2023-2024学年陕西省西安市临潼区高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省西安市临潼区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为（）A．3 B．8 C．12 D．182．（5分）设随机变量X的分布列为，i＝1，2，3，则a＝（）A．3 B． C．2 D．3．（5分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势4．（5分）（1﹣x）5的展开式中x2项的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．105．（5分）某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目．现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）A．70 B．140 C．252 D．5046．（5分）某市高中数学统考，假设考试成绩X服从正态分布N（95，122）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级．若某同学考试成绩的等级为C，则该同学的考试成绩可能为（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.68）（）A．120 B．90 C．80 D．607．（5分）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C．取出一个红球记2分，取出一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则直线EC1与平面ACD1所成角的正弦值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知n，m∈N*，且n＞m，则（）A． B． C． D．（多选）10．（6分）一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”．则下列结论正确的是（）A． B． C． D．（多选）11．（6分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，下列说法正确的是（）A．{}是等比数列 B．{}是等差数列 C．若an+2＜an，则{an}为递减数列 D．若b1＜b3，则{bn}为递增数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）设随机变量，则D（X）＝．13．（5分）已知直线x+2y+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，则△ABC的面积为．14．（5分）在如图的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法．816357492四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），如图是该校高一1000名学生选择各个模块的扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为8：7，选择历史类男女比例为2：3．男生女生合计物理类历史类合计1000（Ⅰ）请将上述2×2列联表补充完整；（Ⅱ）判断能否有99%的把握认为“该校学生是否选择物理类与性别有关”？附：，其中a＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.010.001k3.8416.63510.82816．（15分）已知椭圆C：过点，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB与椭圆C交于A，B两点，若点M（﹣2，1）是线段AB的中点，求直线AB的方程．17．（15分）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：研发投入x（亿元）12345产品收益y（亿元）3791011（Ⅰ）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若0.3＜|r|＜0.75，则线性相关程度一般；若|r|＞0.75，则线性相关程度较高）（Ⅱ）求出y关于x的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为＝，，r＝．参考数据：，，．18．（17分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+ax（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x≥2时f（x）≥0，求a的取值范围．19．（17分）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）

2023-2024学年陕西省西安市临潼区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为（）A．3 B．8 C．12 D．18【考点】计数原理的应用．【答案】B【分析】利用分类加法计数原理求解即可．【解答】解：书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为3+3+2＝8．故选：B．2．（5分）设随机变量X的分布列为，i＝1，2，3，则a＝（）A．3 B． C．2 D．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】A【分析】根据题意，分析可得++＝1，解可得答案．【解答】解：根据题意，随机变量X的分布列为，i＝1，2，3，则有++＝1，解可得a＝3．故选：A．3．（5分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【考点】样本相关系数；回归分析；变量间的相关关系．【答案】C【分析】利用变量的性关系，判断选项即可．【解答】解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．4．（5分）（1﹣x）5的展开式中x2项的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【考点】二项式定理的应用．【答案】D【分析】利用二项式定理可求得答案．【解答】解：（1﹣x）5的展开式中x2项的系数为（﹣1）2＝10．故选：D．5．（5分）某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目．现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）A．70 B．140 C．252 D．504【考点】排列组合的综合应用．【答案】B【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解．【解答】解：由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，所以此时满足题意的选法有，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有＝20种选法，所以此时满足题意的选法有，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于60+80＝140种．故选：B．6．（5分）某市高中数学统考，假设考试成绩X服从正态分布N（95，122）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级．若某同学考试成绩的等级为C，则该同学的考试成绩可能为（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.68）（）A．120 B．90 C．80 D．60【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】B【分析】根据正态分布的性质即可求解．【解答】解：数学测试成绩服从正态分布N（95，122），则μ＝95，σ＝12，由于A，D等级的概率之和为16%+16%＝32%＝1﹣P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），所以P（X＜μ﹣σ）＝P（X＞μ+σ）＝0.16，又因为P（μ﹣σ＜X＜μ）＝P（μ＜X＜μ+σ）＝0.34，即P（83＜X＜95）＝P（95＜X＜107）＝0.34，故X＞107为A等级，95＜X＜107为B等级，83＜X＜95为C等级，X＜83为D等级，所以该同学的考试成绩可能为90．故选：B．7．（5分）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C．取出一个红球记2分，取出一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数【考点】超几何分布．【答案】C【分析】利用超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此判断四个选项，即可得到答案．【解答】解：选项A，B，D不符合超几何分布的定义，因为超几何分布取球必须是无放回地取球且一次取完，所以选项A，B，D无法用超几何分布的数学模型计算概率，故选项A，B，D错误；选项C符合超几何分布的定义，将红球视作次品，黄球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故选项C正确．故选：C．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则直线EC1与平面ACD1所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【考点】直线与平面所成的角．