八年级下册数学期末试卷培优篇难点突破教学设计

八年级下册数学期末试卷培优篇难点突破教学设计一、教学背景与设计理念（一）课程定位【重要】本教学设计针对八年级下册数学期末试卷中的培优难点，旨在帮助学业水平优秀的学生突破思维瓶颈，提升综合运用知识解决问题的能力。课程基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对核心素养的要求，聚焦函数、几何图形变换、动态问题、代数与几何综合等高频难点，通过精选典型试题、剖析解题策略、构建模型思想，实现从“会做”到“巧做”再到“通透”的跃升。（二）设计理念以“问题驱动”为主线，以“思维进阶”为目标，采用“一题多变、多题归一”的教学策略，引导学生深度理解数学本质。注重启发式、探究式学习，鼓励学生自主归纳通性通法，同时适当渗透数学思想方法（如数形结合、分类讨论、转化思想），全面提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等核心素养。（三）教学对象分析八年级学生正处于逻辑思维迅速发展但尚未完全成熟的阶段。优秀学生通常具备扎实的基础知识和较强的模仿能力，但在面对综合性、创新性题目时，往往思路单一、迁移能力不足，缺乏对复杂问题的拆解与重构能力。因此，教学的重点在于引导他们跳出题海，从命题者视角审视问题，掌握破解难题的通用策略。（四）教学内容分析本次培优难点突破选取期末试卷中失分率最高、区分度最大的三类题型：一次函数与几何综合题、四边形中的动态与存在性问题、实际应用与最值问题。这些题目涉及的知识点纵横交错，对学生的思维深度和广度要求极高，是区分优秀与卓越的关键所在。二、教学目标（一）知识与技能【基础】1.熟练掌握一次函数与几何图形（尤其是三角形、四边形）结合问题的常见解法，能运用待定系数法、交点坐标法、面积法解决相关问题。2.掌握动态几何问题的分析方法，能够根据运动变化中的不变量或特殊位置建立方程，解决存在性、最值问题。3.能够从实际问题中抽象出函数模型或几何模型，运用所学知识求解最优方案。（二）过程与方法【重要】1.通过一题多解、一题多变，体验数学思想的深刻性，提升思维的灵活性和发散性。2.经历“审题—建模—求解—反思”的完整解题过程，强化自我监控与反思意识。3.在小组合作与交流中，学会倾听、质疑与分享，提升数学表达与沟通能力。（三）情感态度与价值观【非常重要】1.在攻克难题的过程中，树立战胜困难的信心，体会数学的严谨与优美。2.培养实事求是、精益求精的科学态度，以及敢于质疑、勇于探索的创新精神。3.感受数学与生活的紧密联系，增强应用意识。三、教学重难点（一）教学重点【高频考点】1.一次函数与几何图形的综合应用，特别是面积问题、等腰三角形存在性问题。2.平行四边形中的动点问题，以及由此产生的函数关系与最值。3.利用函数思想解决实际生活中的优化问题。（二）教学难点【难点】1.动态问题中分类讨论标准的确定，以及如何用代数式准确表示线段长度或点坐标。2.复杂图形中隐含条件的挖掘（如中点、垂直、角平分线等几何性质与代数表达的转化）。3.数学模型的建立与优化，尤其是如何将文字语言转化为符号语言。四、教学方法与准备（一）教学方法采用“问题串引导—例题精析—变式拓展—反思提炼”的探究式教学法，结合多媒体动态演示（几何画板或GeoGebra），直观展示图形变化过程，帮助学生建立动态想象。同时穿插小组讨论、板演展示，及时反馈矫正。（二）教学准备1.教师准备：精选典型例题及变式题组，制作多媒体课件（PPT或希沃白板），准备几何画板动态演示文件。2.学生准备：完成教师布置的预学案（回顾一次函数性质、平行四边形判定与性质、常用面积公式），准备红笔用于纠错与笔记。五、教学过程（一）导入激趣，明确目标【约3分钟】同学们，期末考试的钟声即将敲响，前面的复习我们已经夯实了基础，但要想在数学学科上脱颖而出，就必须攻克那些“拦路虎”——压轴题。今天，老师为大家准备了三道“硬菜”，它们分别来自近三年各地期末试卷的难点。我们将通过这三道题的深度剖析，揭开难题的神秘面纱，掌握破解难题的“金钥匙”。让我们开启今天的“难点突破之旅”！（二）模块一：一次函数与几何综合——数形结合巧解面积与存在性【约20分钟】【例题1】（2023某区期末压轴题改编）【非常重要】【高频考点】如图，在平面直角坐标系中，直线$l_1:y=kx+b$经过点$A(0,4)$和$B(2,0)$，直线$l_2:y=mx$与直线$l_1$交于点$C$。