北师大版九年级数学上册《投影》核心素养导向教学设计

北师大版九年级数学上册《投影》核心素养导向教学设计

一、教学内容与课标定位

（一）教材内容结构分析

本节内容是北师大版九年级数学上册第五章“投影与视图”的第一节“投影”。在整套初中数学体系中，本节处于“图形与几何”领域的中后段，既是小学阶段立体图形初步认识的深化，又是高中阶段空间几何、立体几何乃至向量几何的认知起点。教材从生活实例（皮影戏、手影、日晷）引入投影现象，抽象出投影、投射线、投影面三要素，继而分类研究中心投影与平行投影，重点剖析平行投影中投影线与投影面垂直时的特例——正投影，并探究正投影的基本性质（真实性、积聚性、类似性）。【非常重要】本节内容为后续三视图的学习提供了核心的投影理论基础，是学生从二维平面思维转向三维空间想象的“关键转换器”。

（二）课标要求与核心素养指向

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第四学段“图形与几何”中指出：通过具体实例，了解中心投影和平行投影的概念；会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图。基于此，本节教学设计强调以下核心素养的渗透：【非常重要】空间观念——通过对投影现象的观察、想象、比较，建立三维物体与二维图形之间的对应关系；【重要】几何直观——利用投影图分析物体的形状与位置；【重要】推理能力——从特殊到一般归纳正投影的性质；【基础】模型观念——用投影模型解释现实中的光与影现象。此外，【高频考点】投影类型的辨析、正投影性质的直接应用是历年学业水平考试（中考）的固定考查点，常以选择题、填空题及简单作图题的形式出现。

（三）跨学科统整视角

本节天然具备跨学科基因：物理学科光学（光的直线传播、光源分类）是投影形成的科学原理；美术学科透视原理（焦点透视、散点透视）与中心投影、平行投影完全对应；历史学科中皮影戏、古代计时工具（日晷）的讲解可渗透中华优秀传统文化。教学设计中将这些元素有机融入，不仅降低认知负荷，更能培养学生“用多学科视角解释同一现象”的综合素养。

二、学情三维诊断

（一）知识经验基础

学生在小学已接触过从正面、侧面、上面观察物体的活动，能辨认简单物体的三个视图；八年级学习了平行线与相交线、相似三角形，为本节利用相似测量物高、理解投影长度变化提供了工具。【基础】然而学生对“光线”“影子”的认知停留在生活经验层面，尚未形成“投射线”“投影面”“投影”三位一体的抽象模型；对中心投影与平行投影的本质区别——投射线是否交于一点——缺乏清晰辨析。尤其对“正投影”中当线段、平面图形不与投影面平行时投影形状的变化（类似性）感到困难。【难点】

（二）认知能力特征

九年级学生正处于皮亚杰认知发展阶段中的“形式运算阶段”初期，具备一定的逻辑推理和抽象思维能力，但仍需依赖具体情境与直观操作。空间想象能力个体差异显著：部分学生能快速在脑中旋转图形，部分学生则必须借助实物模型或动态演示才能建立联系。因此教学设计必须提供“具身学习”的机会——让学生动手摆弄、动笔画图、动眼观察动态课件。

（三）学习动机预测

“影子”是学生熟悉又陌生的现象，熟悉在于每天可见，陌生在于从未科学审视。以“光与影”为主题的引入极易激发好奇心，但若后续转化为枯燥的概念辨析与画图训练，兴趣将迅速消退。因此需将核心问题情境化，如“如何测量旗杆高度”“电影放映机的原理”，使知识学习服务于问题解决。