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），C（2，2，0），D1（0，2，2），E（0，2，1），C1（2，2，2），所以＝（2，2，0），＝（0，2，2），＝（2，0，1），设平面ACD1的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝﹣1，则x＝z＝1，所以＝（1，﹣1，1），设直线EC1与平面ACD1所成角为θ，所以sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，所以直线EC1与平面ACD1所成角的正弦值为．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知n，m∈N*，且n＞m，则（）A． B． C． D．【考点】组合及组合数公式；排列数的化简计算及证明．【答案】ABD【分析】根据排列数和组合数公式判断各选项即可．【解答】解：对于A，，故A正确；对于B，由组合数的性质可得，故B正确；对于C，因为＝，＝，又n!≠n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1），所以≠，故C错误；对于D，，＝＝，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（6分）一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”．则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【考点】求解条件概率．【答案】ACD【分析】根据题意，分别求出P（A），P（B），然后结合条件概率公式及全概率公式代入计算，逐一判断，即可求解．【解答】解：由题得P（A）＝＝，P（B）＝＝，根据条件概率得：P（C|B）＝＝＝，P（D|A）＝＝＝，∴P（B）＝，故C正确；对于D，P（BC）＝P（B）P（C|B）＝＝，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，下列说法正确的是（）A．{}是等比数列 B．{}是等差数列 C．若an+2＜an，则{an}为递减数列 D．若b1＜b3，则{bn}为递增数列【考点】等比数列的概念与判定；数列的单调性．【答案】ACD【分析】根据等差数列以及等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：{an}是等差数列，设公差为d；{bn}是等比数列，设公比为q，设，则为常数，所以是等比数列，A选项正确；设，当满足{bn}是等比数列，此时，，不是等差数列，B选项错误；an+2＜an时，即an+2d＜an，有d＜0，则{an}为递减数列，{an}为递减数列时，一定有an+2＜an，所以“an+2＜an”是“{an}为递减数列”的充要条件，C选项正确；bn+2＜bn时，有，即或，其中q＜0不满足，解得或，所以{bn}为递减数列，当{bn}为递减数列时，一定有bn+2＜bn，所以“bn+2＜bn”是“{bn}为递减数列”的充要条件，D选项正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）设随机变量，则D（X）＝3．【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．【答案】3．【分析】根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解．【解答】解：随机变量，则D（X）＝．故答案为：3．13．（5分）已知直线x+2y+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，则△ABC的面积为．【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【答案】．【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长，再由三角形面积公式求解．【解答】解：⊙C：（x﹣1）2+y2＝4的圆心坐标为C（1，0），半径r＝2，圆心C到直线x+2y+1＝0的距离d＝＝，直线x+2y+1＝0被圆C：（x﹣1）2+y2＝4截得的弦长为|AB|＝2＝．∴△ABC面积为S＝＝．故答案为：．14．（5分）在如图的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有36种选法．816357492【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】36．【分析】按照分步乘法计数原理，求解即可．【解答】解：3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有＝36种．故答案为：36．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），如图是该校高一1000名学生选择各个模块的扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为8：7，选择历史类男女比例为2：3．男生女生合计物理类历史类合计1000（Ⅰ）请将上述2×2列联表补充完整；（Ⅱ）判断能否有99%的把握认为“该校学生是否选择物理类与性别有关”？附：，其中a＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.010.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验．【答案】（Ⅰ）列联表如下：男生女生合计物理类480420900历史类4060100合计5204801000（Ⅱ）没有．【分析】（Ⅰ）由扇形图求出该校学生选择物理类有900人，选择历史类有100人，再结合男女比例补充完整2×2列联表即可；（Ⅱ）计算K2的值，再与临界值比较即可．【解答】解：（Ⅰ）由扇形图知，该校学生选择物理类有900人，选择历史类有100人，根据男女比例填写2×2列联表如下：男生女生合计物理类480420900历史类4060100合计5204801000（Ⅱ）零假设H0：该校学生是否选择物理类与性别无关，则K2＝≈6.410＜6.635，我们依据小概率值α＝0.01的独立性检验推断H0成立，即没有99%的把握认为“该校学生是否选择物理类与性别有关”．16．（15分）已知椭圆C：过点，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB与椭圆C交于A，B两点，若点M（﹣2，1）是线段AB的中点，求直线AB的方程．【考点】直线与椭圆的综合．【答案】（Ⅰ）＝1；（Ⅱ）x﹣y+3＝0．【分析】（Ⅰ）根据题意及椭圆的几何性质求得a，b；（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），由题意得，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为＝1．（Ⅱ）直线l的斜率存在，设斜率为k，直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即y＝kx+2k+1，联立，消去y得：（2k2+1）x2+4k（1+2k）x+8k2+8k﹣6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为＝﹣2，即x1+x2＝﹣4，所以＝﹣4，解得k＝1，所以所求直线l的方程为x﹣y+3＝0．17．（15分）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：研发投入x（亿元）12345产品收益y（亿元）3791011（Ⅰ）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若0.3＜|r|＜0.75，则线性相关程度一般；若|r|＞0.75，则线性相关程度较高）（Ⅱ）求出y关于x的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为＝，，r＝．参考数据：，，．【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】（Ⅰ）0.95，相关程度较高；（Ⅱ）9.3．【分析】（Ⅰ）结合相关系数的公式，即可求解；（Ⅱ）结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据可知，，＝，，，，则r＝＝，故相关程度较高；（Ⅱ），，则，，故y＝1.9x+2.3，令1.9x+2.3＞20，解得x≈9.3，故研发投入至少9.3亿元．18．（17分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+ax（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x≥2时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】（1）f′（x）＝（x﹣1）（ex﹣a）．对a分类讨论：①a≤0时，②0＜a＜e时，③a＝e时，④a＞e时，即可得出单调性．（2）当x≥2时，f（x）≥0，化为：（x﹣2）ex≥（x﹣2）．x＝2时，可得：a∈R．x＞2时，化为：ex≥，可得a≤．令g（x）＝，x＞2，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（1）f′（x）＝（x﹣1）（ex﹣a）．分类讨论：①a≤0时，ex﹣a＞0．函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．②0＜a＜e时，lna＜1．可得：函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．③a＝e时