2023-2024学年四川省南充市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（）A．5 B．6 C．8 D．92．（5分）在等差数列{an}中，已知a1＝1，a3+a5＝8，则a7＝（）A．5 B．6 C．7 D．83．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（2＜ξ＜4）＝（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.64．（5分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A．r2＜r4＜r3＜r1 B．r2＜r4＜r1＜r3 C．r4＜r2＜r1＜r3 D．r4＜r2＜r3＜r15．（5分）展开式中的常数项是（）A．15 B．20 C．1 D．66．（5分）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）A． B． C． D．7．（5分）为了研究某校学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知＝4，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）A．162 B．164 C．168 D．1708．（5分）定义在[0，+∞）的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x+1．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为，其数列的前n项积为Tn，则Tn的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为Y，则下列结论中正确的是（）A．X服从超几何分布 B．X服从二项分布 C． D．若Y＝2X+1，则E（Y）＝5（多选）10．（6分）已知，则下列结论中正确的是（）A．a0＝1 B． C．a1+a3+a5＝16 D．a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝0（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a∈R），则下列结论中正确的是（）A．当时，恒成立 B．若∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，则实数a的取值范围为 C．若，则f（x）必有两个不同的零点 D．若f（x）有两个不同的零点x1，x2，则x1x2＞e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知，若a，b，c三个数成等比数列，则b＝．13．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），定义方程的实数根x0叫做函数y＝f（x）的“新不动点”．设，则y＝f（x）在区间上的“新不动点”为．14．（5分）某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a3＝a2+2a1，Sn是数列{an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和Tn，求证：Tn＜1．16．（15分）已知函数．（1）求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最值．17．（15分）已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足．（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）设bn＝（an+1）log3（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．18．（17分）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理错题402060不经常整理错题202040合计6040100（1）依据α＝0.1的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？（2）用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．①用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差；②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率．附：．其中n＝a+b+c+d．χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82819．（17分）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凹的图1，区间D为f（x）凹的区间；设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凸的图2．区间D为f（x）凸的区间；关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设f（x）在区间D上连续，在区间D上具有一阶和二阶导数，那么①如果f（x）在D上恒有f″（x）＞0，则f（x）在区间D上的图象是凹的；如果f（x）在区间D上的图象是凹的，则f（x）在D上恒有f″（x）≥0；②如果f（x）在D上恒有f″（x）＜0，则f（x）在区间D上的图象是凸的；如果f（x）在区间D上的图象是凸的，则f（x）在D上恒有f″（x）≤0，其中f′（x）是f（x）的导函数，为f（x）的一阶导数：f″（x）是f′（x）的导函数，为f（x）的二阶导数．根据以上内容，完成如下问题：（1）求函数f（x）＝3x4﹣4x3+1的凹的区间和凸的区间：（2）若g（x）＝（x﹣2）ex﹣2+a（x2﹣4）在区间[0，+∞）上图象是凹的，求实数a的取值范围；（3）证明：．

2023-2024学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】分步乘法计数原理．【答案】B【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村去C村不同路线有2×3＝6条．故选：B．2．（5分）在等差数列{an}中，已知a1＝1，a3+a5＝8，则a7＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的通项公式．【答案】C【分析】本题根据等差中项的性质，有a1+a7＝a3+a5．通过计算可得正确选项．【解答】解：由题意，根据等差中项的性质，有a1+a7＝a3+a5．∴a7＝a3+a5﹣a1＝8﹣1＝7．故选：C．3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（2＜ξ＜4）＝（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】A【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为ξ～N（2，σ），且P（ξ＜4）＝0.8，所以P（ξ≥4）＝1﹣0.8＝0.2，所以P（2＜ξ＜4）＝0.5﹣P（ξ≥4）＝0.5﹣0.2＝0.3．故选：A．4．（5分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A．r2＜r4＜r3＜r1 B．r2＜r4＜r1＜r3 C．r4＜r2＜r1＜r3 D．r4＜r2＜r3＜r1【考点】散点图；变量间的相关关系．【答案】A【分析】根据散点图中点的分布情况判断是正相关还是负相关，以及相关系数的大小．【解答】解：由题意知，图2与图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，相关性更强，所以r1接近于1，r2接近于﹣1，由此可得r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：A．5．（5分）展开式中的常数项是（）A．15 B．20 C．1 D．