三、教学目标分层叙写

（一）知识与技能

1.理解投影、投射线、投影面的概念，能准确识别生活中的投影现象属于中心投影还是平行投影。【基础】【高频考点】

2.掌握正投影的含义，能说出线段、正方形、三角形在投影面平行、倾斜、垂直时的三种投影结果。【重要】【高频考点】

3.能根据中心投影或平行投影的性质，解决简单的实际测量问题（如利用相似求物高）。【难点】

（二）过程与方法

1.通过观察、分类、归纳，经历从具体实例抽象出投影概念的过程，体会分类讨论与化归思想。

2.借助几何画板动态演示，观察投影随光源位置、物体位置变化的规律，发展几何直观与空间想象。

3.小组合作探究，用类比方法迁移正投影性质，初步形成“特殊化”研究几何问题的方法。

（三）情感态度与价值观

1.欣赏皮影戏、手影等非物质文化遗产，增强民族自豪感，体会数学与艺术的交融。

2.感受数学来源于生活并服务于生活，树立用数学眼光观察世界的意识。

3.在小组互助中培养严谨求实的科学态度与协作精神。

四、教学重难点精准锁定

（一）教学重点

1.中心投影与平行投影的概念辨析及特征归纳。

2.正投影的定义及基本性质（真实性、积聚性、类似性）。

（二）教学难点

1.从“投影线是否交于一点”的高度抽象区分两种投影类型。

2.理解并描述平面图形在正投影下发生形状改变但仍保持边数、平行等不变关系（类似性）。【核心难点】

五、教学环境与资源设计

（一）教具学具

1.教师端：几何画板动态课件（预设中心光源移动、平行光源方向变化、物体旋转三种动态序列）；手电筒、三角尺、矩形纸片、圆柱体模型；皮影戏短片（30秒）。

2.学生端：每组一个手电筒、一张白纸（作投影面）、若干不同形状的硬纸片（线段、三角形、正方形、圆）、直尺、量角器。

（二）空间布局

采用“马蹄形”小组座位排列，确保每组均有操作空间并能清晰观看教师演示。前后黑板分区：前黑板为主板书区，后黑板用于小组展示成果。

六、教学实施过程（核心环节，占全案75%篇幅）

本单元共安排2课时，第一课时45分钟，第二课时45分钟。第一课时聚焦概念建构与分类辨析，第二课时聚焦正投影性质探究及应用。

第一课时：光与影的数学定义——中心投影与平行投影

（一）创境启思：唤醒经验，抽象概念（约8分钟）

1.文化浸润导入。教师播放15秒皮影戏《西游记》片段，提问：“同学们，屏幕上的‘影子孙悟空’是如何形成的？”学生调动生活经验回答：光、不透明物体、幕布。教师顺势在黑板简笔画：光源→物体→幕布，标注“光线”“物体”“影子”。【非常重要】此时不直接给出术语，而是追问：“若把幕布看作一个平面，光线看作无数条直线，你能用数学语言描述这个现象吗？”学生尝试表达，教师提炼：光线——投射线，幕布——投影面，影子——投影。至此完成从生活现象到数学概念的抽象。

2.板书课题“投影”，并定义三要素：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面。

3.即时辨析。教师用手电筒照射三角尺，在白墙上形成投影，请学生指出投射线、投影面、投影。并强调：投影不仅包括影子轮廓，还包括物体内部结构在投影面上的映射（如三角尺上的刻度线在投影中能否呈现？——视光线角度而定）。【基础】此处渗透“投影是物体上所有点的投影的集合”这一集合对应思想，为高中学习奠基。

（二）探究新知：分类聚焦，比较异同（约20分钟）

1.中心投影概念建构。【重要】

教师演示：固定三角尺与墙面（投影面），用手电筒从不同距离、不同角度照射。学生观察影子大小、形状变化。提问：“投射线（手电筒发出的光）有什么几何特征？”学生发现：所有投射线都从手电筒这一点出发。教师正式给出定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。点光源称为投影中心。

【高频考点】强调：中心投影中，物体离光源越近，投影越大；反之越小。光源与物体中心的连线方向决定投影方向。

小组活动1：每组用手电筒照射三角形纸片，使投影面平行于纸片，观察并记录：当光源从正上方垂直照射变为斜射时，投影形状是否改变？改变成什么？（学生发现：正射时投影全等；斜射时投影变长，但仍是三角形）【基础】此活动为后续正投影埋下伏笔。

2.平行投影概念建构。【重要】

教师切换场景：展示晴天阳光下树影的图片。提问：“太阳光与手电筒的光线有何不同？”学生答出：太阳光线可以看作是平行的。教师强调：太阳距离地球非常远，到达地球的光线近似平行。由平行光线形成的投影叫做平行投影。

