2023-2024学年陕西省西中教育联合体高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省西中教育联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知（1﹣i）z＝6，则z＝（）A．﹣3﹣i B．3﹣i C．﹣3+3i D．3+3i2．（5分）已知向量a→=（1，3），b→=（λ，﹣6），a→A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．183．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝16，b＝8，A＝60°，则cosB＝（）A．−34 B．34 C．−4．（5分）已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l⊥m，则m⊥α B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β C．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若α∥β，m∥α，则m∥β5．（5分）已知平面向量a→，b→的夹角为π6，且|a→|=2，A．(32，12) B．(−6．（5分）三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为13，13，A．13 B．23 C．1367．（5分）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A．2530π B．3016π C．3824π D．4350π二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）8．（5分）下列说法错误的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间部分所围成的几何体是棱台 C．边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图面积是2 D．用一个平面去截取正方体，得到的截面可能是正六边形（多选）9．（5分）东北师大附中培养的学生德才兼备、全面发展、在校团委领导下的各个社团，积极开展各项活动，其中甲、乙两个社团为了纳新，利用7天的时间进行宣传，将每天宣传次数绘制成如下频数分布折线图（其中前三天宣传次数相同），则下列说法正确的是（）A．甲社团众数小于乙社团众数 B．甲社团的平均数小于乙社团的平均数 C．甲社团的极差大于乙社团的极差 D．甲社团的方差大于乙社团的方差（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（）A．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 B．若A＝60°，a＝2，则△ABC的面积最大值为23C．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC外接圆半径为87D．若ab＞c2，则0＜C＜（多选）11．（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是AD＝BC＝4，AB=CD=25，AC=BD=2A．该四面体ABCD的体积是163B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C．∠BAC+∠DAC+∠DAB＜π D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12．（5分）以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，则这19人成绩的第80百分位数是．13．（5分）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距20海里的灯塔恰好与该船同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．14．（5分）一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球的编号和不大5的概率为．15．（5分）佩香囊香是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，2b＝2acosC+c．（1）求角A；（2）若a＝10，△ABC的面积为83，求△ABC17．（15分）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105]（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；（3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．18．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．（1）求证：AM⊥平面CDP；（2）求直线BP与底面ABCD所成角的正弦值．19．（15分）甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛．比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题．在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分．已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q．且在两轮比赛中答对与否互不影响．设定甲、乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得2分的概率为12，乙得5分的概率为1（1）求p，q的值；（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率．20．（15分）如图，AB是半球的直径，O为球心，AB＝4，M，N依次是半圆AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且PN⊥MB．（1）证明：平面PBM⊥平面PON；（2）若点P在底面圆内的射影恰在BM上，求二面角A﹣PB﹣N的余弦值．

2023-2024学年陕西省西中教育联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知（1﹣i）z＝6，则z＝（）A．﹣3﹣i B．3﹣i C．﹣3+3i D．3+3i【考点】复数的运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：（1﹣i）z＝6，则z=6故选：D．2．（5分）已知向量a→=（1，3），b→=（λ，﹣6），a→A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．18【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】B【分析】利用向量的共线，列出方程求解即可．【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（λ，﹣6），可得：3λ＝﹣6，解得λ＝﹣2．故选：B．3．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝16，b＝8，A＝60°，则cosB＝（）A．−34 B．34 C．−【考点】余弦定理；正弦定理．【答案】D【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的同角公式，即可求解．【解答】解：a＝16，b＝8，A＝60°，则由正弦定理可知，sinB=bsinA∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角，cosB=1−si故选：D．4．（5分）已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l⊥m，则m⊥α B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β C．