《小数除以整数：算理探索与分层实践》五年级数学上册教学设计

《小数除以整数：算理探索与分层实践》五年级数学上册教学设计

一、教材与学情深度分析

（一）教材内容定位与结构解析

本节课教学内容隶属于人教版五年级数学上册第三单元《小数除法》中的起始关键课时。从整数除法到小数除法的过渡，是学生数域扩展过程中的一次重要飞跃，也是整个小学阶段“数的运算”主题下的核心内容之一。教材通过例1“王鹏坚持晨练，计划4周跑步22.4km，他平均每周应跑多少千米？”这一具体情境，引入除数是整数的小数除法计算。其知识逻辑链条清晰：首先复习整数除法的计算法则和意义，接着遇到余数无法继续除以整数的情况，自然引出将“整数个”单位细分为“小数”单位的必要，从而将计数单位从“一”扩展到“十分之一”、“百分之一”等，最终总结出算法。

从单元整体视角审视，本节课是小数除法运算体系的奠基之石。学生只有透彻理解“除数是整数的小数除法”的算理，掌握“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一核心法则，才能顺利迁移到后续“除数是小数的除法”（利用商不变性质转化）以及“循环小数”、“用计算器探索规律”、“解决问题”等综合应用内容。因此，本节课的教学效果直接关系到整个单元目标的达成度。

（二）学情诊断与认知起点分析

授课对象为五年级上学期学生，其认知发展处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期。

已有知识与经验：

1.整数除法基础：学生已经熟练掌握除数是两位数的整数除法笔算方法，理解“从高位除起”、“除到哪一位，商就写在那一位上面”、“余数必须比除数小”等计算规则，并具备良好的估算意识。

2.小数意义与性质：学生深刻理解小数的意义，知道小数是十进制分数的一种表现形式，明确小数点右边每一位的计数单位（十分之一、百分之一等）。同时，掌握了小数的基本性质和小数点移动引起小数大小变化的规律。

3.小数加减法：已经掌握小数加减法的计算法则，核心经验是“小数点对齐”（即相同计数单位相加减），这为理解小数除法中“商的小数点与被除数的小数点对齐”提供了重要的类比基础。

4.生活经验：学生在购物、测量等现实情境中，对“平均分”包含小数结果的情况有初步的感性认识，如“把22.4元平均分给4个人”。

学习潜在困难与误区预判：

1.算理理解障碍：从整数除法“余数添0继续除”到小数除法“在被除数末尾添0继续除”，其背后的算理是将余下的“1个一”转化为“10个十分之一”进行继续分割。这一“计数单位转换”思想是抽象的，学生容易仅模仿算法步骤而忽略本质。

2.小数点处理混淆：学生极易受小数加减法“小数点对齐”的强认知影响，在除法中错误地将“商的小数点”与“被除数原来的小数点”对齐后，在继续除的过程中再次对齐新出现的小数点，导致混乱。更常见的是忘记在商中点上小数点。

3.“0”占位问题：当被除数整数部分不够除，需要在个位商0时；或者除到小数部分某一位不够商1，需要在该位商0时，学生容易遗漏，造成数位对齐错误。

4.计算熟练度与信心：小数除法步骤增多，计算复杂度提升，部分学生可能因计算过程冗长而产生畏难情绪，影响计算的准确性和流畅性。

基于以上分析，本节课的教学设计必须坚持以“理解算理”为核心，借助直观模型和语言表征，打通整数除法与小数除法的内在联系，引导学生自主建构算法，并通过分层、递进的练习，在巩固技能的同时，深化对运算本质的理解，发展运算能力和推理意识。

二、素养导向的教学目标设计

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求，结合本课内容，制定如下三维融合的教学目标：

（一）知识与技能目标

1.结合具体情境，理解除数是整数的小数除法的意义与整数除法的意义相同。

2.通过自主探索、合作交流，经历除数是整数的小数除法计算方法的形成过程，掌握其笔算方法，能正确、熟练地进行计算。

3.能运用小数除法解决简单的实际问题。

（二）过程与方法目标

1.在探索计算方法的过程中，进一步发展迁移类推能力、抽象概括能力和归纳能力。

2.通过运用元、角、分单位换算或图形（如方格图）等直观模型，理解算理，体验“转化”和“数形结合”的数学思想方法。

3.在解决问题的过程中，学会分析数量关系，提高应用意识和解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观目标