演示几何画板：一组平行光线（方向可调）照射矩形，投影形状随光线方向改变而改变（从矩形到平行四边形）。学生直观感受：平行投影中，投影形状取决于投射线方向与投影面的夹角。

3.核心辨析：两种投影的本质区别。【非常重要】【高频考点】

教师呈现对比表格（以语言描述呈现，不使用表格结构）：中心投影——投射线相交于一点；平行投影——投射线平行。追问：“判断下列投影属于哪种类型？”出示：电影放映机（中心投影）、太阳光下的人影（平行投影）、台灯下的书影（中心投影）、阴天散射光下的影子（近似平行投影，强调散射光方向杂乱，但初中阶段简化为平行）。学生抢答并说明理由。

深化问题：中心投影能否转化为平行投影？引导学生理解：当光源移到无穷远处时，投射线趋于平行，中心投影极限状态即为平行投影。此处为学有余力学生提供思维拓展，不要求全体掌握。

（三）互动进阶：画图建模，关联相似（约12分钟）

1.中心投影作图基础。【重要】【高频考点】

教师板演：已知线段AB及投影面（水平线），点光源S在左上方，求作线段AB的中心投影A'B'。

步骤分解：（1）从S过A作射线，交投影面于点A'；（2）同法作B'；（3）连接A'B'。强调：投影是线段上所有点投影的集合，因此只需作端点的投影并连线。

学生模仿练习：已知三角形ABC及点光源S，作其中心投影。组内互评，纠正“连线必须经过光源”这一易错点。【难点】教师巡视，对困难学生提示“像过点作直线一样”。

2.关联相似三角形。

教师引导：在中心投影作图模型中，SA、SA'均在一条直线上，若物体与投影面平行，则物体与其投影构成位似图形。追问：“你能发现哪些相似三角形？”学生找出△SAB∽△SA'B'等。【重要】由此推导：当物体与投影面平行时，中心投影的投影长度与实际长度之比等于光源到投影面距离与光源到物体距离之比。此结论为后续测量旗杆高度（不能直接测量时利用影子）埋下伏笔。

3.平行投影作图。

类比迁移：将“从光源作射线”改为“过端点作平行线（给定方向）”。教师示范，学生尝试。强调平行投影中投射线方向一致。

（四）总结反思：结构化梳理（约5分钟）

1.学生闭眼回忆：本节课学习了什么概念？两种投影如何区分？教师板书核心词：投影三要素、中心投影（相交线）、平行投影（平行线）。

2.追问：“你认为研究投影有什么实际价值？”学生畅所欲言（测量、艺术、电影等），教师顺势布置课后任务：用手机拍摄一组中心投影与平行投影的照片，下节课分享。

第二课时：正投影——当投影线“站直”的时候

（一）回顾引新：从一般到特殊（约5分钟）

1.展示学生拍摄的优秀摄影作品，快速辨别投影类型。随后教师用几何画板演示：平行投影中，改变投射线与投影面的夹角，从锐角逐渐变为直角。提问：“当投射线与投影面垂直时，这个特殊的平行投影你有什么感觉？”学生描述：“正对着照”“影子形状和物体一样”。教师揭题：这就是我们今天重点研究的“正投影”。【非常重要】

2.给出定义：投射线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。强调：正投影是平行投影的特例，也是最常用、最重要的投影方式（后续三视图均基于正投影）。

（二）实验探究：正投影的性质（约20分钟）

1.环节1：线段的正投影。【基础】【高频考点】

小组活动2：每组将一根细铁丝（代表线段）依次放置为：①平行于投影面；②倾斜于投影面；③垂直于投影面。用手电筒从正上方垂直照射（投射线垂直于桌面），观察白纸上的投影形状与长度。