6【考点】二项式定理．【答案】A【分析】根据二项式的特征及二项式定理的性质可知其常数项为C64，再由组合数公式求出常数项即可【解答】解：展开式中的常数项是C64＝C62＝＝15故选：A．6．（5分）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）A． B． C． D．【考点】求解条件概率．【答案】D【分析】利用条件概率公式求解．【解答】解：设事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到黑球”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B|A）＝＝＝．故选：D．7．（5分）为了研究某校学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知＝4，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）A．162 B．164 C．168 D．170【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】A【分析】先求出，，再利用线性回归方程ŷ＝4x+â过点（，）求出â，再进行预测即可．【解答】解：由题意可知，＝＝22.5，＝＝160，将b̂＝4代入得，ŷ＝4x+â，又因为线性回归方程ŷ＝4x+â过点（，），所以160＝4×22.5+â，解得â＝70，所以线性回归方程为ŷ＝4x+70，当x＝23时，ŷ＝4×23+70＝162．故选：A．8．（5分）定义在[0，+∞）的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x+1．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为，其数列的前n项积为Tn，则Tn的最大值为（）A． B． C． D．【考点】数列求和的其他方法；函数周期性的判断与求解．【答案】B【分析】求得当x∈[0，2）时，f（x）的最大值，由f（x+2）＝2f（x）推得an＝2n，再判断{Tn}的单调性，可得所求最大值．【解答】解：当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x+1＝2﹣（x﹣1）2，当x＝1时，f（x）取得最大值2；由f（x+2）＝2f（x），可得f（x）＝2f（x﹣2），即函数f（x）在x∈[0，2）的图象每向右平移2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，则f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an＝2n，Tn＝，Tn+1＝，可得＝，当n＝1时，T1＝T2＝；当n＝2时，T3＞T2；当n＝3时，T3＝T4＝；当n≥4时，T4＞T5＞T6＞....＞Tn，综上，可得Tn的最大值为．故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为Y，则下列结论中正确的是（）A．X服从超几何分布 B．X服从二项分布 C． D．若Y＝2X+1，则E（Y）＝5【考点】二项分布；二项分布的均值（数学期望）与方差．【答案】BD【分析】对于A，根据超几何分布的定义判断，对于B，根据二项分布的定义判断，对于C，根据二项分布的概率公式求解判断，对于D，根据二项分布的期望公式求出E（X），进而可求出E（Y）．【解答】解：对于AB，根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为，所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，则随机变量X服从二项分布，所以A错误，B正确；对于C，因为X～B（4，），所以，所以C错误，对于D，因为X～B（4，），所以．所以E（Y）＝E（2X+1）＝2E（X）+1＝5，所以D正确．故选：BD．（多选）10．（6分）已知，则下列结论中正确的是（）A．a0＝1 B． C．a1+a3+a5＝16 D．a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝0【考点】二项式系数的性质．【答案】ABD【分析】分别对x赋值0，﹣1，1，可判断AC，求得a1，a2，a3，a4，a5，可判断B与D（D也可以求导后赋值判断）．【解答】解：∵，①∴当x＝0时，a0＝1，A正确；又a1＝﹣＝﹣5，a2＝（﹣1）2＝10，a3＝（﹣1）3＝﹣10，a4＝（﹣1）4＝5，a5＝﹣1，∴，B正确；在①中，令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0，②再令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝25＝32，③②﹣③得：2（a1+a3+a5）＝﹣32，解得a1+a3+a5＝﹣16，C错误；由a1＝﹣5，a2＝10，a3＝﹣10，a4＝5，a5＝﹣1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝0，D正确．另法：又5（1﹣x）4×（﹣1）＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝0，D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a∈R），则下列结论中正确的是（）A．当时，恒成立 B．若∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，则实数a的取值范围为 C．若，则f（x）必有两个不同的零点 D．若f（x）有两个不同的零点x1，x2，则x1x2＞e【考点】不等式恒成立的问题；判定函数零点的存在性．【答案】ACD【分析】对于A，利用求出f（x）的最大值进行判断，对于B，由f（x）≥0，得构造函数，利用导数求出其最大值即可，对于C，转化为g（x）与y＝a的交点问题，对于D，利用分析法分析判断．【解答】解：对于A，当时，f（x）＝lnx﹣x2（x＞0，a∈R），所以f'（x）＝﹣x＝，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）max＝f（1）＝﹣，所以f（x）≤﹣恒成立，故正确；对于B，因为f（x）≥0在x∈（0，+∞）上有解，即lnx﹣ax2≥0，a≤在x∈（0，+∞）上有解，令g（x）＝，x∈（0，+∞），则g'（x）＝＝，令g'（x）＝0，得x＝＝，所以当x∈（0，）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；所以g（x）max＝g（）＝，又因为当x∈（0，1）时，g（x）＜0；当x＝1时，g（x）＝0；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，所以a∈（﹣∞，]，故错误；对于C，因为f（x）＝lnx﹣ax2（x＞0，a∈R），所以f'（x）＝﹣2ax＝，又因为，令f'（x）＝0，得x＝（负根舍去），所以当x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）max＝f（）＝ln﹣＝（ln﹣1），因为，所以∈（2e，+∞），∈（e，+∞），所以ln﹣1＞0，即f（x）max＞0，又f（1）＝﹣a＜0，f（e）＝′1﹣ae2，因为0＜a＜，所以﹣＜﹣a＜0，﹣＜﹣ae2＜0，所以1﹣＜1﹣ae2＜1，当x趋于+∞时，f（x）趋于﹣∞，所以函数必有两个不同零点，故C正确；对于D，不妨设x1＜x2因为f（x）有两个不同的零点x1，x2，所以f（x1）＝f（x2）＝0即，所以，要证x1x2＞e，只要证lnx2+lnx1＞1，即证，所以只要证明＞1，令，则，所以只要证（t2+1）lnt＞t2﹣1，令φ（t）＝（t2+1）lnt﹣t2+1（t＞1），则，令，则，所以s（t）在（1，+∞）上递增，所以s（t）＞s（1）＝0，所以φ（t）＞0，所以φ（t）在（1，+∞）上递增，所以φ（t）＞φ（1）＝0，所以（t2+1）lnt＞t2﹣1，所以x1x2＞e1，所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知，若a，b，c三个数成等比数列，则b＝±1．