（1）求直线$l_1$的解析式及点$C$的坐标；（2）在$x$轴上是否存在一点$P$，使得$\trianglePOC$是以$OC$为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。（3）点$Q$是直线$l_2$上一动点，当$\triangleQAB$的面积等于$\triangleAOB$面积的一半时，求点$Q$的坐标。【教学实施步骤】1.审题引导（师生互动）教师：请同学们快速读题，圈画出关键条件：直线$l_1$过点A、B；直线$l_2$过原点；两直线交于点C；问题（2）中“以OC为腰”意味着什么？问题（3）中“面积一半”如何表达？学生回答，教师板书关键信息，并提醒学生注意“等腰三角形”未明确哪两条边相等，需要分类讨论。2.问题（1）求解——基础铺垫【基础】教师：请一位同学口答第一问。学生：由$A(0,4)$、$B(2,0)$，利用待定系数法得$\begin{cases}b=4\2k+b=0\end{cases}$，解得$k=2,b=4$，所以$l_1:y=2x+4$。联立$l_1$与$l_2:y=mx$，得$2x+4=mx$，即$(m+2)x=4$，所以$x=\frac{4}{m+2}$，则$y=\frac{4m}{m+2}$，即$C(\frac{4}{m+2},\frac{4m}{m+2})$。教师：很好！注意这里$m$是参数，但题目中$l_2$是确定的直线吗？再看原题，直线$l_2:y=mx$，$m$应该是具体数值。哦，原题可能遗漏了条件，我们补充一个条件：直线$l_2$经过点$C$且$OC$平分$\angleAOB$？不，我们得修正。为了课堂完整，我们设$l_2:y=x$（即$m=1$），那么$C$点坐标就具体化了。这样处理：实际教学中，如果原题$m$未知，可以让学生用含$m$的式子表示，然后根据后续条件确定$m$。但今天为了聚焦难点，我们直接设定$m=1$。所以$l_2:y=x$，与$l_1$联立得$2x+4=x$，解得$x=\frac{4}{3}$，$y=\frac{4}{3}$，即$C(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$。（注：此处根据教学需要灵活调整，体现教师对题目的驾驭能力。）3.问题（2）探究——等腰三角形存在性【难点】【高频考点】教师：问题（2）中，以OC为腰的等腰三角形$\trianglePOC$，点P在x轴上。大家先独立思考，然后小组交流，最后派代表展示。学生分组讨论，教师巡视，个别点拨：注意腰是谁？OC是腰，意味着OC可以和OP相等，也可以和CP相等。但要注意，顶点可能是O、C、P中的哪一个？等腰三角形有两边相等，且这两边是腰。题中明确“以OC为腰”，所以OC必须是腰，那么可能的情况有两种：①OC=OP；②OC=CP。同时，点P在x轴上，设$P(t,0)$。小组展示：第一种情况：OC=OP。计算$OC$长度：$OC=\sqrt{(\frac{4}{3})^2+(\frac{4}{3})^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。则$OP=|t|=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，所以$t=\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}$，即$P_1(\frac{4\sqrt{2}}{3},0)$，$P_2(\frac{4\sqrt{2}}{3},0)$。第二种情况：OC=CP。此时$CP=OC=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。又$C(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$，$P(t,0)$，由两点间距离公式得：$\sqrt{(t\frac{4}{3})^2+(0\frac{4}{3})^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。两边平方：$(t\frac{4}{3})^2+\frac{16}{9}=\frac{32}{9}$。即$(t\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，所以$t\frac{4}{3}=\pm\frac{4}{3}$。解得$t=\frac{8}{3}$或$t=0$。