1.在独立思考与合作交流中获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

2.感受数学与生活的密切联系，培养严谨、认真的计算习惯。

3.在探索算理的过程中，体会数学知识之间的内在联系，感受数学的严谨性与逻辑美。

（四）核心素养发展指向

1.运算能力：不仅掌握算法，更要理解算理。能根据算理选择合理的算法，保证运算的准确性、合理性与简洁性。能通过估算判断计算结果的大致范围。

2.推理意识：通过观察、比较整数除法与小数除法的异同，进行逻辑推理，归纳概括出计算法则。对“为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐”能做出有理有据的解释。

3.几何直观与模型意识：借助面积模型、货币模型等将抽象的算理具体化、可视化，建立数学模型，帮助理解和解决问题。

4.应用意识：有意识地利用小数除法知识解释现实世界中的平均分现象，并尝试用数学语言进行描述和解决。

三、教学重难点及突破策略

（一）教学重点

除数是整数的小数除法的算理与算法，特别是商的小数点的定位方法。

（二）教学难点

1.理解除到被除数末尾仍有余数时，在余数后面添0继续除的算理（即计数单位的转换）。

2.理解并牢固掌握“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的法则。

（三）突破策略

1.情境唤醒，联系旧知：创设贴近学生生活的情境，激活“平均分”的已有经验。通过复习整数除法，设置认知冲突（22÷4=5...2，余下的2千米怎么分？），自然引出新问题。

2.多元表征，深化算理：

1.3.操作表征：利用学具（如代表元角分的小卡片）进行分一分活动。

2.4.表象表征：用线段图、方格图等直观图形表示被除数和分割过程。

3.5.符号表征：引导学生用竖式记录分的过程，将每一步操作与竖式的每一步计算对应起来。

4.6.语言表征：鼓励学生用自己的话解释每一步计算的含义，特别是“2个一转化成20个十分之一”的过程。

7.对比沟通，构建网络：将整数除法竖式与小数除法竖式进行对比，突出“从高位除起”、“余数添0继续除”等共性，以及“小数点的处理”这一特性。引导学生发现，小数除法只是将整数除法的“计数单位”从“一、十、百…”扩展到了“十分之一、百分之一…”。

8.关键追问，直击本质：设计系列问题链：“余下的2表示2个什么？”“还能直接分吗？怎么办？”“把2个一变成20个十分之一，在竖式里怎么看？”“商5表示5个一，写在哪里？现在商6表示6个什么？应该写在哪里？”“为什么商的小数点要点在这里？”

四、教学准备与资源

（一）教师准备

1.多媒体课件：包含情境动画、计算过程的动态演示（如计数单位转换的闪烁效果）、对比表格、分层练习题组等。

2.板书设计预案（思维导图式）。

3.课堂练习纸（分层设计）。

4.实物投影仪。

（二）学生准备

1.复习整数除法的笔算方法。

2.准备练习本、笔、直尺。

3.可选：用于模拟“元角分”的虚拟学具或画图工具。

五、教学过程实施（核心环节详案）

第一环节：创设情境，提出问题（预计用时：5分钟）

1.情境导入：

（课件出示）王鹏同学是校田径队队员，他制定了详细的晨跑计划。计划书中写道：“我计划用4周时间，总跑22.4千米来提升耐力。”

师：从这条数学信息中，你能提出一个用除法解决的数学问题吗？

生：他平均每周要跑多少千米？

师：很好！如何列式？

生：22.4÷4。

师板书：22.4÷4

2.揭示课题：

师：仔细观察这个算式，和以前学过的除法算式有什么不同？

生：被除数是小数，除数是整数。

师：是的，这就是我们今天要深入研究的新知识——除数是整数的小数除法。（板书课题：除数是整数的小数除法）

3.估算引路：

师：在精确计算之前，我们先估一估，结果大约是多少？说说你的想法。

生1：把22.4看成20，20÷4=5，所以结果比5大一些。

生2：把22.4看成24，24÷4=6，所以结果比6小一些。

师：也就是说，结果应该在5到6之间。这为我们后面的精确计算提供了一个判断范围的依据。

【设计意图】从真实、积极的运动情境引入，培养学生从生活中发现并提出数学问题的能力。通过观察算式特点，明确学习任务。估算环节激活学生的数感，既是对整数除法估算的迁移，也为后续检验计算结果合理性埋下伏笔，体现运算能力的培养。

