2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高一（下）期末数学试卷一、单选题1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A． B． C． D．2．已知数据x1，x2，x3，⋯，x8的平均数为10，方差为10，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，⋯，3x8+2的平均数和方差分别为（）A．32，90 B．32，92 C．30，90 D．30，923．圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A．10π B．20π C．8π D．16π4．已知向量，，若与共线，则m＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．﹣2或45．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为y＝cos3x，则进行的平移是（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位6．求值＝（）A． B． C．1 D．7．如图，在边长为3的正三角形ABC中，，，则＝（）A． B．3 C． D．28．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab．则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题（多选）9．有下列说法，其中正确的说法为（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形 B．若，则P是三角形ABC的垂心 C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形 D．若，则存在唯一实数λ使得（多选）10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则（）A．ω＝2 B．f（x）的图象关于点中心对称 C． D．f（x）在上的值域为[﹣2，1]（多选）11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G，H，I均为所在棱的中点，P是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A．HI∥平面EFG B．三棱锥A1﹣EFG的体积为 C．过E，F，G三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若AP＝2，则点P的轨迹长度为3π三、填空题12．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为．13．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为．14．如图，在边长为6的正方形AP1P2P3中，B，C分别为P1P2、P2P3的中点，现将△AP1B，△BP2C，△AP3C分别沿AB，BC，CA折起使点P1，P2，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P﹣ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为．四、解答题15．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）求a；（2）若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；（3）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）．16．函数．若f（x）两相邻对称轴之间的距离为；（1）求f（x）的单调增区间；（2）若，α∈（0，π），求sinα；17．如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为α，β，在点B观测到M，N处的俯角分别为γ，δ．（1）求△ABM的面积（用字母表示）；（2）若，α＝75°，β＝30°，γ＝45°，δ＝60°，求M，N之间的距离．18．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点（包括端点）．BF⊥B1E，若平面A1B1E与棱BC交于点G．（1）请补全平面A1B1E与棱柱的截面，指出点G的位置，并证明你的结论；（2）求证：BF⊥平面A1B1E；（3）当点D运动时，试判断三棱锥D﹣EFG的体积是否为定值？若是，求出该定值及点D到平面EFG的距离；若不是，说明理由．19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，bsinA+atanAcosB＝2asinC．（1）求A；（2）奥古斯丁•路易斯•柯西，法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．已知三维柯西不等式：x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，，当且仅当时等号成立．在（1）的条件下，若a＝3．（ⅰ）求：的最小值；（ⅱ）若P是△ABC内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设△ABC的面积为S，求的最小值．

2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A． B． C． D．【考点】复数的运算．【答案】B【分析】直接计算得到，然后根据虚部的定义即可．【解答】解：，所以z的虚部为．故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，⋯，x8的平均数为10，方差为10，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，⋯，3x8+2的平均数和方差分别为（）A．32，90 B．32，92 C．30，90 D．30，92【考点】方差；平均数．【答案】A【分析】根据平均数、方差的性质计算可得．【解答】解：因为x1，x2，x3，⋯，x8的平均数是10，方差是10，所以3x1+2，3x2+2，3x3+2，⋯，3x8+2的平均数是3×10+2＝32，方差是32×10＝90．故选：A．3．圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A．10π B．20π C．8π D．16π【考点】圆台的侧面积和表面积．【答案】D【分析】根据题意，求出圆台的上、下底面的半径，由圆台的侧面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3，又由其母线长为4，则圆台的侧面积为S＝．故选：D．4．已知向量，，若与共线，则m＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．