2023-2024学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1．（3分）函数f(x)=3sin(2x+π4)2．（3分）2024°是第象限角．3．（3分）已知角θ的终边上一点P（﹣3，4），则cosθ＝．4．（3分）函数f(x)=3sinx+3cosx的值域为5．（3分）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为．6．（3分）若sinα=45，则cos2α＝7．（3分）若tanα＝2，则sinα−cosαsinα+cosα的值为8．（3分）若点A(−35，45)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π29．（3分）在△ABC中，边a＝2，b＝23，∠A＝30°，则边长C＝．10．（3分）已知α、β为锐角，sinα=437，cos（α+β）=−111411．（3分）函数f（x）＝tan2x﹣tanx，x∈[−π4，12．（3分）若sinα及cosα是关于x的方程2x2﹣4kx﹣3k＝0的两个实根，则实数k的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分。13．（3分）在△ABC中，sinA＝sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（3分）函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则其解析式可以是（）A．y=2sin(2x−π6) C．y=2sin(2x+π6)15．（3分）下列几个命题：（1）第一象限的角是锐角；（2）函数y＝tanx在定义域内是增函数；（3）函数y＝2sinx﹣1的零点是x=2kπ+π6，k∈其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．316．（3分）函数y＝1﹣2sin2（x−πA．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π2的偶函数C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤。17．（10分）已知角α和β满足cosα+cosβ=−4（1）若β＝2α，求cosα的值；（2）若β=α+π2，求sin218．（10分）已知函数f(x)=2sin(2x+2π（1）求f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）在[0，2π19．（10分）在△ABC中，a2+c2＝b2+2ac（1）求∠B的大小；（2）求cosA+2cosC20．（10分）若函数f(x)=3cos（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若点(A2，0)是函数y＝f（x）图像的一个对称中心，且a21．（12分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=π（1）若AN＝CM＝2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；（2）设∠CDM＝θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．

2023-2024学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1．（3分）函数f(x)=3sin(2x+π4)的初始相位为【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【答案】π4【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的相位和初相，求解即可．【解答】解：根据函数y＝Asin（ωx+φ）的相位是ωx+φ，初相是φ，所以函数f(x)=3sin(2x+π4)故答案为：π42．（3分）2024°是第三象限角．【考点】象限角、轴线角．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．【解答】解：2024°＝5×360°+224°，则2024°是第三象限角．故答案为：三．3．（3分）已知角θ的终边上一点P（﹣3，4），则cosθ＝−35【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】见试题解答内容【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出cosθ的值．【解答】解：∵角θ的终边上一点P（﹣3，4），则cosθ=−3故答案为：−34．（3分）函数f(x)=3sinx+3cosx的值域为[﹣23【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数．【答案】[﹣23，2【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值域．【解答】解：f(x)=3sinx+3当sin（x+π6）＝﹣1时，函数的最小值为﹣2当sin(x+π6)=1故函数的值域为[﹣23，2故答案为：[﹣23，25．（3分）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为2．【考点】弧长公式；弧度制．【答案】2．【分析】圆的半径表示出圆内接正方形的边长，由此求出圆弧长等于圆内接正方形的边长时，圆弧所对的圆心角弧度数．【解答】解：设圆O的半径为r，则AC＝2r，圆内接正方形的边长AB=2r则圆弧长等于2r时，这段圆弧所对的圆心角弧度为2r故答案为：2．6．（3分）若sinα=45，则cos2α＝−【考点】求二倍角的三角函数值．【答案】−7【分析】由题意利用二倍角公式即可求解．【解答】解：因为sinα=4所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（45）2=−故答案为：−77．（3分）若tanα＝2，则sinα−cosαsinα+cosα的值为13【考点】同角三角函数间的基本关系．【答案】见试题解答内容【分析】利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα＝2，∴sinα−cosαsinα+cosα故答案为：18．（3分）若点A(−35，45)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π2至OA【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】(−4【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．【解答】解：设点A对应的终边夹角为θ，由题意可知，cosθ=−35，将OA绕坐标原点O逆时针旋转π2至OA则点A′的坐标是(cos(θ+π2)，sin(θ+π2))，即（﹣sin故答案为：(−49．（3分）在△ABC中，边a＝2，b＝23，∠A＝30°，则边长C＝2或4．【考点】解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】由正弦定理可得，asinA=bsinB可得sinB=bsinAa=23×sin30°2=【解答】解：∵a=2，b=2由正弦定理可得，a由余弦定理可得sinB=∵a＜b∴30°＝A＜B∴B＝60°或120°当B＝60°时，C＝90°，则c＝2a＝4当b＝120°时，C＝30°，则c＝a＝2故答案为2或410．