当$t=0$时，点P与原点O重合，此时$\trianglePOC$退化为线段，不是三角形，舍去。所以$P_3(\frac{8}{3},0)$。综上所述，符合条件的点P有3个：$P_1(\frac{4\sqrt{2}}{3},0)$，$P_2(\frac{4\sqrt{2}}{3},0)$，$P_3(\frac{8}{3},0)$。教师点评：很好！分类讨论非常清晰，尤其注意了第二种情况中$t=0$要舍去，因为三点共线不能构成三角形。这是易错点，同学们要牢记。另外，在第一种情况中，我们默认了OC为腰，但有没有可能OC为底？题目明确“以OC为腰”，所以不考虑OC为底。同时，我们也要注意，等腰三角形问题通常要分三种情况（分别以O、C、P为顶点），但这里指定了腰，所以只分两种。4.问题（3）探究——面积问题【重要】教师：问题（3）点Q在直线$l_2:y=x$上，设$Q(q,q)$。$\triangleQAB$的面积如何计算？已知$A(0,4)$，$B(2,0)$，$\triangleAOB$的面积$S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\times2\times4=4$。所以$\triangleQAB$面积应等于2。如何表示$\triangleQAB$的面积？可以用割补法或直接利用坐标公式。这里我们采用“铅垂高×水平宽”的方法。教师引导学生分析：以AB为底，则高为点Q到直线AB的距离。但直接求距离较繁琐。另一种方法：过点Q作x轴的垂线，交直线AB于一点，利用三角形面积差。教师给出简洁方法：连接OA、OB，$\triangleQAB$的面积可以看成是四边形$OQAB$的面积减去$\triangleOAB$的面积？或者直接用坐标法：过点Q作QM∥y轴交AB于点M。先求直线AB的解析式：$y=2x+4$。设$Q(q,q)$，则$M(q,2q+4)$。则$QM=|q(2q+4)|=|3q4|$。$\triangleQAB$的面积可以看作$\triangleQMA$与$\triangleQMB$的面积之和，它们有共同的底QM，高的和为A、B横坐标之差的绝对值？实际上，若Q在AB的同一侧，面积公式为$S=\frac{1}{2}\timesQM\times|x_Bx_A|$？注意这里A、B的横坐标分别为0和2，所以$|x_Bx_A|=2$。因此$S_{\triangleQAB}=\frac{1}{2}\times|3q4|\times2=|3q4|$。令$|3q4|=2$，则$3q4=2$或$3q4=2$。解得$q=2$或$q=\frac{2}{3}$。所以$Q_1(2,2)$，$Q_2(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$。注意检查：当$q=2$时，$Q(2,2)$，此时M(2,0)，QM=2，面积=2，符合。当$q=\frac{2}{3}$时，$Q(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$，M($\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}+4=\frac{10}{3}$)，QM=|$\frac{2}{3}\frac{10}{3}$|=$\frac{8}{3}$，面积=$\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}\times2=\frac{8}{3}\neq2$？这里出现了矛盾！说明我们推导的面积公式$S=|3q4|$有问题吗？教师引导学生重新推导：$S_{\triangleQAB}=\frac{1}{2}\timesQM\times(x_Bx_A)$？这是当A、B在QM同侧时成立吗？实际上，$S_{\triangleQAB}=\frac{1}{2}|QM|\cdot|x_Bx_A|$成立的条件是点Q和线段AB在直线QM的两侧？更严谨的做法：利用坐标法求三角形面积公式：$S_{\triangleQAB}=\frac{1}{2}|x_A(y_By_Q)+x_B(y_Qy_A)+x_Q(y_Ay_B)|$。代入$A(0,4)$，$B(2,0)$，$Q(q,q)$：$S=\frac{1}{2}|0\times(0q)+2\times(q4)+q\times(40)|=\frac{1}{2}|2(q4)+4q|=\frac{1}{2}|2q8+4q|=\frac{1}{2}|6q8|=|3q4|$。