﹣2或4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】D【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可．【解答】解：由两向量共线可知m•（m﹣2）＝4×2，即m2﹣2m﹣8＝0，解得m＝4或m＝﹣2．故选：D．5．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为y＝cos3x，则进行的平移是（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】D【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】解：将函数y＝cos（3x+）的图象平移个单位后，所得的图象对应的函数为y＝cos3x．故选：D．6．求值＝（）A． B． C．1 D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数．【答案】D【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可．【解答】解：因为1﹣cos20°＝2sin210°，sin50°＝cos40°；；所以＝＝＝＝＝．故选：D．7．如图，在边长为3的正三角形ABC中，，，则＝（）A． B．3 C． D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】根据向量的线性运算得到，再由数量积的运算代入数值求解即可．【解答】解：因为，，所以，，所以＝，因为正三角形ABC的边长为3，所以＝．故选：C．8．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab．则的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】B【分析】化简（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab为a2+b2﹣c2＝ab，结合余弦定理可求解，根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可．【解答】解：由（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，整理得a2+b2﹣c2＝ab，所以，又0＜C＜π，则，故，可得，因为△ABC为锐角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范围为．故选：B．二、多选题（多选）9．有下列说法，其中正确的说法为（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形 B．若，则P是三角形ABC的垂心 C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形 D．若，则存在唯一实数λ使得【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的相等与共线．【答案】BC【分析】利用正弦函数性质，结合三角形判断A；利用向量数量积的运算律计算判断B；利用正弦定理、余弦定理判断C；利用零向量与共线向量的定义可判断D．【解答】解：对于A，在△ABC中，由sin2A＝sin2B，得2A＝2B或2A+2B＝π，则A＝B或，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，A错误；对于B，由，得，则PB⊥CA，同理PA⊥CB，PC⊥BA，即P是三角形ABC的垂心，B正确；对于C，由sin2A+sin2B+cos2C＜1，得sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，由正弦定理得a2+b2＜c2，则，C为钝角，△ABC为钝角三角形，C正确；对于D，当，时，显然有，但此时λ不存在，D错误．故选：BC．（多选）10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则（）A．ω＝2 B．f（x）的图象关于点中心对称 C． D．f（x）在上的值域为[﹣2，1]【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】AC【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象可得A＝2，可得×＝﹣（﹣），求得ω＝2，故A正确，由题意结合五点法作图，可得2×（﹣）+φ＝0，求得φ＝，可得f（x）＝2sin（2x+）＝2sin（+2x﹣）＝2cos（2x﹣），故C正确，可得f（）＝2sin（2×+）＝﹣≠±2，可得f（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，若x∈[﹣，﹣]，则2x+∈[﹣，﹣]，可得sin（2x+）∈[﹣1，]，可得f（x）＝2sin（2x+）∈[﹣2，]，故D错误．故选：AC．（多选）11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G，H，I均为所在棱的中点，P是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A．HI∥平面EFG B．三棱锥A1﹣EFG的体积为 C．过E，F，G三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若AP＝2，则点P的轨迹长度为3π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行；棱柱的结构特征．【答案】BCD【分析】选项A．利用中位线平行得出HI与点EFG共面；选项B．因为面A1FG在正方体前侧面上，所以点E到面A1FG的距离等于EA的长，利用锥体体积公式求解即可；选项C．由选项A知截面为正六边形EFGIHK，进而得解；选项D．由AP＝2知点P轨迹为A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长2得，交线为三段半径为2的四分之一圆．【解答】解：选项A，如图，设点K是棱DD1中点，由E，F，G，H，I均为所在棱的中点，根据中位线易得HI∥EF∥KG，进而可得HI与点EFG共面，所以HI⊂平面EFG，故A错误；选项B，如图，因为面A1FG在正方体前侧面上，所以点E到面A1FG的距离等于EA的长，正方形A1B中，则三棱锥A1﹣EFG的体积为＝，故B正确；选项C，由选项A知过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFGIHK，边长，所以面积为，故C正确；选项D，由AP＝2知点P轨迹为A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线，如图，由正方体棱长2得，交线为三段半径为2的四分之一圆，长度为3π，故D正确．故选：BCD．三、填空题12．