2023-2024学年上海实验学校高三(上)开学数学试卷(暑假反馈)

2023-2024学年上海实验学校高三（上）开学数学试卷（暑假反馈）一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．不等式的解集为．2．已知，则＝．3．若，其中i是虚数单位，则z+z2+z3+⋯+z2022＝．4．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则其母线与底面所成角的余弦值为．5．曲线在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．6．已知数列{bn}的前n项和为，则{bn}的通项公式bn＝．7．已知，则＝．8．已知某八个数据的平均数为5，方差为3，现又新加入一个数据14，此时这九个数据的方差为．9．函数在区间[1，3]上严格递增，则实数a的取值范围是．10．若，则三棱锥O﹣ABC的体积为．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2＝2b2+c2，则的最大值为．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，第一象限内的点P在C的右支上，且，则△PF1F2的内心坐标为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知a＞b＞c＞0，以下不等关系不一定成立的是（）A．ac3＞bc3 B．ca+b＞cb+c C．lg（a﹣b）＜lg（a﹣c） D．＞14．（上海春卷18）已知函数f（x）＝的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A． B． C． D．（0，0）15．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法错误的是（）A．为定值 B．的取值范围是[﹣2，0] C．当AC⊥BD时，为定值 D．的最大值为1616．十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：V﹣E+F＝2．如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球．根据以上信息知，碳60的所有面中五边形的个数是（）A．12 B．20 C．32 D．40三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知，它们的最小正周期为π．（1）若y＝f（x）是奇函数，求f（x）和g（x）在[0，π]上的公共减区间D；（2）若y＝f（x）+g（x）的一个零点为，求f（x）+g（x）的最大值．18．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，平面DCC1D1⊥平面ABCD，AD＝DD1＝D1C1＝C1C＝DC＝1．（1）求证：BD1⊥DD1；（2）求直线BD1和平面ABB1A1所成角的正弦值．19．已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．20．设A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，点B为椭圆的上顶点．（1）若Γ的离心率为，求Γ的方程；（2）设是Γ的右焦点，点Q是Γ上的任意动点（不在直线BF上），求△QBF2的面积S的最大值；（3）设a＝3，点P是直线x＝6上的动点，点C和D是Γ上异于左、右顶点的两点，且C、D分别在直线PA1和PA2上，求证：直线CD恒过一定点．21．已知函数g（x）＝3x，h（x）＝[g（x）]2．（1）解方程：x+log3[