第二环节：自主探究，理解算理（预计用时：20分钟）

活动一：激活旧知，尝试迁移

师：22.4÷4到底等于多少呢？我们没学过小数除以整数，但学过整数除以整数。22.4千米可以看成224个0.1千米，或者224个100米…但我们能不能直接用竖式，像整数除法那样试着算一算呢？请同学们在练习本上独立尝试。

（学生独立尝试，教师巡视，收集有代表性的算法进行投影展示。可能出现的典型情况有：①直接模仿整数除法，得商56；②知道点小数点但位置点错，如商5.6但过程不清；③完全正确。）

活动二：聚焦冲突，探索转化

1.展示“错例”：投影展示仅得商56的竖式。

师：这位同学算得结果是56。我们刚才估算的结果在5到6之间，56显然不符合。问题出在哪里？

生：他忘记处理小数点了。

师：小数点该怎么处理？为什么不能像整数除法224÷4那样直接得56？22.4和224一样吗？

生：不一样，22.4是22个一和4个十分之一组成的。

2.借助模型，理解意义：

师：为了弄明白，我们请个“老朋友”来帮忙。如果把22.4元平均分给4个人，每人分得多少元？

（课件动态演示：22.4元=22元+4角）

师：我们可以怎么分？

生：先分22元，每人分得5元，还剩下2元。

师：剩下的2元怎么办？

生：把2元换成20角，加上原来的4角，一共是24角。再把24角平均分给4人，每人得6角。

师：所以每人分得多少？

生：5元6角，也就是5.6元。

师：这个过程，如果用竖式来记录，该怎样写呢？请大家结合刚才分钱的过程，重新审视你的竖式。

3.沟通模型与竖式：

请一名算法正确的学生（或教师引导）上台，结合课件演示，讲解竖式计算过程。

步骤解析：

5.6

————

4)22.4

20

————

24（此处的“2”是2个一，也就是20个十分之一）

24

————

0

关键点追问：

1.4.“先分什么？”（22个一）“22÷4商5，这个5表示5个一，写在哪一位上？”（个位）

2.5.“分了20个一（4×5=20），还余下2个一。这2个一还能直接分吗？怎么办？”（不能，把2个一化成20个十分之一）

3.6.“在竖式里，怎么体现‘化成20个十分之一’？”（把被除数十分位上的4落下来，和余数2合在一起，变成24。）

4.7.“仔细看，这个‘24’表示24个什么？”（24个十分之一）“你是怎么知道的？”（因为4是从十分位落下来的，表示4个十分之一，加上2个一转化成的20个十分之一，一共24个十分之一。）

5.8.“24个十分之一除以4，得6个十分之一。这个6应该写在哪一位上？”（十分位）“为什么？”（因为它表示6个十分之一。）

6.9.“现在，完整的商是5个一和6个十分之一，也就是5.6。商里的小数点要点在哪里？”（要点在个位5和十分位6之间）“这个小数点的位置，和被除数22.4的小数点位置有什么关系？”（对齐）

师顺势用红色粉笔标出竖式中被除数与商的小数点，并用箭头连接，强调“对齐”。

10.抽象概括，初建算法：

师：请同学们闭上眼睛，回顾一下刚才我们计算22.4÷4的完整过程。然后和同桌互相说一说，除数是整数的小数除法，先怎么算？再怎么算？商的小数点怎么处理？

学生讨论后汇报，教师引导归纳（板书算法要点）：

（1）按整数除法的方法去除。

（2）商的小数点要和被除数的小数点对齐。

（3）如果有余数，在余数末尾添0继续除。（此点可根据学生生成情况决定是否在本环节明确提出，或在下个巩固环节再强化）

【设计意图】本环节是突破算理理解的核心。通过“尝试——冲突——建模——沟通——抽象”的探究路径，将学生置于认知矛盾的中心。借助“元角分”这一学生最熟悉的十进制模型，将抽象的“计数单位转换”过程具体化、可视化。通过一系列层层递进的关键性提问，引导学生将直观的操作过程与抽象的竖式符号每一步一一对应，真正理解“2个一如何化为20个十分之一”以及“商的小数点为何要与被除数小数点对齐”的算理本质。从具体模型到抽象算法的归纳，培养了学生的抽象概括能力和推理意识。