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（﹣，0）．【考点】平面向量的投影向量．【答案】（﹣，0）．【分析】根据得•＝0，列方程求出m，再求在上的投影向量．【解答】解：因为向量，且，所以•＝2m+1＝0，解得m＝﹣，所以在上的投影向量的坐标为＝（2，0）＝（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．13．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为12.4．【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．【答案】12.4．【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，即可求解．【解答】解：甲同学抽取的样本占总样本的比例为，乙同学抽取的样本占总样本的比例为，总平均数为，总方差为＝12.4．故答案为：12.4．14．如图，在边长为6的正方形AP1P2P3中，B，C分别为P1P2、P2P3的中点，现将△AP1B，△BP2C，△AP3C分别沿AB，BC，CA折起使点P1，P2，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P﹣ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为54π．【考点】球的体积和表面积．【答案】54π．【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝6、BP＝CP＝3算出外接球的半径R，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP＝6，BP＝CP＝3，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R＝＝3，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R＝，根据球的表面积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝54π．故答案为：54π．四、解答题15．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）求a；（2）若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；（3）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）a＝0.030；（2）2人；（3），中位数约为73.3．【分析】（1）根据各个小矩形的面积之和为1，即可求出a的值；（2）根据分层抽样的定义求解；（3）根据平均数和中位数的定义求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10＝1，解得a＝0.030；（2）因为0.01×10×200＝20（人），0.015×10×200＝30（人），所以不高于50分的抽取（人）；（3）平均数，因为在[40，70]内有200×（0.010+0.015+0.015）×10＝80人，在[70，80]内有200×0.030×10＝60人，所以中位数位于[70，80]内，则中位数为≈73.3．16．函数．若f（x）两相邻对称轴之间的距离为；（1）求f（x）的单调增区间；（2）若，α∈（0，π），求sinα；【考点】三角函数中的恒等变换应用．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）解析式，由周期公式可得ω，从而可得f（x）解析式，再由正弦函数的性质即可求解单调增区间；（2）由，可得，利用同角三角函数的基本关系求出cos（α+），由sinα＝sin[（α+）﹣]，结合两角差得正弦公式即可得解．【解答】解（1）f（x）＝＝，由f（x）两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即ω＝1，∴，由，可得，∴f（x）的单调增区间为；（2）由，可得，∴，∵α∈（0，π），∴，若，则，又，∴，∴，∴，∴＝．17．如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为α，β，在点B观测到M，N处的俯角分别为γ，δ．（1）求△ABM的面积（用字母表示）；（2）若，α＝75°，β＝30°，γ＝45°，δ＝60°，求M，N之间的距离．【考点】解三角形．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根据正弦定理表示出边AM，然后利用三角形面积公式求出△ABM的面积；（2）利用正弦定理求出AM、AN的表达式，然后根据余弦定理算出M、N之间的距离．【解答】解：（1）根据题意，可得∠AMB＝π﹣α﹣γ，由正弦定理，得，所以△ABM的面积；（2）由（1）的结论，得，在△ABN中，，，在△AMN中，∠MAN＝α﹣β＝45°，由余弦定理得MN2＝AM2+AN2﹣2AM•AN•cos∠MAN，可得MN2＝，解得，综上所述，M、N之间的距离等于．18．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点（包括端点）．BF⊥B1E，若平面A1B1E与棱BC交于点G．（1）请补全平面A1B1E与棱柱的截面，指出点G的位置，并证明你的结论；（2）求证：BF⊥平面A1B1E；（3）当点D运动时，试判断三棱锥D﹣EFG的体积是否为定值？若是，求出该定值及点D到平面EFG的距离；若不是，说明理由．【考点】空间中点到平面的距离；棱锥的体积；直线与平面垂直．【答案】（1）点G为BC的中点；（2）证明见解析；（3）是定值，D到平面EFG的距离为．【分析】（1）E为AC中点，得到EG∥AB，结合AB∥A1B1，得出EG∥A1B1，所以A1，B1，G，E四点共面，即可得证；（2）根据线面垂直的判定定理即可得证；（3）利用等体积法求点到平面的距离即可．【解答】解：（1）如图，点G为BC的中点．证明：连接EG，GB1，由E为AC中点，则EG∥AB，又AB∥A1B1，所以EG∥A1B1，所以A1，B1，G，E四点共面，故平面A1B1E与棱柱的截面为A1B1GE．（2）证明：因为在Rt△BFC与Rt△B1GB中，tan∠BFC＝tan∠B1GB＝2，所以∠BFC＝∠B1GB，又∠BFC+∠FBC＝90°，所以∠B1GB+∠FBC＝90°，所以BF⊥B1G，BF⊥B1E，且B1G∩B1E＝B1，B1G，B1E⊂平面A1B1GE，所以BF⊥平面A1B1GE，即BF⊥平面A1B1E；（3）由（2）知BF⊥平面A1B1GE，又EG⊂平面A1B1GE，所以EG⊥BF，又EG∥AB，AB⊥B1B，所以EG⊥B1B，又BF∩B1B＝B，且BF，B1B⊂平面BCC1B1，所以EG⊥平面BCC1B1，又A1B1∥EG，所以D到平面EFG的距离等于B1到平面EFG的距离，所以＝＝＝，所以三棱锥D﹣EFG的体积为定值．△EFG中，，所以，由，可得，所以点D到平面EFG的距离为．19．在