘法分配律在整除特征证明中的应用），感悟数学的整体性与结构性。三、教学重难点（一）【重点】核心内容掌握并灵活运用能被2、3、5、4、9、11整除的数的特征。（二）【难点】关键突破1.理解并解释整除特征（尤其是3或9、11的特征）背后的算理（位值原理）。2.综合运用多个整除特征解决复杂的数字谜问题，如“在□内填上合适的数，使六位数同时能被8、9、11整除”。（三）【关键】教学抓手以位值原理为理论支撑，通过将数拆分为“整十、整百、整千……”与“个位/末几位”之和，引导学生从本质上理解为何只需要看末几位或数字和。四、课前准备1.教师准备：多媒体课件（PPT），内含位值原理动画演示、各类例题与变式训练、数位顺序表。2.学生准备：草稿纸、笔、课前小研究（收集生活中关于整除的例子，如“车牌号单双号限行”）。五、教学实施过程（核心环节）（一）创设情境，激活经验——什么是“整除”？（第一课时导入）1.情境引入：呈现生活场景——“学校举行团体操表演，计划将36名学生进行编队。可以排成每行人数相等的方队吗？有几种排法？”引导学生思考，将实际问题转化为数学问题：寻找36的因数。从而回顾整除的概念。2.概念辨析：【基础】明确“整除”的三要素：被除数、除数、商都是整数，且余数为零。强调“a能被b整除”与“b能整除a”两种说法的区别，并介绍符号表示“b|a”。【重要】对比区分“整除”与“除尽”的关系（除尽包含整除，整除是除尽的特例）。3.引出课题：当我们快速判断一个数能否被另一个数（如2、3、5）整除时，有没有不需要列竖式的“秘诀”呢？这就是我们今天要探究的“数的整除特征”。（二）自主探究，发现特征——层层深入1.第一层：【基础】个位决定法——2、5的倍数特征（1）观察与发现：出示一组数（12，25，30，47，58，60，75，84，90，105）。请学生快速找出哪些数是2的倍数，哪些数是5的倍数。观察这些数的个位数字，你有什么发现？（2）归纳特征：【基础】个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除（即是2的倍数，也称为偶数）；个位上是0或5的数能被5整除。（3）【重要】追问与拓展：为什么只看个位就能判断？引导学生结合位值原理想一想：一个数如“abc”可以写成a×100+b×10+c。100和10都是2和5的倍数，所以整个数能否被2或5整除，就取决于个位数字c能否被2或5整除。这为后续学习奠定了理论基础。（4）迁移学习：同时能被2和5整除的数有什么特征？（个位是0）因为2和5互质，所以能同时被它们整除的数一定能被（2×5=10）整除。2.第二层：【重要】末位组法——4（25）、8（125）的倍数特征（1）核心问题：判断一个数能否被4整除，是不是也只看个位？用数“124”和“128”进行测试。（2）探究活动：将数进行拆解，如1324=13×100+24。因为100=4×25，所以100是4的倍数。那么1324能否被4整除，就取决于剩下的“24”能否被4整除。（3）归纳总结：【重要】一个数能被4（或25）整除的特征：看这个数的末两位数能否被4（或25）整除。同理，能被8（或125）整除的特征：看这个数的末三位数能否被8（或125）整除。【高频考点】（4）即时练习：判断下列数能否被4或8整除：1996，2024，3000，5128。3.第三层：【非常重要】【难点】数字和法——3、9的倍数特征（1）制造认知冲突：现在请大家判断123456789能否被3整除？按前面的方法，看个位显然不行，看末两位也不行。这该怎么办？（2）深度探究（小组合作）：以“36”和“27”为例，它们都是3的倍数。3+6=9，2+7=9，9能被3整除。以“54”为例，5+4=9。再举一个大数，如“456”。引导学生利用位值原理进行拆解：456=4×100+5×10+6=4×(99+1)+5×(9+1)+6=(4×99+5×9)+(4+5+6)因为“4×99+5×9”这部分（即整十、整百部分减去其数位后的剩余部分）一定能被3和9整除，所以整个数能否被3或9整除，就取决于“各数位数字之和”（4+5+6）能否被3或9整除。（3）归纳总结：【非常重要】【高频考点】一个数能被3（或9）整除的特征：各个数位上的数字之和能被3（或9）整除。（4）【难点】辨析与深化：判断一个数能否被3整除，可以反复使用数字和，直到能直接判断为止（如判断，9+8+7+6+3+5+1=39，3+9=12，12能被3整除，所以原数能被3整除）。强调数字和与3或9的关系，并指出能被9整除的数一定能被3整除，反之则不成立。4.第四层：【奥数拓展】交替和法——11的倍数特征（1）挑战性问题：出示数“13574”，它能否被11整除？（2）探究引导（教师演示或课件展示）：借助位值原理，因为11的特殊性，10≡1（mod11），100≡1（mod11），1000≡1（mod11）……所以一个数被11整除的规律与奇数位和偶数位的差有关。（3）归纳特征：【奥数拓展】一个数能被11整除的特征：它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）能被11整除。差是0或者11的倍数。（4）验证与运用：验证刚才的数13574，（1+5+4）（3+7）=1010=0，所以能被11整除。