学生汇报并归纳：平行时，投影是线段，长度等于原长（真实性）；倾斜时，投影是线段，长度小于原长（类似性，但仍是线段）；垂直时，投影是一个点（积聚性）。

教师板书三条性质，并用几何画板动态验证：任意角度的倾斜，投影长=原长×cosθ（θ为线段与投影面夹角），此处仅直观感受，不要求公式记忆。

2.环节2：正方形（纸片）的正投影。【重要】【难点】

小组活动3：将正方形纸片依次放置为：①平行于投影面；②垂直于投影面（仅一条边接触桌面）；③倾斜于投影面（与水平面成45°左右）。观察投影形状。

学生发现：平行时，投影是正方形（全等）；垂直时，投影是线段（长度等于边长）；倾斜时，投影是平行四边形（边长不变？不，某方向长度缩短）。

教师精准提炼：平面图形平行于投影面时，投影与原图形全等（真实性）；平面图形垂直于投影面时，投影积聚成一直线（积聚性）；平面图形倾斜于投影面时，投影的形状与原图形边数相同，但角度、长度均发生变化（类似性）。【核心难点】此处需反复辨析：类似不是全等，也不是相似（角度可能改变），只是保持边数、平行关系、凸凹性等拓扑性质。

3.环节3：圆的投影。

演示：圆形纸片倾斜时，正投影是椭圆（初中不研究椭圆方程，但学生通过观察能直观感知）。教师指出：这正是“圆”在非平行状态下投影变成“扁圆”，高中将系统学习。

（三）应用迁移：用投影原理解实际问题（约15分钟）

1.问题1：测量旗杆高度。【重要】【高频考点】

情境：某天上午9点，测得旗杆的影长为12米，同时测得一根直立1米长的标杆影长为0.8米。求旗杆高度。

学生分析：太阳光为平行投影，且地面为投影面，投射线垂直于地面？不，此处光线与地面有夹角。但旗杆与标杆均垂直于地面，因此它们的投影长度与高度成正比（相似三角形）。列式：1/0.8=h/12，解得h=15米。

变式：若改为中心投影（如路灯下），如何测量？引导学生讨论：需知道光源位置或利用相似三角形对应边成比例，条件不足则无法直接计算。此变式凸显两种投影在实际问题中的应用差异。

2.问题2：绘制简单几何体的正投影。

教师出示圆柱体模型，请学生画出它从前向后投射（正投影）得到的图形。学生易错：画成圆柱的直观图。教师纠正：正投影是平面图形，圆柱正对着投影面时，投影是矩形（底面圆积聚成线段，侧面投影为矩形）。【难点】此环节为下节三视图做直接铺垫。

（四）诊断反馈：当堂达标检测（约5分钟）

1.概念辨析：下列命题正确的是（）【高频考点】

A.中心投影的投射线一定相交于一点。（正确）

B.平行投影的投射线总是垂直投影面。（错误，正投影才垂直）

C.正方形的正投影一定是正方形。（错误，倾斜时是平行四边形）

D.物体在太阳光下的投影是中心投影。（错误，是平行投影）

2.作图题：画出三角形ABC在水平投影面上的正投影（三角形一面与投影面倾斜）。

七、板书设计精要

（第一课时）

左侧区域：投影定义及三要素（文字+图示）

中间区域：中心投影（图例+特征：投射线交于一点）

右侧区域：平行投影（图例+特征：投射线平行）

下方区域：核心辨析对比词（光源位置、投影大小变化规律）

（第二课时）

左侧区域：正投影定义（投射线⊥投影面）

中间区域：线段正投影（三种位置结果图）——真实性、积聚性、类似性

右侧区域：平面图形正投影（正方形、圆示例）——平行→全等；垂直→线段；倾斜→类似形

副板书：旗杆测量比例式

八、作业与拓展设计

（一）基础巩固作业

1.书面作业：教材随堂练习第1、2题，习题5.1第1、2、3题。【基础】【高频考点】

2.实践作业：利用周末晴天，测量自家楼房或大树的高度，写出测量报告（包含测量数据、示意图、计算过程）。【重要】

（二）拓展探究作业（选做）

1.跨学科任务：研究皮影戏中影人大小变化与光源位置的关系，撰写200字数学小论文。

2.挑战性任务：假设路灯高度6米，人高1.7米，当人从距离灯杆