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若α∥β，m∥α，则m∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【答案】B【分析】结合图形易否定A；利用线面平行的性质和面面垂直的判定可证B正确．【解答】解：A如图可否定A；B如图∵l∥β，l⊂γ，γ∩β＝m，∴l∥m，∵l⊥α，∴m⊥α，∴β⊥α．故选：B．5．（5分）已知平面向量a→，b→的夹角为π6，且|a→|=2，A．(32，12) B．(−【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：b→则|b平面向量a→，b→的夹角为π6则a→a→在b→方向上的投影向量为：故选：D．6．（5分）三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为13，13，A．13 B．23 C．136【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】B【分析】求出3人独自密码被破译的概率，然后利用对立事件的概率，求解即可．【解答】解：用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P（A）＝P（B）=13，P（C）∴此密码不能被破译的概率为（1−13）×（1−1故此密码被破译的概率为1−1故选：B．7．（5分）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A．2530π B．3016π C．3824π D．4350π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】A【分析】分别求得半球、圆柱和圆台的体积，可求“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积．【解答】解：由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R=18而圆台另一个底面的半径为r＝1（m），则V半球=12×43×π×93V圆柱＝π×92×14＝1134π（m3），V圆台=13×（92+9×1+12）π×30＝910π（所以V＝V半球+V圆柱+V圆台＝486π+1134π+910π＝2530π（m²）．故选：A．二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）8．（5分）下列说法错误的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间部分所围成的几何体是棱台 C．边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图面积是2 D．用一个平面去截取正方体，得到的截面可能是正六边形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；平面图形的直观图；平面的基本性质及推论；棱台的结构特征．【答案】CD【分析】根据题意，对选项中的命题分析判断真假性即可．【解答】解：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，所以选项A错误；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间部分所围成的几何体是棱台，所以选项B错误；边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图面积是S′＝22÷22=2，所以选项用一个平面去截取正方体时，得到的截面也可能是正六边形，如图所示：所以选项D正确．故选：CD．（多选）9．（5分）东北师大附中培养的学生德才兼备、全面发展、在校团委领导下的各个社团，积极开展各项活动，其中甲、乙两个社团为了纳新，利用7天的时间进行宣传，将每天宣传次数绘制成如下频数分布折线图（其中前三天宣传次数相同），则下列说法正确的是（）A．甲社团众数小于乙社团众数 B．甲社团的平均数小于乙社团的平均数 C．甲社团的极差大于乙社团的极差 D．甲社团的方差大于乙社团的方差【考点】统计图表获取信息；用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数；频率分布直方图；频率分布折线图、密度曲线．【答案】ACD【分析】分析两社团的众数得大小，判断A；算出两社团的平均数，判断B，计算出两社团的极差，判断C；分析两社团频数的波动性，判断D．【解答】解：A选项，甲社团众数为2，乙社团众数为3，所以A正确；B选项，甲社团平均数为2+2+3+2+5+4+37乙社团的平均数为2+2+3+4+3+3+47=3，故两社团平均数相等，所以C选项，甲社团极差为3，乙社团的极差为2，所以C正确；D选项，由图可知，甲社团的频数的波动性较大，故其方差大于乙社团方差，D正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（）A．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 B．若A＝60°，a＝2，则△ABC的面积最大值为23C．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC外接圆半径为87D．若ab＞c2，则0＜C＜【考点】正弦定理与三角形解的存在性和个数．【答案】ACD【分析】对于A，利用正弦定理可判断B选项的正误；对于B，结合余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可检验选项；对于C，由余弦定理可得cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而根据正弦定理即可求解；对于D，利用余弦定理结合均值不等式，可得结论．【解答】解：对于A选项，bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA＜a＜b，所以，△ABC有两解，故正确；对于B，因为A＝60°，a＝2，由余弦定理得，a2＝4＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c时取等号，故bc≤4，可得△ABC面积S=12bc•32=3对于C，若a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理可得cosA=b则sinA=1−cos2A=74对于D，因为a2+b2≥2ab，所以由余弦定理可得cosC=a因为ab＞c2，所以﹣c2＞﹣ab，所以cosC=a2+b故选：ACD．（多选）11．（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是AD＝BC＝4，AB=CD=25，AC=BD=2A．该四面体ABCD的体积是163B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C．∠BAC+∠DAC+∠DAB＜π D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【答案】ABD【分析】将等腰四面体放入长方体中，即可由长方体的性质求解AB，利用三角形全等即可判断C，由展开图，利用两点距离最小即可判断D．【解答】解：如图，将等腰四面体ABCD补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则a2+b2=16b2则该等腰四面体的体积为：V=23×2×4−1由于AD＝BC＝4，AB=CD=25，AC=BD=2所以△ABD≅△BAC，△ABC≅△CDA，故∠DAC＝∠BCA，∠DAB＝∠CBA所以∠BAC+∠DAC+∠DAB＝∠BAC+∠BCA+∠CBA＝π，故C错误；由于等腰四面体的三条棱分别是长方体的三条面对角线，所以长方体的外接球即为等腰四面体的外接球，而长方体的体对角线长度为a2故外接球的半径为422=22，故表面积为将平面ABD和平面ACD沿着AD翻折到一个平面ABDC′内，连接BC′，则BC′即为最短距离，由于AD＝4，AB=C′D=25，AC′=BD=2则四边形ABDC′为平行四边形，设BC′与DA交于点O，则O为BC′与DA的中点，在△ABD中，cos∠BAD=A故在△ABC′中，BC′=2BO=2AO2故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12．