2023-2024学年上海市华东师大附属进华中学高一(上)期中数学试卷

2023-2024学年上海市华东师大附属进华中学高一（上）期中数学试卷一．填空题（本大题共有12题，每题填对得3分，否则一律得零分，满分36分）1．（3分）已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝．2．（3分）若集合A＝{x|2x+1＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝．3．（3分）不等式＜1的解集为．4．（3分）在①，②，③，④这四个式子中，有意义的是．5．（3分）不等式|x﹣2|＜|2x+1|的解集是．6．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y＝1，则xy的最大值为．7．（3分）已知x＞﹣1，则的最小值为．8．（3分）若a＝log35，b＝log57，则＝．9．（3分）已知a，b，c∈R，则下列四个命题正确的个数是．①若ac2＞bc2，则a＞b；②若|a﹣2|＞|b﹣2|，则（a﹣2）2＞（b﹣2）2；③若a＞b＞c＞0，则；④若ab≠0，则．10．（3分）已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0（m＜0），若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为．11．（3分）已知集合A＝{1，2，3，m}，B＝{m2，3}，满足A⋃B＝{1，2，3，m}，则实数m的值为．12．（3分）对实数x、y定义运算⊕：x⊕y＝x（2﹣y），若关于t的不等式（t﹣a）⊕（t+a）＜1对任意实数t都成立，则实数a的取值范围是．二．选择题（本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得3分，否则一律得零分，满分12分）13．（3分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x∈R|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A⋂B＝∅ D．A⋃B＝R14．（3分）若集合M，P满足M⋂P＝P，则一定有（）A．M＝P B．M⊂P C．M⋃P＝M D．P⊂M15．（3分）若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A．2∈M，0∈M B．2∉M，0∉M C．2∈M，0∉M D．2∉M，0∈M16．（3分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈（0，+∞），且a+b＝1，则的上确界为（）A．﹣2 B． C． D．三．解答题（本题共有5题，共52分）17．（10分）已知集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，Q＝{x|ax+1＝0}，且满足Q⊆P，求实数a可能取的一切值．18．（10分）已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，若9∈（A∩B），求实数a的值．19．（10分）已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．20．（10分）关于x的不等式（k2﹣2k﹣3）x2﹣（k+1）x﹣1＜0的解集为M．（1）若1∈M，求正整数k的取值范围；（2）若M为全体实数，求实数k的取值范围．21．（12分）已知集合，B＝{x|（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0}，其中a＜1（1）求集合A、B；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．四．附加题22．（10分）设集合S⊆N*，S≠∅且满足①1∉S；②若x∈S，则．（1）S能否为单元素集合，为什么？（2）求出只含有两个元素的集合S；（3）满足题设条件的集合S共有几个？能否列出来？23．（10分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab．

2023-2024学年上海市华东师大附属进华中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共有12题，每题填对得3分，否则一律得零分，满分36分）1．（3分）已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{0，1，2}．【考点】并集及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据交集的定义写出A∪B即可．【解答】解：集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（3分）若集合A＝{x|2x+1＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（﹣，3）．【考点】交集及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案【解答】解：由题意A＝{x|2x+1＞0}＝{x|x＞﹣}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B＝（﹣，3）故答案为（﹣，3）3．（3分）不等式＜1的解集为（﹣7，2）．【考点】其他不等式的解法．【答案】（﹣7，2）．【分析】由已知进行转化＜0，进行可求．【解答】解：＜1⇒＜0⇒＜0，解得，﹣7＜x＜2．故答案为：（﹣7，2）．4．（3分）在①，②，③，④这四个式子中，有意义的是①③④．【考点】有理数指数幂及根式；函数的定义域及其求法．【答案】①③④．【分析】由偶次方根和奇次方根对被开方数的要求判断．【解答】解：偶次方根要求被开方数必须是非负数，由n∈N，则（﹣4）2n＞0，（﹣4）2n+1＜0，所以有意义，无意义；奇次方根被开方数可以是任何实数，和都有意义．故答案为：①③④．5．（3分）不等式|x﹣2|＜|2x+1|的解集是．【考点】绝对值不等式的解法．【答案】．【分析】把不等式两边平方，化为一元二次不等式求解．