第三环节：分层练习，巩固算法（预计用时：12分钟）

设计分层练习，满足不同层次学生需求，实现“素养达标”。

A层：基础巩固（面向全体，夯实算理与算法）

1.笔算小医生：判断竖式对错，并改正。

①1.5②4.5

————

6)9.65)22.5

620

————

3625

3625

————

00

（①错，商的小数点未与被除数对齐；②对）

要求：先判断，再说出错因或每一步的含义。

2.竖式计算：

9.6÷4=25.2÷6=34.5÷15=

（重点巡视学困生，关注小数点对齐情况和计算过程的书写规范。）

B层：综合应用（面向大多数，提升熟练度与理解深度）

1.解决问题：

（1）一条绳子长14.4米，把它平均剪成12段做跳绳，每段跳绳长多少米？

（2）爸爸买了8升汽油，一共花了62.4元。每升汽油多少钱？

（要求：先分析数量关系，再列竖式计算，最后口述检验。）

2.观察发现：

计算下面两组题，观察商与被除数的关系，你有什么发现？

第一组：42÷3=4.2÷3=0.42÷3=

第二组：18÷2=1.8÷2=0.18÷2=

（引导学生发现：在除数不变的情况下，被除数缩小到原来的十分之一、百分之一，商也缩小到原来的十分之一、百分之一。渗透函数思想，并为后续学习商的变化规律做铺垫。）

C层：拓展挑战（面向学有余力者，发展思维）

1.推理填空：

（）÷5=2.6

1.44÷（）=0.12

（根据乘除法的互逆关系，逆向思考，巩固算理。）

2.探究题：计算1÷8。

师：这道题的被除数是整数1，但结果会是整数吗？尝试用今天学的方法计算。遇到什么新情况？（整数部分1不够除，个位商0；余数1添0变成10个十分之一继续除…）这个情况该怎么处理？和同桌讨论，并完成计算。

（此题为下节课“整数部分不够商1，要在个位写0占位”做孕伏，激发学生探究欲。）

【设计意图】分层练习体现了“面向全体，因材施教”的原则。A层练习重在巩固算法，辨析易错点，确保全体学生掌握基本技能。B层练习将计算置于解决问题情境中，培养应用意识，同时通过观察对比，深化对运算规律的理解，提升思维层次。C层练习具有开放性和挑战性，旨在激发优秀学生的潜能，培养他们的探究能力和推理能力，实现“下要保底，上不封顶”的教学效果。教师巡视指导应有侧重，对A层学生多进行个别辅导，对C层学生多给予思维启发。

第四环节：回顾总结，升华认知（预计用时：3分钟）

1.知识梳理：

师：通过今天的学习，你有哪些收获？

引导学生从知识、方法、体验等多角度回顾。

生1：我学会了除数是整数的小数除法怎么算。

生2：我知道了算理，明白了商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐。

生3：我学会了用以前的知识（整数除法、元角分模型）来解决新问题。

生4：我觉得数学知识之间是有联系的。

2.方法提升：

师（结合板书）：是的，今天我们遇到新问题——小数除以整数，通过联系旧知（整数除法），借助模型（元角分）理解了算理，最终概括出了算法。这是一种非常重要的学习方法。小数除法这个大家庭，我们今天认识了第一位成员“除数是整数的小数除法”，以后我们还会认识它的其他成员。

3.情感激励：

师：看到大家通过自己的探索掌握了新知识，老师为大家感到骄傲。数学就是在不断解决新问题的过程中发展的，希望大家保持这份探究的热情。

【设计意图】引导学生自主梳理学习成果，将零散的知识点系统化、结构化。强调学习方法的总结，让学生不仅“学会”，更“会学”。富有激励性的结语，肯定学生的努力，增强学习数学的自信和兴趣。

六、板书设计

板书采用思维导图与过程性记录相结合的方式，力求清晰、直观地展现知识的发生发展过程和内在联系。

除数是整数的小数除法

（转化、迁移）

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情境：22.4÷4=？(km)

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估算：5<商<6

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——————————探究算理——————————

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模型支撑：22.4元→22元+4角

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先分整：22÷4=5...2

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余转小：2元=20角

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合再分：(20+4)角÷4=6角

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结果：5元6角=5.6元

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——————————归纳算法——————————

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【算法要点】

1.按整数除法的方法去除。

2.商的小数点要和被除数的小数点对齐。

↓

【竖式对比】

整数除法：小数除法：

565.6

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4)2244)22.4

2020

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2424

2424

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00

（计数单位：一）（计数单位：一、十分之一）

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——————————思想方法——————————