（5分）以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，则这19人成绩的第80百分位数是．【考点】百分位数．【答案】见试题解答内容【分析】根据百分位数的计算即可求解．【解答】解：19×80%＝15.2，故这19人成绩的第80百分位数为第16个数90．故答案为：90．13．（5分）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距20海里的灯塔恰好与该船同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．【考点】解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】由题意作出图形并写出相应边与角的大小，在△ABD中，由正弦定理求得BD，在Rt△BCD中可求得DC即可．【解答】解：由题意得：AB＝10，∠ADC＝75°，∠BDC＝45°，DC⊥AC，∴∠DBC＝45°，∠BDA＝30°，∠A＝15°，在△ABD中，由正弦定理有：ABsin∠BDA∴BD=AB⋅sinA在Rt△BCD中，DC＝BD•sin∠DBC＝10（6−2）∵从C到D行驶了半个小时，∴速度为10(3故答案为：20（3−114．（5分）一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球的编号和不大5的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】415【分析】写出所有的基本事件和满足题意的事件，利用古典概型公式求解．【解答】解：由题意，所有的基本事件得到如表所示的表格：1234561345672356783457894567910567891167891011由表格可知，共30个基本事件，其中“从中不放回地抽取2个球，2个球的编号和不大于5”为事件A，共8个基本事件，则P(A)=8故答案为：41515．（5分）佩香囊香是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为．【考点】球外切几何体．【答案】69【分析】首先利用转换关系，把平面图形转换为直观图．进一步利用两个同底且棱长都为1的正三棱锥构成的几何体求解．【解答】解：如图所示：易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形ABD为底的两个正三棱锥组成，O为△ABD的中心，即内切球的球心，M为FB的中点，连接HM，作ON⊥HM，则ON为内切球的半径，因为OM=36，HM=3所以S△HOM所以内切球的半径为R=ON=OH⋅OM四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，2b＝2acosC+c．（1）求角A；（2）若a＝10，△ABC的面积为83，求△ABC【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）A=π（2）△ABC的周长是24．【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦，即可得出答案；（2）利用三角形面积公式和余弦定理求出三角形周长，即可得出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，2b＝2acosC+c，由正弦定理得2sinB＝2sinAcosC+sinC，则2sin（A+C）＝2sinAcosC+sinC，即2（sinAcosC+cosAsinC）＝2sinAcosC+sinC，整理得2cosAsinC＝sinC，又C∈（0，π），sinC＞0，则cosA=1又A∈（0，π），则A=π（2）由（1）得A=π3，△ABC的面积为83，则S由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即10∴b+c＝14，又a＝10，∴△ABC的周长是24．17．（15分）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），[95，105]（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；（3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【考点】补全频率分布直方图．【答案】（1）a＝0.035；（2）79.3；（3）7次．【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解．（2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可．（3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解．【解答】解：（1）因为各组频率之和为1，组距为10，所以10×（0.01+0.025+a+0.02+0.01）＝1，解得a＝0.035．（2）因为10×（0.01+0.025）＝0.35＜0.5，10×（0.01+0.025+0.035）＝0.7＞0.5所以中位数位于第三组[75，85）中，设中位数为x，则0.1+0.25+0.035（x﹣75）＝0.5，解得x=75+0.15（3）由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.1+0.25+0.35＝0.7，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为10×0.7＝7次．18．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．（1）求证：AM⊥平面CDP；（2）求直线BP与底面ABCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）64【分析】（1）由AD⊥CD，平面ADP⊥平面ABCD，可证CD⊥平面ADP，知CD⊥AM，再结合AM⊥PD，证得AM⊥平面CDP；（2）取AD的中点E，连接BE，PE，由面面垂直的性质可证PE⊥平面ABCD，知∠PBE即为所求，再结合勾股定理与三角函数的知识，得解．【解答】（1）证明：因为侧面ADP是正三角形，且M是DP的中点，所以AM⊥PD，因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，又侧面ADP⊥底面ABCD，侧面ADP∩底面ABCD＝AD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥平面ADP，因为AM⊂平面ADP，所以CD⊥AM，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面CDP，所以AM⊥平面CDP．（2）解：取AD的中点E，连接BE，PE，则PE⊥AD，因为侧面ADP⊥底面ABCD，侧面ADP∩底面ABCD＝AD，PE⊂平面ADP，所以PE⊥平面ABCD，所以∠PBE即为直线BP与底面ABCD所成角，设正方形ABCD的边长为2，则PE=3，BE=所以PB=PE2在Rt△PBE中，sin∠PBE=PE故直线BP与底面ABCD所成角的正弦值为6419．（15分）甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛．比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题．在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分．已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答