【考点】等比数列的性质．【答案】±1．【分析】根据题意，由等比中项的性质可得b2＝ac＝（3+2）（3﹣2）＝1，变形可得答案．【解答】解：根据题意，若a，b，c三个数成等比数列，则b2＝ac＝（3+2）（3﹣2）＝1，解可得：b＝±1．故答案为：±1．13．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），定义方程的实数根x0叫做函数y＝f（x）的“新不动点”．设，则y＝f（x）在区间上的“新不动点”为．【考点】函数与方程的综合运用．【答案】【分析】根据题目所给定义代入求值即可．【解答】解：据题意，有，解得sin2x0＝1，又，故．故答案为：．14．（5分）某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有150种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】150．【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分组分配问题和分步乘法计数原理和分类加法计数原理求解．【解答】解：当甲乙两位教师到一所学校时，则不同的分配方案种数为，当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时，则不同的分配方案种数为，当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时，则不同的分配方案种数为，则不同的分配方案种数共有42+72+36＝150．故答案为：150．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a3＝a2+2a1，Sn是数列{an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和Tn，求证：Tn＜1．【考点】数列的求和．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）证明见解答．【分析】（1）由等差数列的通项公式求得公差，即可得到所求；（2）由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，可得Tn，由不等式的性质可得证明．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，且a1＝1，a3＝a2+2a1，可得d＝2，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）证明：Sn＝n（1+2n﹣1）＝n2，＝＝﹣，数列{bn}的前n项和Tn＝1﹣+﹣+...+﹣＝1﹣，由＞0，可得Tn＜1．16．（15分）已知函数．（1）求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最值．【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）9x+3y﹣10＝0；（2）最大值为，最小值为．【分析】（1）对函数f（x）求导，再利用导数的几何意义即可得解；（2）判断函数f（x）在[﹣3，3]上的单调性，由此可得最值．【解答】解：（1）f′（x）＝x2﹣4，则f′（1）＝﹣3，又，则函数f（x）在x＝1处的切线方程为，即9x+3y﹣10＝0；（2）令f′（x）＝0，可得x＝±2，易知当x∈（﹣3，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又，则函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值为，最小值为．17．（15分）已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足．（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）设bn＝（an+1）log3（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列递推式；数列的求和．【答案】（1）证明见解答；（2）Tn＝．【分析】（1）由an与Sn的关系，结合等比数列的定义可得证明：（2）求得bn＝n•3n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）证明：由，可得2a1＝2S1＝3a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝3an﹣2n﹣[3an﹣1﹣2（n﹣1）]，化为an＝3an﹣1+2，即为an+1＝3（an﹣1+1），可得数列{an+1}是首项和公比均为3的等比数列；（2）由等比数列的通项公式可得an+1＝3n，bn＝（an+1）log3（an+1）＝n•3n，数列{bn}的前n项和Tn＝1•3+2•32+3•33+...+n•3n，3Tn＝1•32+2•33+3•34+...+n•3n+1，上面两式相减可得﹣2Tn＝3+32+33+...+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1＝，可得Tn＝．18．（17分）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理错题402060不经常整理错题202040合计6040100（1）依据α＝0.1的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？（2）用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．①用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差；②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率．附：．其中n＝a+b+c+d．χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；列联表与独立性检验．【答案】（1）能；（2）①分布列见解析，，；②．【分析】（1）利用独立性检验相关知识即可判断；（2）①X的可能值为0，1，2，然后利用超几何分布求出每个取值对应的概率即可得解；②设Ai＝“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”（i＝1，2），B＝“这2名学生中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀”，根据全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2），然后结合题意求出相关概率即可得解．【解答】解：（1）零假设为H0：该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，根据列联表中数据，经计数得到，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断零假设H0不成立，所以能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；（2）由等比例的分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，①X的可能值为0，1，2，则，，，所以X的分布列为：X012P则，；②设Ai＝“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”（i＝1，2），B＝“这2名学生中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀”，则，，，，据全概率公式得：，所以这2名同学中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀的概率为．19．（17分）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凹的图1，区间D为f（x）凹的区间；设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凸的图2．区间D为f（x）凸的区间