看来公式没错，那为什么代入$q=\frac{2}{3}$时，$|3\times\frac{2}{3}4|=|24|=2$，而用铅垂高法得到的QM是$\frac{8}{3}$，乘以2再除以2也得$\frac{8}{3}$？注意：铅垂高法的底不是AB的水平宽，而是QM作为铅垂高时，水平宽应该是A、B横坐标差的绝对值，即2。所以面积应为$\frac{1}{2}\timesQM\times2=QM$。这里$QM=|y_Qy_M|$，其中M是过Q作竖直线与AB的交点。我们计算$Q(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$，$M(\frac{2}{3},2\times\frac{2}{3}+4=\frac{4}{3}+4=\frac{8}{3})$，所以$QM=|\frac{2}{3}\frac{8}{3}|=\frac{6}{3}=2$。哦，我之前算$y_M$时误写成了$\frac{2}{3}+4$，应该是$2\times\frac{2}{3}+4=\frac{4}{3}+4=\frac{8}{3}$。正确。所以$QM=2$，面积=2，符合。说明刚才的怀疑是计算错误。所以两个解都正确。教师强调：在利用铅垂高法时，务必将点M的坐标准确求出，避免计算错误。同时，要养成用不同方法检验的习惯。5.反思总结【重要】教师：通过本题，我们学到了什么？学生：解决一次函数与几何综合题，要善于将几何条件转化为代数表达式；等腰三角形存在性问题要注意分类讨论，并检验三点共线；面积问题可以用铅垂高法或坐标公式，注意绝对值方程的解的个数。（三）模块二：四边形中的动态与存在性问题——动静结合，分类突破【约25分钟】【例题2】（2022某名校期末真题）【非常重要】【热点】如图，在矩形ABCD中，$AB=6$cm，$BC=8$cm，对角线AC、BD交于点O。点P从点A出发，沿折线$A\toD\toC$以2cm/s的速度向终点C运动；点Q从点C出发，沿折线$C\toB\toA$以1cm/s的速度向终点A运动。点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为$t$秒。（1）当$t$为何值时，P、Q两点相遇？（2）当$t$为何值时，$\trianglePOQ$的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{8}$？（3）是否存在某一时刻$t$，使得四边形APQB为平行四边形？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由。【教学实施步骤】1.审题与建模【基础】教师：这是一个典型的双动点问题，路径是折线，运动速度不同，需要分阶段讨论。请同学们先画出运动路径示意图，并标注关键数据。独立思考后，小组合作完成第一问。学生画图，分析：矩形长8，宽6。点P从A到D再到C：A→D距离8，D→C距离6，所以总路程14cm，速度2cm/s，用时7秒。点Q从C到B再到A：C→B距离6，B→A距离8，总路程14cm，速度1cm/s，用时14秒。所以整个运动过程以7秒为界（P停止后Q继续，但根据题意，P停止时Q也停止？题中说“当其中一点到达终点时，另一点也停止运动”，所以实际运动时间最长是7秒，因为P先到终点。因此时间范围：$0\let\le7$。2.问题（1）求解——相遇时间【基础】相遇意味着P、Q位置相同。由于路径不同，需要分情况讨论。教师引导：可能相遇的位置在哪？P从A出发向D，Q从C出发向B，一开始它们相向而行？画图可知，可能在AD上？但Q一开始在C，向B运动，P在A向D，它们都在矩形的上边？实际上，A和C是对角顶点，P向下运动，Q向左运动，它们不可能在AD或CB上相遇，因为方向不同。可能相遇在DC或AB上？需要分类。学生尝试：设$t$秒后，P走过的路程$2t$，Q走过的路程$t$。第一阶段：$0\let\le4$时，P在AD上（AD=8，2t≤8→t≤4），Q在CB上（CB=6，t≤6，所以第一阶段Q也在CB上，t≤4时Q在CB上）。P坐标：以A为原点，AB为x轴正方向，AD为y轴正方向建立坐标系，则A(0,0)，D(0,8)，B(6,0)，C(6,8)。则P(0,2t)，Q(6,8t)？注意Q从C(6,8)向B(6,0)运动，速度1，所以Q的纵坐标从8减少，t秒后Q(6,8t)。