【解答】解：不等式|x﹣2|＜|2x+1|，即（x﹣2）2＜（2x+1）2，化简得3x2+8x﹣3＞0，解得x＜﹣3或．故答案为：．6．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y＝1，则xy的最大值为．【考点】基本不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值【解答】解：，当且仅当x＝4y＝时取等号．故应填．7．（3分）已知x＞﹣1，则的最小值为2．【考点】基本不等式及其应用．【答案】2．【分析】由已知＝2x+2+﹣2，然后利用基本不等式可求．【解答】解：因为x＞﹣1，则＝2x+2+﹣2，当且仅当2x+2＝，即x＝时取等号．故答案为：2．8．（3分）若a＝log35，b＝log57，则＝．【考点】对数的运算性质．【答案】．【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】解：∵a＝log35，b＝log57，∴ab＝log37，∴＝2log157﹣log155﹣2log153＝＝＝＝＝，故答案为：．9．（3分）已知a，b，c∈R，则下列四个命题正确的个数是3．①若ac2＞bc2，则a＞b；②若|a﹣2|＞|b﹣2|，则（a﹣2）2＞（b﹣2）2；③若a＞b＞c＞0，则；④若ab≠0，则．【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．【答案】3．【分析】根据不等式的性质判断ABC，取特殊值判断D即可．【解答】解：因为ac2＞bc2，所以c2＞0，所以，即a＞b，故①正确；因为|a﹣2|＞|b﹣2|，由不等式性质可得|a﹣2|2＞|b﹣2|2，即（a﹣2）2＞（b﹣2）2，故②正确；因为a＞b＞c＞0，所以由a＞b＞0可得，即，同理，由b＞c＞0可得，所以，故③正确；取a＝1，b＝﹣1，满足ab≠0，而，故④错误．故答案为：3．10．（3分）已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0（m＜0），若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】充分条件与必要条件．【答案】（﹣∞，﹣3]．【分析】分别解出命题p，q中的不等式．再利用p是q的充分条件，利用解集的包含关系即可得出实数m的取值范围．【解答】解：满足p：x2﹣2x﹣8≤0，即﹣2≤x≤4，满足q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0（m＜0），即1+m≤x≤1﹣m（m＜0）．因为p是q的充分条件，所以，即m≤﹣3．则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．11．（3分）已知集合A＝{1，2，3，m}，B＝{m2，3}，满足A⋃B＝{1，2，3，m}，则实数m的值为﹣1或或0．【考点】并集及其运算．【答案】﹣1或或0．【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可．【解答】解：因为A⋃B＝{1，2，3，m}，所以m2＝1或m2＝2或m2＝m，若m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1，当m＝1时A出现两个1，矛盾；当m＝﹣1时符合要求；若m2＝2，解得或，经验证都符合要求；若m2＝m，解得m＝1或者m＝0，由上知m＝1不符合，经验证m＝0时符合，所以m＝﹣1或或或m＝0．故答案为：﹣1或或0．12．（3分）对实数x、y定义运算⊕：x⊕y＝x（2﹣y），若关于t的不等式（t﹣a）⊕（t+a）＜1对任意实数t都成立，则实数a的取值范围是（0，2）．【考点】函数恒成立问题．【答案】a∈（0，2）．【分析】把不等式（t﹣a）⊕（t+a）＜1对任意实数t都成立，化为t2﹣2t﹣a2+2a+1＞0对任意实数t都成立，利用Δ＜0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊕y＝x（2﹣y），∴（t﹣a）⊕（t+a）＜1对任意实数t都成立⇔（t﹣a）[2﹣（t+a）]＜1对任意实数t都成立，即t2﹣2t﹣a2+2a+1＞0对任意实数t都成立，∴Δ＝4﹣4（﹣a2+2a+1）＜0，化为a2﹣2a＜0，解得a∈（0，2）故答案为：（0，2）．二．选择题（本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得3分，否则一律得零分，满分12分）13．（3分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x∈R|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A⋂B＝∅ D．A⋃B＝R【考点】一元二次不等式及其应用；集合的包含关系判断及应用．【答案】D【分析】化简集合A，再根据集合之间的关系判断选项中的命题是否正确．【解答】解：集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2≥0}＝{x∈R|x≤﹣1或x≥2}，B＝{x∈R|x＞﹣1}，所以A不是B的子集，选项A错误；∁RA＝{x|﹣1＜x＜2}，∁RB＝{x|x≤﹣1}，所以∁RA不是∁RB的子集，选项B错误；A∩B＝{x|x≥2}，所以选项C错误；A∪B＝R，选项D正确．故选：D．14．（3分）若集合M，P满足M⋂P＝P，则一定有（）A．M＝P B．M⊂P C．M⋃P＝M D．P⊂M【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【答案】C【分析】由M⋂P＝P逐个判断各个选项即可．【解答】解：∵集合M，P满足M⋂P＝P，∴P⊆M，M∪P＝M，故A错误，B错误，C正确，D错误．故选：C．15．（3分）若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A．2∈M，0∈M B．2∉M，0∉M C．2∈M，0∉M D．2∉M，0∈M【考点】其他不等式的解法．【答案】A【分析】本题考虑2、0是否在不等式的解集中，可以代入验证，也可以求出不等式的解集再进行判断．