2023-2024学年上海市静安区市西中学高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年上海市静安区市西中学高三（上）期中数学试卷一.填空题（本大题满分54分，共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直按填写结果，1-6题填对得4分。7-12题填对得5分。否则一律得零分）1．设全集U＝R，若集合A＝{x|x2＞9}，则＝．2．函数的定义域为．3．已知i为虚数单位，复数z＝3+2i，则＝．4．一台实验室抽气机，每次能抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.5%，则至少要用该抽气机抽次．5．无穷等比数列{an}中，a2＝12，a3＝3，则{an}所有项的和为．6．函数y＝sinx的图象在点（π，0）处的切线方程为．7．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为米．（精确到整数）8．已知函数y＝sin2x+2cosx，定义域为，值域为，则实数a的取值范围是．9．函数f（x）＝x3+ax在区间[﹣2，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是．10．已知数列{an}中，，n为正整数，常数a＞0，a≠1，若{an}是严格减数列，则实数a的取值范围是．11．函数f（x）＝klnx﹣x2+3x（k≠0）在区间上存在极值，则实数k的取值范围为．12．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称，设方程f（x）＝kx+b（k＞0，b∈R）的正数解从小到大依次为x1、x2、⋯、xn、⋯，且对无穷多个n∈N，总存在实数M，使得|xn+2﹣xn+1|＜M成立，则实数M的最小值为．Ⅱ.选择题（本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题选对得4分，15-16题选对得5分。否则一律得零分）13．用反证法证明“方程ax2+bx+c＝0（a≠0）至多有两个解”的假设中，正确的是（）A．至少有两个解 B．有且只有两个解 C．至少有三个解 D．至多有一个解14．已知函数y＝f（x+1）是偶函数，且在区间（﹣∞，﹣1]上是严格增函数，则不等式f（﹣2x）＞f（﹣8）的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（1，+∞）15．如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0的图像的一部分，要得到该函数图像，只需要将函数y＝2sin2x的图像（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位16．设函数f（x）＝有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A． B． C． D．Ⅲ.解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝，M，N分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N﹣CM﹣B的余弦值．18．已知集合，不等式x2﹣5x+6＜0的解集为B．（1）当a＝1时，求A∪B；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车（记为点M）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记∠AMB为观测角．（1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角∠AMB的大小；（精确到0.1°）（2）为了确保观测质量，要求观测角∠AMB不小于45°，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．（精确到0.1公里）20．等差数列{an}中，a2＝﹣1，{an}的前n项和为Sn，满足S9＝5S5．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）若，设Tn是数列{bn}的前n项和，若存在常数s，t，使不等式s≤Tn≤t对任何正整数n都成立，求t﹣s的最小值．（3）若对于任意n∈N，n≥3，不等式都成立，求正数k的最大值．21．已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，其中常数a∈R．