显然P的横坐标为0，Q的横坐标为6，不可能相等，所以此阶段不相遇。第二阶段：$4<t\le7$时，P已过D点，在DC上运动（D→C是水平向右）。P在DC上，从D(0,8)向C(6,8)运动，速度2，所以P走过的路程$2t$，其中在AD上走了8，所以在DC上走了$2t8$，因此P的横坐标为$2t8$，纵坐标为8，即P($2t8$,8)。此时Q可能仍在CB上或已进入BA段？Q在CB上直到$t=6$，所以分两段：①$4<t\le6$：Q仍在CB上，Q(6,8t)。P($2t8$,8)。令P、Q坐标相等，则需$2t8=6$且$8=8t$。第一式得$2t=14$,$t=7$；第二式得$t=0$。矛盾，无解。②$6<t\le7$：Q已进入BA段，从B(6,0)向A(0,0)运动，速度1，在BA上运动的时间为$t6$，所以Q的横坐标从6减少，纵坐标0，即Q($6(t6)$,0)=($12t$,0)。P仍在DC上，P($2t8$,8)。令相等，则$2t8=12t$，且$8=0$，显然不可能。因此，没有相遇的时刻？但题目问“当t为何值时，P、Q两点相遇”，若没有相遇，答案应该是不存在。但通常这种题会有相遇情况，可能我们坐标系建错了？或者路径理解有误？再检查：矩形ABCD，通常顶点顺序：A左下，B右下，C右上，D左上。题中AB=6，BC=8，所以AB是水平边，BC是竖直边。点P从A出发，沿折线A→D→C，A到D是向上？若A为(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)，则A→D是向上，D→C是向右，符合。Q从C出发，沿C→B→A，C→B是向下，B→A是向左。那么P在AD上时，P(0,2t)；Q在CB上时，Q(6,8t)。确实横坐标0与6不可能相等。P在DC上时，P(2t8,8)；Q在CB上时，Q(6,8t)，纵坐标8与8t不可能相等（除非t=0）。Q在BA上时，Q(12t,0)，纵坐标0与8不可能相等。所以确实没有相遇。那么第一问的答案就是“不存在”。但这是不是太简单？也可能P、Q相遇在顶点处？当t=4时，P到D(0,8)，Q在CB上Q(6,4)，不重合。当t=6时，P在DC上P(4,8)，Q到B(6,0)，不重合。当t=7时，P到C(6,8)，Q在BA上Q(5,0)，也不重合。所以确实不相遇。因此第一问答案：不存在这样的t。教师可借此强调审题的重要性，不要预设结论。3.问题（2）探究——三角形面积问题【重要】【难点】教师：第二问要求$\trianglePOQ$的面积为矩形面积的$\frac{1}{8}$。矩形面积=6×8=48，所以$\frac{1}{8}$为6。即$S_{\trianglePOQ}=6$。点O是矩形中心，坐标为(3,4)。P、Q位置随时间变化，需分段讨论。学生分组讨论，教师引导：因为P、Q运动路径不同，且$t$范围0~7，需根据P、Q所在线段划分时间段。可能的分段：（1）$0\let\le4$：P在AD，Q在CB；（2）$4<t\le6$：P在DC，Q在CB；（3）$6<t\le7$：P在DC，Q在BA。分别计算$\trianglePOQ$的面积。教师提示：求三角形面积可以用割补法，或者利用坐标法。这里点的坐标容易表示，直接用坐标法。阶段1：$0\let\le4$，P(0,2t)，Q(6,8t)，O(3,4)。则$S_{\trianglePOQ}=\frac{1}{2}|x_P(y_Qy_O)+x_Q(y_Oy_P)+x_O(y_Py_Q)|$。代入：$x_P=0$，$y_P=2t$；$x_Q=6$，$y_Q=8t$；$x_O=3$，$y_O=4$。计算：$0\times(8t4)=0$；$6\times(42t)=2412t$；$3\times(2t(8t))=3\times(3t8)=9t24$。求和：$0+(2412t)+(9t24)=3t$。绝对值：$S=\frac{1}{2}|3t|=\frac{3}{2}t$。令$\frac{3}{2}t=6$，得$t=4$。注意此时$t=4$在阶段1的端点，可以接受。所以$t=4$是一个解。阶段2：$4<t\le6$，P在DC上，P($2t8$,8)，Q在CB上，Q(6,8t)，O(3,4)。代入：$x_P=2t8$,$y_P=8$;$x_Q=6$,$y_Q=8t$;$x_O=3$,$y_O=4$。计算三项：第一项：$x_P(y_Qy_O)=(2t8)[(8t)4]=(2t8)(4t)$；第二项：$x_Q(y_Oy_P)=6\times(48)=6\times(4)=24$；第三项：$x_O(y_Py_Q)=3\times[8(8t)]=3t$。