原不等式是关于x的一次不等式【解答】解：方法1：代入判断法，将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；方法2：求出不等式的解集：（1+k2）x≤k4+4；故选：A．16．（3分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈（0，+∞），且a+b＝1，则的上确界为（）A．﹣2 B． C． D．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【答案】B【分析】通过基本不等式可得，进而可得结论．【解答】解：a，b∈（0，+∞），且a+b＝1，，当且仅当即时等号成立，则有，即的上确界．故选：B．三．解答题（本题共有5题，共52分）17．（10分）已知集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，Q＝{x|ax+1＝0}，且满足Q⊆P，求实数a可能取的一切值．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】．【分析】根据Q⊆P，分类讨论求解即可．【解答】解：∵P＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，Q⊆P，∴Q可能为∅，{﹣3}，{2}，当a＝0时，ax+1＝0无解，故Q＝∅，满足Q⊆P，当Q＝{﹣3}时，则﹣3a+1＝0，解得，当Q＝{2}时，则2a+1＝0，解得．综上，实数a的取值为．18．（10分）已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，若9∈（A∩B），求实数a的值．【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．【答案】a＝5或a＝﹣3．【分析】利用集合交集的定义，得到9∈B且9∈A，再求出a的值即可．【解答】解：∵9∈（A∩B），∴9∈B且9∈A，∴2a﹣1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3，检验可知a＝5或a＝﹣3．19．（10分）已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】见试题解答内容【分析】（1）令判别式△≥0得出k的范围，根据根与系数的关系列方程得出k，即可得出结论；（2）根据根与系数的关系化简，根据整数的性质得出k的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，∴，∴k＜0，由根与系数的关系可得：x1+x2＝1，，∴＝2﹣9×＝，解得，而k＜0，∴不存在实数k使得（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立．（2）由根与系数的关系可得：＝＝，∵的值为整数，而k为整数，∴k+1只能取±1、±2、±4，又k＜0，∴整数k的值为﹣2或﹣3或﹣5．20．（10分）关于x的不等式（k2﹣2k﹣3）x2﹣（k+1）x﹣1＜0的解集为M．（1）若1∈M，求正整数k的取值范围；（2）若M为全体实数，求实数k的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）{1，2，3，4}；（2）．【分析】（1）把x＝1代入原不等式，求出正整数k的取值范围；（2）讨论二次项系数为0时以及不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围．【解答】解：（1）当1∈M时，不等式化为（k2﹣2k﹣3）﹣（k+1）﹣1＜0，即k2﹣3k﹣5＜0，解得，正整数k的取值范围是{1，2，3，4}．（2）①当k2﹣2k﹣3＝0时，解得k＝﹣1或k＝3，当k＝﹣1时，原不等式化为﹣1＜0，对任意实数x恒成立；当k＝3时，原不等式化为﹣4x﹣1＜0，解集不是全体实数，舍去．②当k2﹣2k﹣3≠0时，若M＝R，则，解得，综上，实数k的取值范围是．21．（12分）已知集合，B＝{x|（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0}，其中a＜1（1）求集合A、B；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；其他不等式的解法；一元二次不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）解分式不等式求出集合A，解一元二次不等式求出集合B．（2）由B⊆A，可得2a≥1或a+1≤﹣1，再由a＜1，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）2﹣≥0，得≥0，x＜﹣1或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）．由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，得（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0．∵a＜1，∴a+1＞2a，∴B＝（2a，a+1）．（2）若A∪B＝A，则有B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1，即a≥或a≤﹣2．而a＜1，∴≤a＜1或a≤﹣2，故当B⊆A时，实数a的取值范围是．四．附加题22．（10分）设集合S⊆N*，S≠∅且满足①1∉S；②若x∈S，则．（1）S能否为单元素集合，为什么？（2）求出只含有两个元素的集合S；（3）满足题设条件的集合S共有几个？能否列出来？【考点】元素与集合关系的判断．【答案】（1）S不为单元素集合，理由见解析；（2）S＝{2，13}或{3，7}或{4，5}；（3）共7个，{2，13}，{3，7}，{4，5}，{2，13，4，5}，{2，13，3，7}，{3，7，4，5}，{2，13，3，7，4，5}．【分析】（1）假设S为单元素集合，其元素为m，则得到方程，求出m，不为正整数，得到结论；（2）分析得到，则，故只需满足，从而由12的正整数公约数求出答案；（3）在（2）的基础上进行求解．【解答】解：（1）假设S为单元素集合，其