（3分）已知α、β为锐角，sinα=437，cos（α+β）=−1114，则β【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】见试题解答内容【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cosα和sin（α+β）的值，然后由β＝（α+β）﹣α以及两角和与差公式求出cosβ的值，最后由特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵α、β为锐角∴cosα=sin（α+β）=∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]=−∵β为锐角∴β=故答案为：π11．（3分）函数f（x）＝tan2x﹣tanx，x∈[−π4，π4【考点】三角函数的最值．【答案】74【分析】直接利用二次函数的性质求出结果．【解答】解：f（x）=tan由于x∈[−π4，π当tanx=12时，函数的最小值为−1故最小值和最大值之和为2−1故答案为：7412．（3分）若sinα及cosα是关于x的方程2x2﹣4kx﹣3k＝0的两个实根，则实数k的值为14【考点】三角函数的最值．【答案】14【分析】由题意，利用韦达定理得到sinα+cosα＝2k，sinαcosα=−3k2，根据sin2α+cos2α＝1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到【解答】解：∵sinα及cosα是关于x的方程2x2﹣4kx﹣3k＝0的两个实根，∴sinα+cosα＝2k，sinαcosα=−3k∵sin2α+cos2α＝1，∴（sinα+cosα）2﹣2sinαcosα＝1，即4k2﹣2×（−3k整理得：4k2+3k﹣1＝0，解得：k＝﹣1或k=1∵方程有实数根，∴Δ＝16k2﹣8（﹣3k）≥0，即k≤−32，或则k的值为14故答案为：14二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分。13．（3分）在△ABC中，sinA＝sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】正弦定理；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】先根据sinA＝sinB时，则有A＝B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA＝sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件；同时△ABC为等腰三角形时，不一定是A＝B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA＝sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．【解答】解：当sinA＝sinB时，则有A＝B，则△ABC为等腰三角形，故sinA＝sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A＝B，若是A＝C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA＝sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选：A．14．（3分）函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则其解析式可以是（）A．y=2sin(2x−π6) C．y=2sin(2x+π6)【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】A【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A＝2，T2=π再根据五点法作图可得2×π3+φ=π2，∴φ=−π6，故故选：A．15．（3分）下列几个命题：（1）第一象限的角是锐角；（2）函数y＝tanx在定义域内是增函数；（3）函数y＝2sinx﹣1的零点是x=2kπ+π6，k∈其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点与方程根的关系；象限角、轴线角；正切函数的图象．【答案】A【分析】根据象限角的定义可判断（1），根据正切函数的性质可判断（2），由2sinx﹣1＝0得sinx=1【解答】解：对于（1），第一象限的角不一定是锐角，如390°，故（1）错；对于（2），函数y＝tanx在每一个区间(−π2+kπ，π2+kπ)对于（3），令2sinx﹣1＝0，得sinx=1所以x=2kπ+π6或x=2kπ+5π6，所以函数y＝2sinx﹣1的零点是x=2kπ+π6或x=2kπ+5π6，综上所述，真命题的个数是0个．故选：A．16．（3分）函数y＝1﹣2sin2（x−πA．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π2的偶函数C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数【考点】二倍角的三角函数；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】C【分析】利用二倍角公式，诱导公式化简函数解析式可得y＝sin2x，进而根据正弦函数的性质即可求解．【解答】解：y＝1﹣2sin2（x−π4）＝1﹣[1﹣cos（2x−π2）]＝cos（2x可得函数最小正周期T=2π2又f（﹣x）＝sin2（﹣x）＝﹣sin2x＝﹣f（x），函数为奇函数．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤。17．（10分）已知角α和β满足cosα+cosβ=−4（1）若β＝2α，求cosα的值；（2）若β=α+π2，求sin2【考点】两角和与差的三角函数．【答案】（1）cosα=13或−5【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值；（2）利用三角函数的诱导公式求出三角函数的值．【解答】解：（1）cosα+cos2α=−49，可得2cos2α+cosα=59（2）cosα+cos(α+π2)=−即(cosα−sinα)故sin2α=2sinαcosα=1−(cosα−sinα)18．（10分）已知函数f(x)=2sin(2x+2π（1）求f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）在[0，2π【考点】正弦函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出f（x）的增区间．（2）由题意，根据正弦函数的定义域和值域，求出f（x）的值域．【解答】解：（1）对于函数f(x)=2sin(2x+2π3)，令2kπ−π2≤2x+2π3≤求得kπ−7π12≤x≤kπ−π12可得f（x）的单调增区间为[kπ−7π12，kπ−π12]，（2）在[0，2π3)上，2x+2π3∈∴sin（2x+2π3）∈[﹣1，32]，∴f（x）∈故函数f（x）在[0，2π3)19．（10分）在△ABC中，a2+c2＝b2+2ac（1）求∠B的大小；（2）求cosA+2cosC【考点】余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB=2（2）由（1）得：C=3π4−A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+【解答】解：（1）∵a2+c2＝b2+2ac，可得：a2+c2﹣b2=2∴cosB=a∵B∈（0，π），∴B=π（2）由（1）得：C=3π4∴cosA+2cosC＝cosA+2cos（3π＝cosA﹣cosA+sinA＝sinA．∵A∈（0，3π4∴故当A=π2时，sinA取最大值1，即cosA+220．（10分）若函数f(x)=3cos（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若点(A2，0)是函数y＝f（x）图像的一个对称中心，且a【考点】三角函数中的恒等变