求和：$(2t8)(4t)24+3t$。展开$(2t8)(4t)=8t2t^232+8t=2t^2+16t32$。再加$24+3t$，得：$2t^2+16t3224+3t=2t^2+19t56$。所以$S=\frac{1}{2}|2t^2+19t56|$。令其等于6，即$|2t^2+19t56|=12$。去掉绝对值，得两个方程：①$2t^2+19t56=12$→$2t^2+19t68=0$→$2t^219t+68=0$。判别式$\Delta==183<0$，无实数解。②$2t^2+19t56=12$→$2t^2+19t44=0$→$2t^219t+44=0$。判别式$\Delta==9$，$t=\frac{19\pm3}{4}$，即$t=\frac{22}{4}=5.5$或$t=\frac{16}{4}=4$。其中$t=4$不在开区间$(4,6]$内（但区间左端是开，右端闭，$t=4$已在前一阶段取过），$t=5.5$在区间内，所以$t=5.5$是一个解。阶段3：$6<t\le7$，P在DC上，P($2t8$,8)，Q在BA上，Q($12t$,0)，O(3,4)。代入：$x_P=2t8$,$y_P=8$;$x_Q=12t$,$y_Q=0$;$x_O=3$,$y_O=4$。计算：第一项：$(2t8)(04)=(2t8)\times(4)=8t+32$；第二项：$(12t)(48)=(12t)\times(4)=48+4t$；第三项：$3\times(80)=24$。求和：$(8t+32)+(48+4t)+24=(8t+4t)+(3248+24)=4t+8$。所以$S=\frac{1}{2}|4t+8|=|2t+4|$。令$|2t+4|=6$，则$2t+4=6$或$2t+4=6$。解得$t=1$（舍去）或$t=5$。但$t=5$不在阶段3的区间$(6,7]$内，所以无解。综上所述，满足条件的$t$值为$t=4$和$t=5.5$。教师点评：本题计算量较大，但思路清晰。关键在于正确写出各阶段点的坐标，并准确代入面积公式。注意分段时端点归属要明确，避免重复或遗漏。同时，对于绝对值方程，要仔细求解并检验是否在定义域内。4.问题（3）探究——平行四边形存在性【非常重要】【热点】教师：第三问，是否存在$t$使得四边形APQB为平行四边形？四边形APQB，顶点顺序为A、P、Q、B，需注意P、Q是动点，可能的位置。根据平行四边形判定，一组对边平行且相等，或对角线互相平分。这里我们利用“对角线互相平分”较为方便，即AP与BQ的中点重合（因为A、B是定点，P、Q是动点）。但注意四边形顶点顺序：若APQB是平行四边形，则AP∥BQ且AP=BQ，或者AQ∥BP等。我们不妨先假设存在，然后列方程。教师引导：如何用中点坐标公式？若四边形APQB是平行四边形，则对角线AQ和BP的中点相同？还是AP和BQ的中点相同？需要根据顶点顺序确定。通常，平行四边形$APQB$，则线段AP和BQ是对角线？还是AQ和BP？我们画图：A、P、Q、B按顺序，那么对角线应该是AQ和PB。所以中点相同应满足：A和Q的中点与P和B的中点重合。即$\frac{A+Q}{2}=\frac{P+B}{2}$。即$A+Q=P+B$。因为A(0,0)，B(6,0)。所以$Q=P+BA=P+(6,0)$。即$Q$点坐标等于$P$点坐标加上(6,0)。现在需要根据P、Q所在位置分段讨论，看是否存在$t$使得这个关系成立。同样分三个阶段：阶段1：$0\let\le4$，P(0,2t)，Q(6,8t)。由$Q=P+(6,0)$得：$(6,8t)=(0+6,2t+0)=(6,2t)$。所以$8t=2t$，即$8=3t$，$t=\frac{8}{3}\approx2.67$，在阶段1范围内，符合。阶段2：$4<t\le6$，P($2t8$,8)，Q(6,8t)。由$Q=P+(6,0)$得：$(6,8t)=(2t8+6,8+0)=(2t2,8)$。所以$6=2t2$，即$2t=8$，$t=4$，不在开区间内；且$8t=8$得$t=0$，矛盾。所以无解。阶段3：$6<t\le7$，P($2t8$,8)，Q($12t$,0)。由$Q=P+(6,0)$得：$(12t,0)=(2t8+6,8)=(2t2,8)$。所以$12t=2t2$，即$14=3t$，$t=\frac{14}{3}\approx4.67$，不在阶段3内；且$0=8$矛盾。所以无解。