【重要】（三）精讲例题，内化特征——策略建模1.单一特征应用（例1）【基础】（1）题目：在下面的□里填上适当的数字，使得数满足括号里的条件。①57□（既是2的倍数又是3的倍数）②13□4（能被4整除）③12□0（同时能被3和5整除）（2）教学策略：引导学生先根据最严格的单一条件缩小范围，再检验其他条件。如①题，先考虑2的倍数确定□可以是0，2，4，6，8；再考虑3的倍数，要求5+7+□的和是3的倍数，即12+□是3的倍数，逐一检验得出□可以是0，6。强调有序思考，不重不漏。2.综合特征应用（例2）【重要】【高频考点】（1）题目：已知五位数“15□8□”能同时被2、3、5整除，那么它的个位和百位上的数字可能是几？这个五位数最大是多少？最小是多少？（2）分析路径：【非常重要】①突破口：被2和5同时整除→个位只能是0。②代入个位0，此时五位数为“15□80”。③被3整除→数字和（1+5+□+8+0=14+□）是3的倍数。④枚举□的可能取值：14+□是3的倍数，□可以是1，4，7。⑤得出结论：这个五位数可能是15180，15480，15780。最大是15780，最小是15180。（3）【难点】方法提炼：解决这类问题，要抓住“同时被几个数整除”的“最大公约数”条件作为突破口（如2和5看个位，2、3、5同时整除看个位0且数字和是3的倍数）。运用“先定个位，再求和，最后枚举”的解题程序。3.高难度综合应用（例3）【奥数拓展】【难点】（1）题目：已知六位数“12□34□”是88的倍数。这个六位数除以88的商是多少？（2）审题转化：88=8×11，且8和11互质。所以这个数能同时被8和11整除。（3）分步突破：①利用被8整除的特征：看末三位“34□”，要求能被8整除。34□中，340÷8=42.5，341至349逐个检验或利用规律（8的倍数看末三位），得到344÷8=43，所以□里可以填4。因此个位（最后一个□）是4。②此时六位数为“12□344”。③利用被11整除的特征：奇数位数字和（从高位往低位，第1位是1，第3位是□，第5位是4）：1+□+4=5+□；偶数位数字和（第2位是2，第4位是3，第6位是4）：2+3+4=9。④根据11的倍数特征，要求奇数位和与偶数位和的差是11的倍数：即|(5+□)9|=|□4|是11的倍数（0或11）。⑤□是09的数字，那么|□4|只可能是0。解得□=4。⑥所以这个六位数是“”。（4）计算商：÷88=1413（可验证88×1413=？）。【重要】强调验算的重要性。（5）【非常重要】策略总结：当除数可以分解为两个互质的因数时，将问题转化为同时满足两个整除条件的问题，体现了化归思想。（四）巩固练习，分层反馈1.【基础】判断与选择（1）在20，45，60，87，105，120，171，2040中，能被3整除的数有（），能同时被2和5整除的数有（）。（2）一个三位数既能被2整除，又能被3整除，而且5又是它的约数，这个三位数最小是（）。2.【重要】填空与推理（1）五位数“3□6□5”是75的倍数，这个五位数是（）。（2）从0、1、2、4、5、7中选出四个数字，组成一个同时能被2、3、5整除的最大四位数是（）。3.【难点】【奥数拓展】综合与应用（1）六位数“2003□□”能被99整除，它的最后两位数是（）。（2）已知九位数“2018□12□2”是9和11的倍数，那么这个数的十位数上是多少？（五）课堂小结，构建网络1.知识梳理：带领学生回顾本讲学习的整除特征，形成知识结构图。1.2.看个位：2，52.3.看末两位：4，253.4.看末三位：8，1254.5.看数字和：3，95.6.看奇偶位差：117.【非常重要】思想提炼：1.8.转化思想：将新问题转化为已学问题（如88的倍数转化为8和11的倍数）。2.9.位值原理：整除特征背后的“灵魂”，是证明和推导一切特征的基石。3.10.有序思考：在枚举可能数字时，要做到不重不漏。11.学习反思：你印象最深的是哪个特征的探究过程？你在解决哪类问题时遇到了困难？是如何克服的？六、板书设计第2讲：因数和倍数——数的整除特征一、整除的定义：a÷b=c（a,b,c为整数，b≠0）→a能被b整除，b|aa叫做b的倍数，b叫做a的因数。二、整除特征【个位法】2：个位是0，2，4，6，85：个位是0，5【末位组法】4或25：末两位能被4或25整除8或125：末三位能被8或125整除【数字和法】3或9：各数位数字和能被3或9整除【交替和法】11：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大小）是0或11的倍数三、典型例题（程序）【例2】同时被2、3、5整除：①个位定0（25）②数字和是3的倍数③枚举百位【例3】88的倍数（88=8×11）①被8整除：看末三位→定个位②被11整除：看奇偶位差→定百位四、思想方法转化、位值原理、有序思考七、作业设计1.【基础巩固】：完成练习册相关基础题，判断一组数的整除性，并在□内填数使式子成立。2.【【重要】能力提升】：寻找一个四位数，使它同时是9和25的倍数，且尽可能小。3.【【奥数拓展】挑战自我】：已知七位数“92AB427”能被99整除，求这个七位数。（提示：99=9×11，且9和11互质）4.【实践探究】：查阅资料或请教家长，了解为什么判断一个数能否被7整除的方法比较复杂？尝试了解