因此，只有$t=\frac{8}{3}$秒时，四边形APQB是平行四边形。教师进一步提问：我们假设的是A、Q中点和P、B中点重合，但这是否一定是APQB为平行四边形？需要验证此时点A、P、Q、B是否按顺序构成四边形？当$t=\frac{8}{3}$时，P在AD上，P(0,16/3)，Q在CB上，Q(6,88/3=16/3)，所以P、Q纵坐标相等，均为16/3，且P(0,16/3)，Q(6,16/3)，A(0,0)，B(6,0)，所以APQB实际上是一个矩形？因为AP∥BQ（都垂直于x轴？AP是竖直的，BQ也是竖直的，所以AP∥BQ，且AP=BQ=16/3，所以确实是平行四边形，且是矩形。正确。5.反思提炼【重要】教师：动态问题解决的关键是“化动为静”，通过分段表示坐标，将几何条件转化为代数方程。注意分类讨论的完整性，以及结果的检验（是否在定义域内，是否构成几何图形）。另外，平行四边形存在性问题，常用对角线互相平分或对边平行且相等两种方法，本题选用中点法简化计算。（四）模块三：实际应用与最值问题——建模优化，活学活用【约15分钟】【例题3】（2023某区期末应用题）【热点】【重要】某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：|产品|A|B||||||成本（万元/件）|3|5||利润（万元/件）|1|2|（1）若工厂计划投入资金不超过44万元，且总利润不低于16万元，问工厂有哪几种生产方案？（2）在（1）的条件下，若工厂每天最多能生产A产品4件，B产品3件，且生产一件A产品需要2小时，生产一件B产品需要3小时，工厂每天总工时不超过20小时。问如何安排生产，可使总利润最大？最大利润是多少？【教学实施步骤】1.审题与建模【基础】教师：这是典型的线性规划问题，但八年级尚未学习线性规划，我们利用不等式组和一次函数性质求解。首先设生产A产品$x$件，则生产B产品$(10x)$件。根据条件列出不等式组。学生独立完成第（1）问：成本：$3x+5(10x)\le44$→$3x+505x\le44$→$2x\le6$→$x\ge3$。利润：$1\cdotx+2(10x)\ge16$→$x+202x\ge16$→$x\ge4$→$x\le4$。同时$x$为非负整数，且$10x\ge0$，所以$x$取值范围：$3\lex\le4$，且$x$为整数。因此$x=3$或$x=4$。对应方案：方案一：生产A产品3件，B产品7件；方案二：生产A产品4件，B产品6件。2.问题（2）探究——最值问题【难点】教师：第（2）问增加了生产能力的限制。我们需要在满足工时限制下，从上述两个方案中选择最优，或者可能需要在方案内调整？注意“每天最多能生产A产品4件，B产品3件”是日产能限制，但问题没有说明生产天数，可能是在一定天数内完成？通常理解：工厂计划生产这10件产品，需要在若干天内完成，每天有工时限制和产能限制。我们需要安排每天生产多少，使得总利润最大？但问题表述不够清晰。我们需合理假设：工厂每天安排生产，总工时不超过20小时，A、B每天产量不超过4和3，问如何安排可使这10件产品的总利润最大？实际上，因为利润与生产件数成正比，只要生产方案确定（即A、B总件数确定），总利润就固定了（方案一利润=3×1+7×2=3+14=17万；方案二利润=4×1+6×2=4+12=16万）。但第（2）问显然是在问，在满足日产能和工时限制下，能否完成这些方案？如果不能，可能需要调整？但题中已限定生产A、B共10件，所以（2）问可能是在（1）的基础上，进一步考虑如何安排生产计划（比如分几天生产）使得在约束下可行，并求最大利润。实际上，如果方案一利润更高，但可能受工时限制无法实现，那么就需要考虑是否可行。如果不可行，也许需要调整产量？但产量已由（1）限定为两种方案。所以（2）问应是判断这两种方案是否都能在工时和产能约束下完成，如果能，则利润大的为最优；如果不能，则只能选可行的那个；如果两个都不可行，则可能无解？但通常题目会设计成一个可行一个不可行，或者都可行但需安排生产天数。我们仔细分析：每天工时≤20，每天A≤4，B≤3。现在要生产A共$x$件，B共$10x$件。假设用$d$天完成，每天生产$a_i$件A，$b_i$件B，满足$\suma_i=x$，$\sumb_i=10x$，且每天$2a_i+3b_i\le20$，$0\lea_i\le4$，$0\leb_i\le3$，且$a_i,b_i$为非负整数。问题是要判断是否存在这样的安排。对于两种方案，分别判断可行